登录
4.绝对值大于2.5且小于7.2的所有负整数为
$-7,-6,-5,-4,-3$
。答案
4.$-7,-6,-5,-4,-3$
解析
【分析】
我们可以先设满足条件的数为x，先拆解题目给出的两个核心要求：第一，x是负整数，即x＜0且x为整数；第二，x的绝对值大于2.5且小于7.2，也就是满足不等式2.5＜|x|＜7.2。接下来可以先根据绝对值的性质，把绝对值不等式转化为针对负整数的普通不等式，再找出这个范围内的所有负整数即可；也可以先找绝对值在2.5到7.2之间的正整数，再取它们的相反数，就能得到要求的负整数。
【解析】
解：设满足条件的数为x，根据题意可列出条件：
$\begin{cases}x是负整数 \\2.5 ＜ |x| ＜ 7.2\end{cases}$
因为x是负整数，所以x＜0，根据绝对值的性质可得|x|=-x，代入不等式得：
$2.5 ＜ -x ＜7.2$
不等式三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-7.2 ＜ x ＜ -2.5$
又因为x是负整数，所以x可取的值为$-7、-6、-5、-4、-3$。
【答案】
$-7,-6,-5,-4,-3$
【知识点】
绝对值的性质；负整数的识别；不等式的整数解
【点评】
本题解题的关键是准确理解绝对值的含义，明确题目要求的数的范围和类型，注意不要忽略边界值的判断，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.8
我们可以先设满足条件的数为x，先拆解题目给出的两个核心要求：第一，x是负整数，即x＜0且x为整数；第二，x的绝对值大于2.5且小于7.2，也就是满足不等式2.5＜|x|＜7.2。接下来可以先根据绝对值的性质，把绝对值不等式转化为针对负整数的普通不等式，再找出这个范围内的所有负整数即可；也可以先找绝对值在2.5到7.2之间的正整数，再取它们的相反数，就能得到要求的负整数。
【解析】
解：设满足条件的数为x，根据题意可列出条件：
$\begin{cases}x是负整数 \\2.5 ＜ |x| ＜ 7.2\end{cases}$
因为x是负整数，所以x＜0，根据绝对值的性质可得|x|=-x，代入不等式得：
$2.5 ＜ -x ＜7.2$
不等式三边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：
$-7.2 ＜ x ＜ -2.5$
又因为x是负整数，所以x可取的值为$-7、-6、-5、-4、-3$。
【答案】
$-7,-6,-5,-4,-3$
【知识点】
绝对值的性质；负整数的识别；不等式的整数解
【点评】
本题解题的关键是准确理解绝对值的含义，明确题目要求的数的范围和类型，注意不要忽略边界值的判断，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.8
5.把下列各数分别填在相应的大括号内：
$-\dfrac{2}{3},3.14,+8,3\dfrac{1}{2},-2028,0,-3.6$。
非负数集合：$\{ \dots \}$；
分数集合：$\{ \dots \}$；
负整数集合：$\{ \dots \}$。
$-\dfrac{2}{3},3.14,+8,3\dfrac{1}{2},-2028,0,-3.6$。
非负数集合：$\{ \dots \}$；
分数集合：$\{ \dots \}$；
负整数集合：$\{ \dots \}$。
答案
5.解:非负数集合:$\{3.14,+8,3\dfrac{1}{2},0,\dots\}$；
分数集合:$\{-\dfrac{2}{3},3.14,3\dfrac{1}{2},-3.6,\dots\}$；
负整数集合:$\{-2\ 028,\dots\}$。
分数集合:$\{-\dfrac{2}{3},3.14,3\dfrac{1}{2},-3.6,\dots\}$；
负整数集合:$\{-2\ 028,\dots\}$。
解析
【分析】
解题前首先要明确三类集合的定义：①非负数是指大于等于0的数，包含0和所有正数；②分数包含正分数、负分数，初中阶段有限小数、带分数都可以转化为分数形式，都属于分数范畴；③负整数是指既是负数又是整数的数。接下来逐个判断给出的7个数所属的类别，再分别填入对应的集合即可，注意不要漏填、错填，尤其要注意0的归类、有限小数属于分数这两个易错点。
【解析】
先对给出的每个数进行属性判断：
$-\dfrac{2}{3}$：负分数；
$3.14$：正有限小数，属于正分数；
$+8$：正整数；
$3\dfrac{1}{2}$：正带分数，属于正分数；
$-2028$：负整数；
$0$：整数，非正非负；
$-3.6$：负有限小数，属于负分数。
根据分类规则填写集合：
非负数集合包含所有正数和0；
分数集合包含所有正、负分数；
负整数集合仅包含负的整数。
【答案】
非负数集合:$\{3.14,+8,3\dfrac{1}{2},0,\dots\}$；
分数集合:$\{-\dfrac{2}{3},3.14,3\dfrac{1}{2},-3.6,\dots\}$；
负整数集合:$\{-2028,\dots\}$。
【知识点】
有理数的分类；非负数的定义；分数的定义
【点评】
本题是有理数分类的常规基础题，核心考查对不同类别有理数定义的辨析能力，解题时需先清晰掌握各类数的判定标准，再对给出的数逐一筛查，避免因混淆0的归类、有限小数的属性出现错误。
【难度系数】
0.75
解题前首先要明确三类集合的定义：①非负数是指大于等于0的数，包含0和所有正数；②分数包含正分数、负分数，初中阶段有限小数、带分数都可以转化为分数形式，都属于分数范畴；③负整数是指既是负数又是整数的数。接下来逐个判断给出的7个数所属的类别，再分别填入对应的集合即可，注意不要漏填、错填，尤其要注意0的归类、有限小数属于分数这两个易错点。
【解析】
先对给出的每个数进行属性判断：
$-\dfrac{2}{3}$：负分数；
$3.14$：正有限小数，属于正分数；
$+8$：正整数；
$3\dfrac{1}{2}$：正带分数，属于正分数；
$-2028$：负整数；
$0$：整数，非正非负；
$-3.6$：负有限小数，属于负分数。
根据分类规则填写集合：
非负数集合包含所有正数和0；
分数集合包含所有正、负分数；
负整数集合仅包含负的整数。
【答案】
非负数集合:$\{3.14,+8,3\dfrac{1}{2},0,\dots\}$；
分数集合:$\{-\dfrac{2}{3},3.14,3\dfrac{1}{2},-3.6,\dots\}$；
负整数集合:$\{-2028,\dots\}$。
【知识点】
有理数的分类；非负数的定义；分数的定义
【点评】
本题是有理数分类的常规基础题，核心考查对不同类别有理数定义的辨析能力，解题时需先清晰掌握各类数的判定标准，再对给出的数逐一筛查，避免因混淆0的归类、有限小数的属性出现错误。
【难度系数】
0.75
6.从$-3,-2,-1,4,5$中任取两个数相乘，若所得积中的最大值为$a$，最小值为$b$，则$\frac{a}{b}$的值为（
A.$-\frac{4}{3}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{20}{3}$
A
）。A.$-\frac{4}{3}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{20}{3}$
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先依据有理数乘法“同号得正、异号得负，正数大于所有负数”的规则思考：首先找乘积最大值a，只需比较同号两数的乘积（正数乘积必然大于负数乘积），分别计算两个正数的乘积、两个负数的乘积，取较大值即为a；再找乘积最小值b，最小的乘积一定是负数，只需计算异号两数的乘积，找到绝对值最大的负数即为b；最后代入计算$\frac{a}{b}$即可。
【解析】
给定数字为$-3,-2,-1,4,5$：
1. 求最大值$a$：
同号相乘的结果中，两个负数乘积最大为$(-3)×(-2)=6$，两个正数乘积为$4×5=20$，因为$20＞6$，所以$a=20$。
2. 求最小值$b$：
异号相乘为负数，要得到最小的负数，需取绝对值最大的乘积，即最大正数乘绝对值最大的负数：$5×(-3)=-15$，其余异号乘积均大于$-15$，所以$b=-15$。
3. 计算$\frac{a}{b}$：
$\frac{a}{b}=\frac{20}{-15}=-\frac{4}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘法，有理数大小比较，有理数除法
【点评】
本题核心是结合有理数乘法符号规律判断最值，易错点是找最小值时容易混淆负数大小的判断，明确“负数的绝对值越大，数值越小”即可避免错误。
【难度系数】
0.7
解题时先依据有理数乘法“同号得正、异号得负，正数大于所有负数”的规则思考：首先找乘积最大值a，只需比较同号两数的乘积（正数乘积必然大于负数乘积），分别计算两个正数的乘积、两个负数的乘积，取较大值即为a；再找乘积最小值b，最小的乘积一定是负数，只需计算异号两数的乘积，找到绝对值最大的负数即为b；最后代入计算$\frac{a}{b}$即可。
【解析】
给定数字为$-3,-2,-1,4,5$：
1. 求最大值$a$：
同号相乘的结果中，两个负数乘积最大为$(-3)×(-2)=6$，两个正数乘积为$4×5=20$，因为$20＞6$，所以$a=20$。
2. 求最小值$b$：
异号相乘为负数，要得到最小的负数，需取绝对值最大的乘积，即最大正数乘绝对值最大的负数：$5×(-3)=-15$，其余异号乘积均大于$-15$，所以$b=-15$。
3. 计算$\frac{a}{b}$：
$\frac{a}{b}=\frac{20}{-15}=-\frac{4}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘法，有理数大小比较，有理数除法
【点评】
本题核心是结合有理数乘法符号规律判断最值，易错点是找最小值时容易混淆负数大小的判断，明确“负数的绝对值越大，数值越小”即可避免错误。
【难度系数】
0.7
7.黑龙江历史悠久，人文荟萃，拥有丰厚的历史文化遗产。某旅行团到黑龙江十日游的费用为108 000元，用科学记数法可表示为
$1.08×10^5$
元。答案
7.$1.08×10^5$
解析
【分析】
本题考查科学记数法的表示，解题思路如下：首先回忆科学记数法的定义：将一个数表示为$a× 10^n$的形式，其中要求$1≤ |a|＜10$，$n$为整数。第一步先确定$a$的值：把原数108000的小数点向左移动，直到得到的数满足1≤数＜10的要求；第二步确定$n$的值：小数点向左移动的位数就是$n$的数值，最后将$a$和$n$组合即可得到结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a× 10^n$，其中$1≤ |a|＜10$，$n$为整数。
对于108000，将小数点向左移动5位可得到1.08，满足$1≤ 1.08＜10$的要求，小数点移动的位数为5，因此$n=5$。
故108000用科学记数法表示为$1.08× 10^5$。
【答案】
$1.08× 10^5$
【知识点】
科学记数法的表示
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查科学记数法的实际应用，掌握$a$的取值要求和$n$的确定方法是解题的关键，这类题型常结合生活中的大数设置考题。
【难度系数】
0.9
本题考查科学记数法的表示，解题思路如下：首先回忆科学记数法的定义：将一个数表示为$a× 10^n$的形式，其中要求$1≤ |a|＜10$，$n$为整数。第一步先确定$a$的值：把原数108000的小数点向左移动，直到得到的数满足1≤数＜10的要求；第二步确定$n$的值：小数点向左移动的位数就是$n$的数值，最后将$a$和$n$组合即可得到结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a× 10^n$，其中$1≤ |a|＜10$，$n$为整数。
对于108000，将小数点向左移动5位可得到1.08，满足$1≤ 1.08＜10$的要求，小数点移动的位数为5，因此$n=5$。
故108000用科学记数法表示为$1.08× 10^5$。
【答案】
$1.08× 10^5$
【知识点】
科学记数法的表示
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查科学记数法的实际应用，掌握$a$的取值要求和$n$的确定方法是解题的关键，这类题型常结合生活中的大数设置考题。
【难度系数】
0.9
8.计算：
(1)$(-\dfrac{1}{2})-(-\dfrac{7}{3})+\dfrac{11}{4}+(-\dfrac{7}{8})-\dfrac{11}{3}$；
(2)$-1^4-(1-0.5)×\dfrac{2}{3}×[2-(-3)^2]$；
(3)$69\dfrac{15}{16}×(-8)$。
(1)$(-\dfrac{1}{2})-(-\dfrac{7}{3})+\dfrac{11}{4}+(-\dfrac{7}{8})-\dfrac{11}{3}$；
(2)$-1^4-(1-0.5)×\dfrac{2}{3}×[2-(-3)^2]$；
(3)$69\dfrac{15}{16}×(-8)$。
答案
8.解:(1)$原式=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{3}+\dfrac{11}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{11}{3}$
$=(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{11}{4}-\dfrac{7}{8})+(\dfrac{7}{3}-\dfrac{11}{3})$
$=\dfrac{11}{8}-\dfrac{4}{3}$
$=\dfrac{1}{24}$。
(2)$原式=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×(2-9)$
$=-1+\dfrac{7}{3}$
$=\dfrac{4}{3}$。
(3)$原式=(70-\dfrac{1}{16})×(-8)$
$=70×(-8)-\dfrac{1}{16}×(-8)$
$=-560+\dfrac{1}{2}$
$=-559\dfrac{1}{2}$。
$=(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{11}{4}-\dfrac{7}{8})+(\dfrac{7}{3}-\dfrac{11}{3})$
$=\dfrac{11}{8}-\dfrac{4}{3}$
$=\dfrac{1}{24}$。
(2)$原式=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×(2-9)$
$=-1+\dfrac{7}{3}$
$=\dfrac{4}{3}$。
(3)$原式=(70-\dfrac{1}{16})×(-8)$
$=70×(-8)-\dfrac{1}{16}×(-8)$
$=-560+\dfrac{1}{2}$
$=-559\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
(1) 本题为有理数加减混合运算，首先依据“减去一个数等于加上这个数的相反数”将所有减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，把同分母的分数分别分组计算，最后通分求和即可，能降低通分难度，减少计算错误。
(2) 本题为有理数混合运算，需严格遵循“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内”的运算顺序，注意区分$-1^4$和$(-1)^4$的差异，计算过程中重点关注负号的处理。
(3) 本题为带分数乘整数的运算，直接计算带分数乘法步骤繁琐，可将接近整数的带分数拆成“整数减真分数”的形式，再用乘法分配律展开计算，大幅简化运算过程。
【解析】
(1) 先去括号将减法转化为加法：
$原式=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{3}+\dfrac{11}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{11}{3}$
利用加法交换律、结合律分组：
$=(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{11}{4}-\dfrac{7}{8})+(\dfrac{7}{3}-\dfrac{11}{3})$
分别计算每组结果：
$=\dfrac{11}{8}-\dfrac{4}{3}$
通分计算：
$=\dfrac{33-32}{24}=\dfrac{1}{24}$
(2) 先计算乘方和括号内的内容：
$原式=-1-(1-0.5)×\dfrac{2}{3}×[2-(-3)^2]$
$=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×(2-9)$
计算乘法部分：
$=-1-\dfrac{1}{3}×(-7)$
$=-1+\dfrac{7}{3}$
$=\dfrac{4}{3}$
(3) 将带分数拆分为整数减真分数的形式：
$原式=(70-\dfrac{1}{16})×(-8)$
利用乘法分配律展开：
$=70×(-8)-\dfrac{1}{16}×(-8)$
分别计算乘积：
$=-560+\dfrac{1}{2}$
$=-559\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{24}$；(2)$\dfrac{4}{3}$；(3)$-559\dfrac{1}{2}$
【知识点】
有理数加减运算、有理数混合运算顺序、乘法分配律简便计算
【点评】
这三道是有理数运算的典型题型，侧重考察运算律的灵活运用和运算顺序的掌握，计算过程中符号处理是高频易错点，熟练运用简便运算方法可大幅提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
(1) 本题为有理数加减混合运算，首先依据“减去一个数等于加上这个数的相反数”将所有减法转化为加法，再利用加法交换律和结合律，把同分母的分数分别分组计算，最后通分求和即可，能降低通分难度，减少计算错误。
(2) 本题为有理数混合运算，需严格遵循“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内”的运算顺序，注意区分$-1^4$和$(-1)^4$的差异，计算过程中重点关注负号的处理。
(3) 本题为带分数乘整数的运算，直接计算带分数乘法步骤繁琐，可将接近整数的带分数拆成“整数减真分数”的形式，再用乘法分配律展开计算，大幅简化运算过程。
【解析】
(1) 先去括号将减法转化为加法：
$原式=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{7}{3}+\dfrac{11}{4}-\dfrac{7}{8}-\dfrac{11}{3}$
利用加法交换律、结合律分组：
$=(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{11}{4}-\dfrac{7}{8})+(\dfrac{7}{3}-\dfrac{11}{3})$
分别计算每组结果：
$=\dfrac{11}{8}-\dfrac{4}{3}$
通分计算：
$=\dfrac{33-32}{24}=\dfrac{1}{24}$
(2) 先计算乘方和括号内的内容：
$原式=-1-(1-0.5)×\dfrac{2}{3}×[2-(-3)^2]$
$=-1-\dfrac{1}{2}×\dfrac{2}{3}×(2-9)$
计算乘法部分：
$=-1-\dfrac{1}{3}×(-7)$
$=-1+\dfrac{7}{3}$
$=\dfrac{4}{3}$
(3) 将带分数拆分为整数减真分数的形式：
$原式=(70-\dfrac{1}{16})×(-8)$
利用乘法分配律展开：
$=70×(-8)-\dfrac{1}{16}×(-8)$
分别计算乘积：
$=-560+\dfrac{1}{2}$
$=-559\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{24}$；(2)$\dfrac{4}{3}$；(3)$-559\dfrac{1}{2}$
【知识点】
有理数加减运算、有理数混合运算顺序、乘法分配律简便计算
【点评】
这三道是有理数运算的典型题型，侧重考察运算律的灵活运用和运算顺序的掌握，计算过程中符号处理是高频易错点，熟练运用简便运算方法可大幅提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.7
9.【数学应用】阅读下面的解题过程并解答问题：
计算：$-2^2 ÷ ( \frac{1}{3} - 1\frac{1}{2} - 3 ) ×6$。
解：$-2^2 ÷ ( \frac{1}{3} - 1\frac{1}{2} - 3 ) ×6$
$=4 ÷ ( -\frac{25}{6} ) ×6$……第一步
$=4×(-25)$……第二步
$=-100$。……第三步
（1）以上步骤中，第
（2）请写出正确的解题过程。
计算：$-2^2 ÷ ( \frac{1}{3} - 1\frac{1}{2} - 3 ) ×6$。
解：$-2^2 ÷ ( \frac{1}{3} - 1\frac{1}{2} - 3 ) ×6$
$=4 ÷ ( -\frac{25}{6} ) ×6$……第一步
$=4×(-25)$……第二步
$=-100$。……第三步
（1）以上步骤中，第
一
步开始出现错误，错误的原因是负号丢了
；（2）请写出正确的解题过程。
答案
9.解:(1)一 负号丢了
(2)$-2^2 ÷ (\dfrac{1}{3}-1\dfrac{1}{2}-3)×6=-4 ÷ (-\dfrac{25}{6})×6=-4×(-\dfrac{6}{25})×6=\dfrac{144}{25}$。
(2)$-2^2 ÷ (\dfrac{1}{3}-1\dfrac{1}{2}-3)×6=-4 ÷ (-\dfrac{25}{6})×6=-4×(-\dfrac{6}{25})×6=\dfrac{144}{25}$。
解析
【分析】
本题包含找错和纠错两部分，解题思路如下：首先解决第（1）问，回忆有理数乘方的运算规则：$-a^n$表示$a^n$的相反数，底数是$a$，因此$-2^2$的结果是$-4$，对比给出的解题步骤，第一步就出现了计算错误；再解决第（2）问，严格遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算括号内的加减法，括号外的同级运算从左到右依次计算，除法可转化为乘以倒数简化运算。
【解析】
（1）观察原解题过程的第一步：将$-2^2$计算为$4$，根据乘方运算规则，$-2^2=-(2×2)=-4$，因此第一步就出现错误，错误原因是计算$-2^2$时符号处理错误，丢失了负号。
（2）正确解题过程：
先计算乘方：$-2^2=-4$
再计算括号内的运算：$\frac{1}{3}-1\frac{1}{2}-3=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}-3=\frac{2}{6}-\frac{9}{6}-\frac{18}{6}=-\frac{25}{6}$
最后按从左到右的顺序计算同级运算：
$-4 ÷ (-\frac{25}{6}) ×6$
$=-4×(-\frac{6}{25})×6$
$=\frac{24}{25}×6$
$=\frac{144}{25}$
【答案】
（1）一，计算$-2^2$时丢失负号；
（2）$-2^2 ÷ (\dfrac{1}{3}-1\dfrac{1}{2}-3)×6=-4 ÷ (-\dfrac{25}{6})×6=-4×(-\dfrac{6}{25})×6=\dfrac{144}{25}$
【知识点】
1.有理数乘方运算
2.有理数混合运算
3.有理数除法法则
【点评】
本题主要考查有理数混合运算的易错点，解题时需特别注意带负号的乘方运算的符号判断，同时要严格遵循运算顺序，同级运算需从左到右依次计算，避免随意调整运算顺序导致出错。
【难度系数】
0.7
本题包含找错和纠错两部分，解题思路如下：首先解决第（1）问，回忆有理数乘方的运算规则：$-a^n$表示$a^n$的相反数，底数是$a$，因此$-2^2$的结果是$-4$，对比给出的解题步骤，第一步就出现了计算错误；再解决第（2）问，严格遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算括号内的加减法，括号外的同级运算从左到右依次计算，除法可转化为乘以倒数简化运算。
【解析】
（1）观察原解题过程的第一步：将$-2^2$计算为$4$，根据乘方运算规则，$-2^2=-(2×2)=-4$，因此第一步就出现错误，错误原因是计算$-2^2$时符号处理错误，丢失了负号。
（2）正确解题过程：
先计算乘方：$-2^2=-4$
再计算括号内的运算：$\frac{1}{3}-1\frac{1}{2}-3=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}-3=\frac{2}{6}-\frac{9}{6}-\frac{18}{6}=-\frac{25}{6}$
最后按从左到右的顺序计算同级运算：
$-4 ÷ (-\frac{25}{6}) ×6$
$=-4×(-\frac{6}{25})×6$
$=\frac{24}{25}×6$
$=\frac{144}{25}$
【答案】
（1）一，计算$-2^2$时丢失负号；
（2）$-2^2 ÷ (\dfrac{1}{3}-1\dfrac{1}{2}-3)×6=-4 ÷ (-\dfrac{25}{6})×6=-4×(-\dfrac{6}{25})×6=\dfrac{144}{25}$
【知识点】
1.有理数乘方运算
2.有理数混合运算
3.有理数除法法则
【点评】
本题主要考查有理数混合运算的易错点，解题时需特别注意带负号的乘方运算的符号判断，同时要严格遵循运算顺序，同级运算需从左到右依次计算，避免随意调整运算顺序导致出错。
【难度系数】
0.7
