登录
10.某原料仓库某一天的原料进出记录如下表(运进用正数表示,运出用负数表示)。
进出质量/t -2 3 -1 2 -4
进出次数 2
3 4 2
(1)这天结束时仓库的原料比原来增加了还是减少了?请说明理由。
(2)根据实际情况,现有两种方案。
方案一:运进每吨原料费用6元,运出每吨原料费用9元;
方案二:不管运进还是运出费用都是每吨7元。
从节约运费的角度考虑,请说明选择哪种方案比较合适。
进出质量/t -2 3 -1 2 -4
进出次数 2
3 4 2(1)这天结束时仓库的原料比原来增加了还是减少了?请说明理由。
(2)根据实际情况,现有两种方案。
方案一:运进每吨原料费用6元,运出每吨原料费用9元;
方案二:不管运进还是运出费用都是每吨7元。
从节约运费的角度考虑,请说明选择哪种方案比较合适。
答案
10.解:(1)减少了。
理由如下:$(-2)×2+3×1+(-1)×3+2×4+(-4)×2=-4+3-3+8-8=-4(\mathrm{t})$,所以减少了。
(2)运进:$3×1+2×4=3+8=11(\mathrm{t})$。
运出:$|-2|×2+|-1|×3+|-4|×2=4+3+8=15(\mathrm{t})$。
方案一:$11×6+15×9=201(\mathrm{元})$;
方案二:$(11+15)×7=182(\mathrm{元})$。
因为$201＞182$,
所以选择方案二比较合适。
理由如下:$(-2)×2+3×1+(-1)×3+2×4+(-4)×2=-4+3-3+8-8=-4(\mathrm{t})$,所以减少了。
(2)运进:$3×1+2×4=3+8=11(\mathrm{t})$。
运出:$|-2|×2+|-1|×3+|-4|×2=4+3+8=15(\mathrm{t})$。
方案一:$11×6+15×9=201(\mathrm{元})$;
方案二:$(11+15)×7=182(\mathrm{元})$。
因为$201＞182$,
所以选择方案二比较合适。
解析
【分析】
（1）要判断仓库原料相比原来的变化情况，首先明确正负数的含义：运进用正数表示，运出用负数表示，只需将每次进出的质量乘对应进出次数后求和，若结果为正则原料增加，结果为负则原料减少。
（2）要选择更节约运费的方案，首先需要分别统计当天运进、运出原料的总质量，其中运出质量需取绝对值（运费按实际运输的重量计算，和方向无关），再按照两种方案的收费规则分别计算总运费，对比后选择运费更低的方案即可。
【解析】
(1) 计算当天原料的总变化量：
$\begin{aligned}(-2)×2 + 3×1 + (-1)×3 + 2×4 + (-4)×2&=-4+3-3+8-8\\&=-4(\mathrm{t})\end{aligned}$
结果为负，说明这天结束时仓库的原料比原来减少了。
(2) 先分别计算运进、运出的总质量：
运进总质量：$3×1 + 2×4 = 3+8=11(\mathrm{t})$
运出总质量：$\vert -2\vert×2 + \vert -1\vert×3 + \vert -4\vert×2=4+3+8=15(\mathrm{t})$
分别计算两种方案的运费：
方案一总运费：$11×6 + 15×9=66+135=201(\mathrm{元})$
方案二总运费：$(11+15)×7=26×7=182(\mathrm{元})$
因为$201＞182$，所以方案二的运费更低，更合适。
【答案】
(1) 减少了，理由：计算得当天原料总变化量为-4t，所以比原来减少了；
(2) 选择方案二比较合适。
【知识点】
正负数的实际应用；有理数的混合运算；方案优化选择
【点评】
本题结合生活实际场景考查正负数的意义和有理数运算的应用，解题的关键是区分“原料总变化量”和“运输总质量”的计算差异，计算运费时运出质量需取绝对值，再通过计算对比得出最优方案。
【难度系数】
0.8
（1）要判断仓库原料相比原来的变化情况，首先明确正负数的含义：运进用正数表示，运出用负数表示，只需将每次进出的质量乘对应进出次数后求和，若结果为正则原料增加，结果为负则原料减少。
（2）要选择更节约运费的方案，首先需要分别统计当天运进、运出原料的总质量，其中运出质量需取绝对值（运费按实际运输的重量计算，和方向无关），再按照两种方案的收费规则分别计算总运费，对比后选择运费更低的方案即可。
【解析】
(1) 计算当天原料的总变化量：
$\begin{aligned}(-2)×2 + 3×1 + (-1)×3 + 2×4 + (-4)×2&=-4+3-3+8-8\\&=-4(\mathrm{t})\end{aligned}$
结果为负，说明这天结束时仓库的原料比原来减少了。
(2) 先分别计算运进、运出的总质量：
运进总质量：$3×1 + 2×4 = 3+8=11(\mathrm{t})$
运出总质量：$\vert -2\vert×2 + \vert -1\vert×3 + \vert -4\vert×2=4+3+8=15(\mathrm{t})$
分别计算两种方案的运费：
方案一总运费：$11×6 + 15×9=66+135=201(\mathrm{元})$
方案二总运费：$(11+15)×7=26×7=182(\mathrm{元})$
因为$201＞182$，所以方案二的运费更低，更合适。
【答案】
(1) 减少了，理由：计算得当天原料总变化量为-4t，所以比原来减少了；
(2) 选择方案二比较合适。
【知识点】
正负数的实际应用；有理数的混合运算；方案优化选择
【点评】
本题结合生活实际场景考查正负数的意义和有理数运算的应用，解题的关键是区分“原料总变化量”和“运输总质量”的计算差异，计算运费时运出质量需取绝对值，再通过计算对比得出最优方案。
【难度系数】
0.8
11.阅读下面答题过程:
计算: $(-\dfrac{1}{24})÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})$。
分析:利用倒数的意义,先求出原式的倒数,再得出原式的值。
解: $(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})÷(-\dfrac{1}{24})=(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})×(-24)=-16+18-21=-19$,所以原式$=-\dfrac{1}{19}$。
根据阅读材料提供的方法,完成下面的计算:
$(-\dfrac{1}{42})÷[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)]$。
计算: $(-\dfrac{1}{24})÷(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})$。
分析:利用倒数的意义,先求出原式的倒数,再得出原式的值。
解: $(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})÷(-\dfrac{1}{24})=(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8})×(-24)=-16+18-21=-19$,所以原式$=-\dfrac{1}{19}$。
根据阅读材料提供的方法,完成下面的计算:
$(-\dfrac{1}{42})÷[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)]$。
答案
11.解:$[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)]÷(-\dfrac{1}{42})$
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3})÷(-\dfrac{1}{42})$
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3})×(-42)$
$=-7-30+112$
$=75$,
所以原式$=\dfrac{1}{75}$。
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3})÷(-\dfrac{1}{42})$
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3})×(-42)$
$=-7-30+112$
$=75$,
所以原式$=\dfrac{1}{75}$。
解析
【分析】
本题可借鉴题目给出的倒数法简化运算：直接计算中括号内的四则运算再做除法，需要多次通分，步骤繁琐易出错。我们可以先求原式的倒数，即将中括号内的整体作为被除数，除以$(-\dfrac{1}{42})$，利用“除以一个数等于乘这个数的倒数”转化为乘法运算，再通过乘法分配律简便计算，最后对求得的倒数取倒数即可得到原式的结果。
【解析】
先计算原式的倒数：
$[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)]÷(-\dfrac{1}{42})$
先计算乘方及括号内的乘法：$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，$\dfrac{4}{9}×(-6)=-\dfrac{8}{3}$，再合并括号内的加减法：$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$，因此括号内可化简为$\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3}$，即：
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3})÷(-\dfrac{1}{42})$
将除法转化为乘法：
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3})×(-42)$
利用乘法分配律展开计算：
$=\dfrac{1}{6}×(-42)+\dfrac{5}{7}×(-42)+(-\dfrac{8}{3})×(-42)$
$=-7-30+112$
$=75$
因为上述结果是原式的倒数，因此原式的值为倒数的倒数。
【答案】
$\dfrac{1}{75}$
【知识点】
倒数的意义；有理数混合运算；乘法分配律
【点评】
本题属于阅读理解类运算题，解题核心是读懂材料给出的简便运算方法，合理利用倒数法将除法转化为乘法，再借助乘法分配律简化计算，有效减少了通分的繁琐步骤，降低运算出错概率。
【难度系数】
0.6
本题可借鉴题目给出的倒数法简化运算：直接计算中括号内的四则运算再做除法，需要多次通分，步骤繁琐易出错。我们可以先求原式的倒数，即将中括号内的整体作为被除数，除以$(-\dfrac{1}{42})$，利用“除以一个数等于乘这个数的倒数”转化为乘法运算，再通过乘法分配律简便计算，最后对求得的倒数取倒数即可得到原式的结果。
【解析】
先计算原式的倒数：
$[\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{7}+(-\dfrac{2}{3})^2×(-6)]÷(-\dfrac{1}{42})$
先计算乘方及括号内的乘法：$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$，$\dfrac{4}{9}×(-6)=-\dfrac{8}{3}$，再合并括号内的加减法：$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$，因此括号内可化简为$\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3}$，即：
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3})÷(-\dfrac{1}{42})$
将除法转化为乘法：
$=(\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{8}{3})×(-42)$
利用乘法分配律展开计算：
$=\dfrac{1}{6}×(-42)+\dfrac{5}{7}×(-42)+(-\dfrac{8}{3})×(-42)$
$=-7-30+112$
$=75$
因为上述结果是原式的倒数，因此原式的值为倒数的倒数。
【答案】
$\dfrac{1}{75}$
【知识点】
倒数的意义；有理数混合运算；乘法分配律
【点评】
本题属于阅读理解类运算题，解题核心是读懂材料给出的简便运算方法，合理利用倒数法将除法转化为乘法，再借助乘法分配律简化计算，有效减少了通分的繁琐步骤，降低运算出错概率。
【难度系数】
0.6
12.观察下列解题过程：
计算:$1+5+5^{2}+5^{3}+··· +5^{24}+5^{25}$。
解:设$s=1+5+5^{2}+5^{3}+··· +5^{24}+5^{25}$，
则$5s=5+5^{2}+5^{3}+··· +5^{25}+5^{26}$，
通过阅读,你一定学会了这种解决问题的方法,请用你学到的方法计算:
$1+3+3^{2}+3^{3}+··· +3^{9}+3^{10}$。
计算:$1+5+5^{2}+5^{3}+··· +5^{24}+5^{25}$。
解:设$s=1+5+5^{2}+5^{3}+··· +5^{24}+5^{25}$，
则$5s=5+5^{2}+5^{3}+··· +5^{25}+5^{26}$，
通过阅读,你一定学会了这种解决问题的方法,请用你学到的方法计算:
$1+3+3^{2}+3^{3}+··· +3^{9}+3^{10}$。
答案
12.解:设$s=1+3+3^2+3^3+··· +3^9+3^{10}$,
则$3s=3+3^2+3^3+3^4+··· +3^{10}+3^{11}$,
故$s=\dfrac{3^{11}-1}{2}$。
则$3s=3+3^2+3^3+3^4+··· +3^{10}+3^{11}$,
故$s=\dfrac{3^{11}-1}{2}$。
解析
【分析】
这是一道规律类求和题，可直接借鉴题目给出的错位相减方法解题：首先观察所求式子的特点，每一项都是前一项的3倍，我们先设式子的和为s，再将等式两边同时乘3得到新的等式，把两个等式相减就可以消去中间大量相同的项，最后整理即可求出s的值也就是原式的结果。
【解析】
解：设$ s=1+3+3^2+3^3+··· +3^9+3^{10} $ ①，
将等式两边同时乘3，可得：
$ 3s=3+3^2+3^3+3^4+··· +3^{10}+3^{11} $ ②，
用②式减去①式，左边为$ 3s - s = 2s $，右边相同项抵消后剩下$ 3^{11} - 1 $，即：
$ 2s = 3^{11} - 1 $，
两边同时除以2，得$ s=\dfrac{3^{11}-1}{2} $。
【答案】
$\dfrac{3^{11}-1}{2}$
【知识点】
乘方运算，错位相减求和，规律探究
【点评】
本题属于材料阅读类题型，重点考查方法迁移应用能力，解题的核心是抓住式子的倍数特征，通过乘公比后错位相减消去重复项，简化计算过程，该方法可以广泛应用于同类型的规律求和问题中。
【难度系数】
0.7
这是一道规律类求和题，可直接借鉴题目给出的错位相减方法解题：首先观察所求式子的特点，每一项都是前一项的3倍，我们先设式子的和为s，再将等式两边同时乘3得到新的等式，把两个等式相减就可以消去中间大量相同的项，最后整理即可求出s的值也就是原式的结果。
【解析】
解：设$ s=1+3+3^2+3^3+··· +3^9+3^{10} $ ①，
将等式两边同时乘3，可得：
$ 3s=3+3^2+3^3+3^4+··· +3^{10}+3^{11} $ ②，
用②式减去①式，左边为$ 3s - s = 2s $，右边相同项抵消后剩下$ 3^{11} - 1 $，即：
$ 2s = 3^{11} - 1 $，
两边同时除以2，得$ s=\dfrac{3^{11}-1}{2} $。
【答案】
$\dfrac{3^{11}-1}{2}$
【知识点】
乘方运算，错位相减求和，规律探究
【点评】
本题属于材料阅读类题型，重点考查方法迁移应用能力，解题的核心是抓住式子的倍数特征，通过乘公比后错位相减消去重复项，简化计算过程，该方法可以广泛应用于同类型的规律求和问题中。
【难度系数】
0.7
