1. 下列各式中,能表示 y 与 x(x,y 均不为 0)成反比例关系的是 ()

A.$y=3+x$
B.$x+y=56$
C.$x=56y$
D.$xy=6$

1. D

【分析】
要判断y与x是否成反比例关系，首先需明确反比例关系的判定标准：若两个不为0的相关联的量x、y的乘积是固定不变的常数（即$xy=k$，k为常数且$k≠0$），则x和y成反比例关系。接下来只需逐个对选项变形，判断是否符合上述判定标准即可。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的乘积为定值（不为0），则这两种量成反比例关系，表达形式为$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）。
对各选项逐一分析：
A选项：$y=3+x$，变形得$y-x=3$，是x与y的差为定值，不符合反比例关系要求，错误；
B选项：$x+y=56$，是x与y的和为定值，不符合反比例关系要求，错误；
C选项：$x=56y$，变形得$\frac{x}{y}=56$，是x与y的比值为定值，属于正比例关系，不符合反比例要求，错误；
D选项：$xy=6$，x与y的乘积为定值6，符合反比例关系的定义，正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例关系的判定；正比例关系的判定
【点评】
本题考查正反比例关系的基础概念辨析，解题核心是抓住反比例关系“乘积一定”的本质特征，注意区分和一定、差一定、比值一定等不同情况，属于概念类基础题。
【难度系数】
0.8

2.（2025和田地区期末）当三角形的面积为定值时，下列选项中成反比例关系的是（）

A.三角形的一边长与周长
B.三角形的高与周长
C.三角形的一边长与该边上的高
D.三角形的周长与面积

2. C

【分析】
解题时首先要明确反比例关系的判定标准：两种相关联的量，若它们的乘积是固定不变的非零常数，则这两种量成反比例关系。接下来结合题目中“三角形面积为定值”的条件，回忆三角形的面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（a为底边长，h为这条底边上的高），再逐一分析各选项中的两个量，判断它们的乘积是否为定值即可得到答案。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：两个相关联的变量x、y，若满足$xy=k$（k为固定不变的非零常数），则x与y成反比例关系。
已知三角形面积S为定值，三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ah$（a为三角形的一边长，h为该边上的高）。
对各选项逐一分析：
A. 三角形的一边长与周长：周长是三角形三边长度之和，一边长和周长的乘积不是定值，二者不成反比例关系；
B. 三角形的高与周长：高和周长的乘积不是定值，二者不成反比例关系；
C. 三角形的一边长与该边上的高：由面积公式变形可得$ah=2S$，因为S是定值，所以2S是固定常数，即边长与对应高的乘积为定值，二者成反比例关系；
D. 三角形的周长与面积：题目中已经说明面积是定值，不会随周长的变化而变化，不符合反比例关系中两个量都随对方变化的要求，二者不成反比例关系。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例关系判定 2.三角形面积计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是熟练掌握反比例关系的判定条件，结合几何公式分析两个变量的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 用一批纸装订练习本，每本30页，可以装订40本；若每本x页，可以装订y本，则用式子表示y与x的关系为。

3. $xy=1200$

【分析】
本题的解题关键是找到题目中的不变量：这批纸的总页数是固定不变的。我们可以利用“总页数=每本练习本的页数×装订的本数”这一数量关系解题：首先根据已知的每本30页、可装订40本算出总页数，再根据总页数相等，用含x、y的式子表示总页数，就能得到二者的关系式。
【解析】
解：第一步，计算这批纸的总页数：
总页数 = 每本页数 × 装订本数 = 30 × 40 = 1200（页）
第二步，用x、y表示总页数：当每本x页，装订y本时，总页数 = x × y = xy
因为纸张总页数固定不变，所以二者相等，可得关系式：xy = 1200
【答案】
$xy=1200$
【知识点】
列代数式；等量关系应用
【点评】
本题是基础类题型，重点考查学生分析题目隐含条件的能力，只要抓住总页数不变这一核心，结合常见的数量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.9

4.（教材练习 T2 变式）判断下面各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由：
（1）圆柱的侧面积一定，圆柱的底面周长与高；
（2）打同一份稿件，打字所用的时间与打字的速度；
（3）商品的数量一定，商品的单价和总价。

4. 解:(1)圆柱的底面周长与高成反比例关系.
理由:因为圆柱的底面周长与高是两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积(即圆柱的侧面积)一定，所以圆柱的底面周长与高成反比例关系.
(2)打字所用的时间与打字的速度成反比例关系.理由:因为打字所用的时间与打字的速度是两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积(即稿件的总字数)一定，所以打字所用的时间与打字的速度成反比例关系.
(3)商品的单价与总价不成反比例关系.
理由:商品的数量一定，商品的单价与总价成正比例关系.

【分析】
判断两个量是否成反比例，首先要牢记反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。解题时按以下步骤思考：第一步，判断两个量是否相关联，是否会随对方变化而变化；第二步，写出两个量的数量关系式，看它们的乘积是否为定值；第三步，结合定义给出结论，同时注意区分反比例（乘积一定）和正比例（比值一定）的差异。
【解析】
(1) 先找数量关系：$\mathrm{底面周长} × \mathrm{高} = \mathrm{圆柱侧面积}$，已知侧面积一定，也就是底面周长和高的乘积为定值，且二者是相关联的量，一个变化另一个也随之变化，符合反比例关系的判定条件。
(2) 先找数量关系：$\mathrm{打字速度} × \mathrm{打字时间} = \mathrm{稿件总字数}$，同一份稿件的总字数是固定的，也就是打字速度和打字时间的乘积为定值，且二者是相关联的量，一个变化另一个也随之变化，符合反比例关系的判定条件。
(3) 先找数量关系：$\mathrm{总价} ÷ \mathrm{单价} = \mathrm{商品数量}$，已知商品数量一定，也就是总价和单价的比值为定值，二者符合正比例关系的判定条件，乘积不是定值，因此不符合反比例的判定要求。
【答案】
(1)圆柱的底面周长与高成反比例关系.理由:因为圆柱的底面周长与高是两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积(即圆柱的侧面积)一定，所以圆柱的底面周长与高成反比例关系.
(2)打字所用的时间与打字的速度成反比例关系.理由:因为打字所用的时间与打字的速度是两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积(即稿件的总字数)一定，所以打字所用的时间与打字的速度成反比例关系.
(3)商品的单价与总价不成反比例关系.理由:商品的数量一定，商品的单价与总价成正比例关系.
【知识点】
反比例的意义、正比例的意义、数量关系
【点评】
本题是反比例判定的基础题型，解题的核心是抓住反比例关系“乘积一定”的本质特征，要注意区分正比例和反比例的判定差异，避免将比值一定的正比例关系误判为反比例。
【难度系数】
0.8

5.（教材练习T3变式）某工厂计划包装一批圆珠笔，每盒装的支数与总盒数之间的关系如下表所示：
| 每盒装的支数 | 10 | 12 | m | 16 | 20 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 总盒数 | 240 | | n | 150 | 120 | … |

解：
这批圆珠笔的总数量为：$10 × 240 = 2400$（支）
根据总数量 = 每盒装的支数 × 总盒数，可得：
$m · n = 2400$
因此用含$m$的代数式表示$n$为：$\boldsymbol{n=\dfrac{2400}{m}}$

【分析】
首先观察表格数据，可知每盒装的支数和总盒数的乘积是定值，即圆珠笔的总数量固定不变。解题时先利用给出的已知数据计算出总数量，再根据“每盒装的支数×总盒数=总数量”的等量关系，代入m、n，最后对式子变形即可得到用m表示n的代数式。
【解析】
1. 计算圆珠笔总数量：
选取第一组数据计算，$10 × 240 = 2400$（支），验证其余组数据，每盒装支数与总盒数乘积均为2400，即总数量为定值2400支。
2. 代入等量关系：
根据$\mathrm{每盒装的支数} × \mathrm{总盒数} = \mathrm{总数量}$，将每盒装m支、总盒数n代入得：$m · n = 2400$
3. 变形得到n的表达式：
将上式两边同时除以m（$m \ne 0$），可得$n=\dfrac{2400}{m}$
【答案】
$\boldsymbol{n=\dfrac{2400}{m}}$
【知识点】
列代数式；数量关系；代数式变形
【点评】
本题重点考查从表格中提取有效信息的能力，以及对基础数量关系的应用能力，只要能找到不变的总数量，结合常见乘积类数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8