登录
五）反比例关系
(1)这批圆珠笔共有多少支？
(2)总盒数是怎样随着每盒装的支数的变化而变化的？
(3)用n表示总盒数，用m表示每盒装的支数，用式子表示n与m的关系，n与m成什么比例关系？
(1)这批圆珠笔共有多少支？
(2)总盒数是怎样随着每盒装的支数的变化而变化的？
(3)用n表示总盒数，用m表示每盒装的支数，用式子表示n与m的关系，n与m成什么比例关系？
答案
5. 解:(1)$10×240=2400$(支).
答:这批圆珠笔共有 2400 支.
(2)总盒数随着每盒装的支数的增大而减小，且总盒数与每盒装的支数的乘积一定.
(3)$mn=2400$；$n$与$m$成反比例关系.
答:这批圆珠笔共有 2400 支.
(2)总盒数随着每盒装的支数的增大而减小，且总盒数与每盒装的支数的乘积一定.
(3)$mn=2400$；$n$与$m$成反比例关系.
解析
【分析】
本题围绕反比例关系的基础知识点设置问题，解题思路如下：
1. 第(1)问求圆珠笔总数量，根据“总数量=每盒装的支数×对应总盒数”，选取已知的一组对应数值（每盒装10支、共240盒）相乘即可得到总量；
2. 第(2)问分析两个变量的变化规律，观察每盒装的支数增大或减小时总盒数的变化趋势，再结合总数量固定的特点总结即可；
3. 第(3)问先根据总数量固定的等量关系列出n和m的关系式，再结合反比例关系的定义（两个相关联的量，乘积一定则成反比例）判断比例关系。
【解析】
(1) 已知每盒装10支时，一共可以装240盒，总数量为每盒支数乘盒数：
$10×240=2400$（支）
答：这批圆珠笔共有2400支。
(2) 观察变量变化规律：每盒装的支数增大时，总盒数随之减小；每盒装的支数减小时，总盒数随之增大，且总盒数与每盒装的支数的乘积始终等于总数量2400，为固定值。
(3) 已知总数量固定为2400，总盒数为n，每盒装的支数为m，根据“每盒支数×总盒数=总数量”的等量关系，可得关系式：
$mn=2400$
n和m是相关联的两个量，且二者的乘积为固定值，因此n与m成反比例关系。
【答案】
(1) 这批圆珠笔共有2400支；
(2) 总盒数随着每盒装的支数的增大而减小，且总盒数与每盒装的支数的乘积一定；
(3) $mn=2400$；n与m成反比例关系。
【知识点】
1. 反比例关系判定
2. 用字母表示数量关系
3. 总量计算
【点评】
本题是反比例关系的基础应用题，侧重考查对反比例核心概念的理解，解题关键是抓住总数量不变的特点，结合反比例的判定规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题围绕反比例关系的基础知识点设置问题，解题思路如下：
1. 第(1)问求圆珠笔总数量，根据“总数量=每盒装的支数×对应总盒数”，选取已知的一组对应数值（每盒装10支、共240盒）相乘即可得到总量；
2. 第(2)问分析两个变量的变化规律，观察每盒装的支数增大或减小时总盒数的变化趋势，再结合总数量固定的特点总结即可；
3. 第(3)问先根据总数量固定的等量关系列出n和m的关系式，再结合反比例关系的定义（两个相关联的量，乘积一定则成反比例）判断比例关系。
【解析】
(1) 已知每盒装10支时，一共可以装240盒，总数量为每盒支数乘盒数：
$10×240=2400$（支）
答：这批圆珠笔共有2400支。
(2) 观察变量变化规律：每盒装的支数增大时，总盒数随之减小；每盒装的支数减小时，总盒数随之增大，且总盒数与每盒装的支数的乘积始终等于总数量2400，为固定值。
(3) 已知总数量固定为2400，总盒数为n，每盒装的支数为m，根据“每盒支数×总盒数=总数量”的等量关系，可得关系式：
$mn=2400$
n和m是相关联的两个量，且二者的乘积为固定值，因此n与m成反比例关系。
【答案】
(1) 这批圆珠笔共有2400支；
(2) 总盒数随着每盒装的支数的增大而减小，且总盒数与每盒装的支数的乘积一定；
(3) $mn=2400$；n与m成反比例关系。
【知识点】
1. 反比例关系判定
2. 用字母表示数量关系
3. 总量计算
【点评】
本题是反比例关系的基础应用题，侧重考查对反比例核心概念的理解，解题关键是抓住总数量不变的特点，结合反比例的判定规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
6. 下列各选项中的两个量成反比例关系的是 （
A.圆的半径与面积
B.购买钢笔和笔记本的总费用一定，钢笔的费用和笔记本的费用
C.面积一定，平行四边形的底和高
D.正方形的边长与周长
C
）A.圆的半径与面积
B.购买钢笔和笔记本的总费用一定，钢笔的费用和笔记本的费用
C.面积一定，平行四边形的底和高
D.正方形的边长与周长
答案
6. C
解析
【分析】
解题首先要明确反比例关系的判断核心：两个相关联的量，若它们的乘积为固定定值，则二者成反比例关系。接下来只需逐一分析各选项中两个量的数量关系，验证是否满足乘积为定值的要求，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确反比例关系判定规则：两种相关联的量，对应数值的乘积为定值时，二者成反比例关系，我们逐一分析选项：
A选项：圆的面积公式为$S=π r^2$，面积和半径的平方比值为定值（成正比例），但面积和半径的乘积不是定值，因此二者不成反比例关系；
B选项：总费用=钢笔费用+笔记本费用，二者是和为定值，不是乘积为定值，因此不成反比例关系；
C选项：平行四边形面积公式为$S=底×高$，已知面积S为定值，即底和高的乘积固定，因此二者成反比例关系；
D选项：正方形周长公式为$C=4×边长$，周长和边长的比值为定值4，二者成正比例关系，不属于反比例关系。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
反比例关系判断、正比例关系判断、几何量数量关系
【点评】
本题主要考查正反比例关系的区分，解题关键是抓住反比例关系“乘积一定”的核心特征，注意不要和正比例“比值一定”、和差关系“和或差一定”的情况混淆，结合对应数量关系式判断即可降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确反比例关系的判断核心：两个相关联的量，若它们的乘积为固定定值，则二者成反比例关系。接下来只需逐一分析各选项中两个量的数量关系，验证是否满足乘积为定值的要求，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确反比例关系判定规则：两种相关联的量，对应数值的乘积为定值时，二者成反比例关系，我们逐一分析选项：
A选项：圆的面积公式为$S=π r^2$，面积和半径的平方比值为定值（成正比例），但面积和半径的乘积不是定值，因此二者不成反比例关系；
B选项：总费用=钢笔费用+笔记本费用，二者是和为定值，不是乘积为定值，因此不成反比例关系；
C选项：平行四边形面积公式为$S=底×高$，已知面积S为定值，即底和高的乘积固定，因此二者成反比例关系；
D选项：正方形周长公式为$C=4×边长$，周长和边长的比值为定值4，二者成正比例关系，不属于反比例关系。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
反比例关系判断、正比例关系判断、几何量数量关系
【点评】
本题主要考查正反比例关系的区分，解题关键是抓住反比例关系“乘积一定”的核心特征，注意不要和正比例“比值一定”、和差关系“和或差一定”的情况混淆，结合对应数量关系式判断即可降低出错概率。
【难度系数】
0.8
7. 新考法跨学科 同学们在探究“杠杆原理”时，通过实验发现:当左边刻度4处挂3个砝码，右边刻度及挂砝码数如图25-G-1所示，此时两边平衡.想一想:在右边其余刻度上挂几个砝码才能保证平衡?
(1)请你完成表格.
(2)从表中你发现砝码数与右边刻度数成什么比例关系?为什么?
图25-G-1
(1)请你完成表格.
(2)从表中你发现砝码数与右边刻度数成什么比例关系?为什么?
图25-G-1
答案
7. 解:(1)因为$1×12=2×6=3×4=4×3=12$，所以填表如下：
| 右边刻度数 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 砝码数 | 12 | 6 | 4 | 3 |
| 乘积 | 12 | 12 | 12 | 12 |
(2)砝码数与右边刻度数成反比例关系.理由：因为砝码数与右边刻度数是两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且砝码数与右边刻度数的乘积一定，所以砝码数与右边刻度数成反比例关系.
| 右边刻度数 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 砝码数 | 12 | 6 | 4 | 3 |
| 乘积 | 12 | 12 | 12 | 12 |
(2)砝码数与右边刻度数成反比例关系.理由：因为砝码数与右边刻度数是两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且砝码数与右边刻度数的乘积一定，所以砝码数与右边刻度数成反比例关系.
解析
【分析】
解题时首先结合杠杆平衡的规律：平衡时左侧刻度数×左侧砝码数=右侧刻度数×右侧砝码数，先计算出左侧的固定乘积为4×3=12，因此右侧刻度数和砝码数的乘积必须等于12才能平衡。解决第一问时，用固定乘积12除以对应右侧刻度数，就能得到所需砝码数，完成表格填写；解决第二问时，观察表格中砝码数和刻度数的变化规律，结合反比例的定义（两个相关联的量，若乘积一定，则两个量成反比例关系）即可判断比例关系。
【解析】
(1) 先计算左侧刻度与砝码数的乘积：$4×3=12$，根据杠杆平衡规则，右侧刻度数×右侧砝码数=12。
当右侧刻度为1时，砝码数为$12÷1=12$，乘积为$1×12=12$；
当右侧刻度为2时，砝码数为$12÷2=6$，乘积为$2×6=12$；
当右侧刻度为3时，砝码数为$12÷3=4$，乘积为$3×4=12$；
当右侧刻度为4时，砝码数为$12÷4=3$，乘积为$4×3=12$；
据此完成表格填写。
(2) 判断比例关系：砝码数与右边刻度数是两个相关联的量，刻度数变化时砝码数也随之变化，且二者的乘积始终为12（固定不变），符合反比例关系的判定条件，因此二者成反比例关系。
【答案】
(1) 填表如下：
| 右边刻度数 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 砝码数 | 12 | 6 | 4 | 3 |
| 乘积 | 12 | 12 | 12 | 12 |
(2) 砝码数与右边刻度数成反比例关系。理由：因为砝码数与右边刻度数是两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且砝码数与右边刻度数的乘积一定，所以砝码数与右边刻度数成反比例关系。
【知识点】
反比例关系判定、杠杆平衡规律、乘除运算应用
【点评】
本题是跨学科融合题型，结合物理杠杆平衡知识考查数学反比例相关内容，既要求学生掌握平衡的等量条件，又需要熟练运用反比例的判定规则，能够锻炼学生知识迁移和综合运用的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合杠杆平衡的规律：平衡时左侧刻度数×左侧砝码数=右侧刻度数×右侧砝码数，先计算出左侧的固定乘积为4×3=12，因此右侧刻度数和砝码数的乘积必须等于12才能平衡。解决第一问时，用固定乘积12除以对应右侧刻度数，就能得到所需砝码数，完成表格填写；解决第二问时，观察表格中砝码数和刻度数的变化规律，结合反比例的定义（两个相关联的量，若乘积一定，则两个量成反比例关系）即可判断比例关系。
【解析】
(1) 先计算左侧刻度与砝码数的乘积：$4×3=12$，根据杠杆平衡规则，右侧刻度数×右侧砝码数=12。
当右侧刻度为1时，砝码数为$12÷1=12$，乘积为$1×12=12$；
当右侧刻度为2时，砝码数为$12÷2=6$，乘积为$2×6=12$；
当右侧刻度为3时，砝码数为$12÷3=4$，乘积为$3×4=12$；
当右侧刻度为4时，砝码数为$12÷4=3$，乘积为$4×3=12$；
据此完成表格填写。
(2) 判断比例关系：砝码数与右边刻度数是两个相关联的量，刻度数变化时砝码数也随之变化，且二者的乘积始终为12（固定不变），符合反比例关系的判定条件，因此二者成反比例关系。
【答案】
(1) 填表如下：
| 右边刻度数 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 砝码数 | 12 | 6 | 4 | 3 |
| 乘积 | 12 | 12 | 12 | 12 |
(2) 砝码数与右边刻度数成反比例关系。理由：因为砝码数与右边刻度数是两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且砝码数与右边刻度数的乘积一定，所以砝码数与右边刻度数成反比例关系。
【知识点】
反比例关系判定、杠杆平衡规律、乘除运算应用
【点评】
本题是跨学科融合题型，结合物理杠杆平衡知识考查数学反比例相关内容，既要求学生掌握平衡的等量条件，又需要熟练运用反比例的判定规则，能够锻炼学生知识迁移和综合运用的能力。
【难度系数】
0.7
