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跟踪练习3 淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图,西柏坡位于淇淇家的南偏西$70°$方向,则淇淇家位于西柏坡的(
A.南偏西$70°$方向
B.南偏东$20°$方向
C.北偏西$20°$方向
D.北偏东$70°$方向
D
).A.南偏西$70°$方向
B.南偏东$20°$方向
C.北偏西$20°$方向
D.北偏东$70°$方向
答案
跟踪练习3 D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确方向角的相对性规律：两个地点的相对位置，当观测点互换时，方向完全相反（南北互换、东西互换），角度大小保持不变。已知条件中西柏坡位于淇淇家的南偏西70°，观测点是淇淇家，现在需要求淇淇家相对于西柏坡的方向，观测点换成了西柏坡，只需要把原来的方向反过来、角度不变即可推导出结果。
【解析】
两个地点的相对方向满足规律：观测点互换时，方向相反，角度相等。
已知西柏坡在淇淇家的南偏西70°，将观测点换为西柏坡时：
“南”的相反方向是“北”，“西”的相反方向是“东”，角度仍然为70°，因此淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
方向角的概念；位置的相对性
【点评】
本题是方向角的基础应用题，解题核心是掌握相对位置的方向变化规律，只要理解观测点变化后方向相反、角度不变的特点，就能快速得出答案，不易出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确方向角的相对性规律：两个地点的相对位置，当观测点互换时，方向完全相反（南北互换、东西互换），角度大小保持不变。已知条件中西柏坡位于淇淇家的南偏西70°，观测点是淇淇家，现在需要求淇淇家相对于西柏坡的方向，观测点换成了西柏坡，只需要把原来的方向反过来、角度不变即可推导出结果。
【解析】
两个地点的相对方向满足规律：观测点互换时，方向相反，角度相等。
已知西柏坡在淇淇家的南偏西70°，将观测点换为西柏坡时：
“南”的相反方向是“北”，“西”的相反方向是“东”，角度仍然为70°，因此淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
方向角的概念；位置的相对性
【点评】
本题是方向角的基础应用题，解题核心是掌握相对位置的方向变化规律，只要理解观测点变化后方向相反、角度不变的特点，就能快速得出答案，不易出错。
【难度系数】
0.8
1. 图中能用一个大写字母表示的角有（
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
C
）。A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确能用一个大写字母表示角的前提：只有当一个顶点处只存在1个角时，才能用该顶点的大写字母表示这个角，否则会出现指代不清的问题。接下来我们逐一查看图中每个顶点处的角的数量：首先看顶点A，以A为顶点的角只有1个；再看顶点B，以B为顶点的角也只有1个；再看顶点C，以C为顶点的角有2个，无法用单个字母表示；顶点D处没有形成符合要求的角。最后统计符合要求的角的数量即可得出答案。
【解析】
根据角的表示规则：当顶点处只有唯一的一个角时，可以用顶点的大写字母表示这个角。
逐一分析各顶点：
1. 顶点A：以A为顶点的角仅有1个，可表示为∠A，符合要求；
2. 顶点B：以B为顶点的角仅有1个，可表示为∠B，符合要求；
3. 顶点C：以C为顶点的角有∠ACB和∠BCD共2个，不能用单个字母C表示，不符合要求；
4. 顶点D：不存在以D为顶点的小于平角的角，不符合要求。
综上，符合要求的角共有2个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
角的表示方法；角的识别
【点评】
本题核心考查用单个大写字母表示角的适用条件，解题关键是逐个排查每个顶点处的角的数量，牢记只有顶点处仅有一个角时才能使用该表示方法，避免因忽略顶点处多个角的情况造成错选。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确能用一个大写字母表示角的前提：只有当一个顶点处只存在1个角时，才能用该顶点的大写字母表示这个角，否则会出现指代不清的问题。接下来我们逐一查看图中每个顶点处的角的数量：首先看顶点A，以A为顶点的角只有1个；再看顶点B，以B为顶点的角也只有1个；再看顶点C，以C为顶点的角有2个，无法用单个字母表示；顶点D处没有形成符合要求的角。最后统计符合要求的角的数量即可得出答案。
【解析】
根据角的表示规则：当顶点处只有唯一的一个角时，可以用顶点的大写字母表示这个角。
逐一分析各顶点：
1. 顶点A：以A为顶点的角仅有1个，可表示为∠A，符合要求；
2. 顶点B：以B为顶点的角仅有1个，可表示为∠B，符合要求；
3. 顶点C：以C为顶点的角有∠ACB和∠BCD共2个，不能用单个字母C表示，不符合要求；
4. 顶点D：不存在以D为顶点的小于平角的角，不符合要求。
综上，符合要求的角共有2个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
角的表示方法；角的识别
【点评】
本题核心考查用单个大写字母表示角的适用条件，解题关键是逐个排查每个顶点处的角的数量，牢记只有顶点处仅有一个角时才能使用该表示方法，避免因忽略顶点处多个角的情况造成错选。
【难度系数】
0.8
2.如图，O是直线AB上一点，图中小于$180°$的角共有(
A.10个
B.9个
C.8个
D.7个
B
).A.10个
B.9个
C.8个
D.7个
答案
2. B
解析
【分析】
要统计图中小于180°的角，可采用“固定起始边有序计数”的方法避免重复和遗漏。首先明确顶点O出发的射线有OA、OC、OD、OE、OB共5条，计数时先固定一条射线作为角的一边，依次和它右侧的射线组合，排除等于180°的平角，最后累加所有符合要求的角的数量即可。
【解析】
我们按顺序逐一计数：
1. 以OA为起始边：符合要求的角有∠AOC、∠AOD、∠AOE，共3个（∠AOB是180°平角，不符合要求，排除）；
2. 以OC为起始边：符合要求的角有∠COD、∠COE、∠COB，共3个；
3. 以OD为起始边：符合要求的角有∠DOE、∠DOB，共2个；
4. 以OE为起始边：符合要求的角有∠EOB，共1个。
总数量为$3+3+2+1=9$个。
【答案】
B
【知识点】
角的计数；平角的定义
【点评】
本题考查角的基础计数问题，核心是掌握有序计数的逻辑，避免漏数或重复数，同时要注意题目对角度大小的限制，排除平角。
【难度系数】
0.8
要统计图中小于180°的角，可采用“固定起始边有序计数”的方法避免重复和遗漏。首先明确顶点O出发的射线有OA、OC、OD、OE、OB共5条，计数时先固定一条射线作为角的一边，依次和它右侧的射线组合，排除等于180°的平角，最后累加所有符合要求的角的数量即可。
【解析】
我们按顺序逐一计数：
1. 以OA为起始边：符合要求的角有∠AOC、∠AOD、∠AOE，共3个（∠AOB是180°平角，不符合要求，排除）；
2. 以OC为起始边：符合要求的角有∠COD、∠COE、∠COB，共3个；
3. 以OD为起始边：符合要求的角有∠DOE、∠DOB，共2个；
4. 以OE为起始边：符合要求的角有∠EOB，共1个。
总数量为$3+3+2+1=9$个。
【答案】
B
【知识点】
角的计数；平角的定义
【点评】
本题考查角的基础计数问题，核心是掌握有序计数的逻辑，避免漏数或重复数，同时要注意题目对角度大小的限制，排除平角。
【难度系数】
0.8
3.如图，钟表上10:00时，时针与分针构成的角的度数是(
A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
B
)。A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时先回忆钟面的基本特征：整个钟面为周角360°，被平均分成12个大格，因此可以先计算出每个大格对应的角度。再观察10:00时，时针和分针的位置，数出二者之间间隔的大格数，最后用每个大格的角度乘间隔的大格数就能得到夹角的度数。
【解析】
步骤1：计算钟面上每个大格对应的角度：
钟面一周是360°，共分为12个相等的大格，因此每个大格的角度为：$360° ÷ 12 = 30°$。
步骤2：确定10:00时时针和分针的间隔大格数：
10:00时，分针指向12，时针指向10，二者之间相差$12-10=2$个大格。
步骤3：计算夹角度数：
夹角为$2 × 30° = 60°$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 钟面角计算
2. 角的度量
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握钟面的结构特征，只要明确每两个相邻数字间的夹角是30°，再结合时针分针的位置数出间隔数，就能快速算出结果。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆钟面的基本特征：整个钟面为周角360°，被平均分成12个大格，因此可以先计算出每个大格对应的角度。再观察10:00时，时针和分针的位置，数出二者之间间隔的大格数，最后用每个大格的角度乘间隔的大格数就能得到夹角的度数。
【解析】
步骤1：计算钟面上每个大格对应的角度：
钟面一周是360°，共分为12个相等的大格，因此每个大格的角度为：$360° ÷ 12 = 30°$。
步骤2：确定10:00时时针和分针的间隔大格数：
10:00时，分针指向12，时针指向10，二者之间相差$12-10=2$个大格。
步骤3：计算夹角度数：
夹角为$2 × 30° = 60°$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 钟面角计算
2. 角的度量
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握钟面的结构特征，只要明确每两个相邻数字间的夹角是30°，再结合时针分针的位置数出间隔数，就能快速算出结果。
【难度系数】
0.85
4.下列图形能用$∠ 1$，$∠ ACB$，$∠ C$三种方法表示同一个角的是(
A
).答案
4. A
解析
【分析】
解题前先明确角的表示规则：1.用三个大写字母表示角时，顶点字母要写在中间；2.用单个顶点字母表示角的前提是该顶点处只有唯一1个角，否则会出现歧义；3.用数字表示角时数字要标注在对应角的位置。解题时逐个验证四个选项：先判断∠1和∠ACB是否为同一个角，再判断顶点C处是否只有这一个角、能否用∠C表示即可。
【解析】
逐个分析选项：
A选项：顶点C处仅有1个角，角的两条边为CA、CB，既可以标注为∠1，也可以用三个大写字母表示为∠ACB，同时因为顶点C处只有这一个角，也可表示为∠C，三种表示方法对应同一个角，符合要求。
B选项：顶点C处有多个角，不能用∠C表示，且∠1是∠BCD，和∠ACB不是同一个角，不符合要求。
C选项：顶点C处是两条直线相交，共有4个角，不能用∠C单独表示某一个角，不符合要求。
D选项：顶点C处有3个角，不能用∠C表示，不符合要求。
综上，符合条件的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题考查角的表示的注意事项，易错点是忽略单个顶点字母表示角的前提条件，牢记“顶点处仅一个角时才能用单个顶点字母表示角”的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题前先明确角的表示规则：1.用三个大写字母表示角时，顶点字母要写在中间；2.用单个顶点字母表示角的前提是该顶点处只有唯一1个角，否则会出现歧义；3.用数字表示角时数字要标注在对应角的位置。解题时逐个验证四个选项：先判断∠1和∠ACB是否为同一个角，再判断顶点C处是否只有这一个角、能否用∠C表示即可。
【解析】
逐个分析选项：
A选项：顶点C处仅有1个角，角的两条边为CA、CB，既可以标注为∠1，也可以用三个大写字母表示为∠ACB，同时因为顶点C处只有这一个角，也可表示为∠C，三种表示方法对应同一个角，符合要求。
B选项：顶点C处有多个角，不能用∠C表示，且∠1是∠BCD，和∠ACB不是同一个角，不符合要求。
C选项：顶点C处是两条直线相交，共有4个角，不能用∠C单独表示某一个角，不符合要求。
D选项：顶点C处有3个角，不能用∠C表示，不符合要求。
综上，符合条件的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题考查角的表示的注意事项，易错点是忽略单个顶点字母表示角的前提条件，牢记“顶点处仅一个角时才能用单个顶点字母表示角”的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5.填空：
(1)$52°27'=$
(2)$58°45'36''=$
(1)$52°27'=$
52.45
$°$；(2)$58°45'36''=$
58.76
$°$。答案
5.(1) 52.45 (2) 58.76
解析
【分析】
要解决度分秒换算为单一位制“度”的问题，首先明确度、分、秒是60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$，小单位换算为大单位时需除以对应进率。第(1)题仅包含度和分，只需把分的部分除以60换算为度，再加原有的度即可；第(2)题包含秒，先把秒除以60换算为分，和原有分合并后再除以60换算为度，最后加原有的度即可得到结果。
【解析】
(1) 依据$1°=60'$，将分换算为度：
$27'=27÷60=0.45°$
因此$52°27'=52°+0.45°=52.45°$。
(2) 先将秒换算为分，依据$1'=60''$：
$36''=36÷60=0.6'$
合并分的总和：$45'+0.6'=45.6'$
再将分换算为度：
$45.6'=45.6÷60=0.76°$
因此$58°45'36''=58°+0.76°=58.76°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{52.45}$；(2) $\boldsymbol{58.76}$
【知识点】
度分秒换算、角度60进制
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，核心是掌握度分秒的60进制换算规则，小单位转大单位时除以进率60，计算时注意细心即可避免错误。
【难度系数】
0.85
要解决度分秒换算为单一位制“度”的问题，首先明确度、分、秒是60进制，即$1°=60'$，$1'=60''$，小单位换算为大单位时需除以对应进率。第(1)题仅包含度和分，只需把分的部分除以60换算为度，再加原有的度即可；第(2)题包含秒，先把秒除以60换算为分，和原有分合并后再除以60换算为度，最后加原有的度即可得到结果。
【解析】
(1) 依据$1°=60'$，将分换算为度：
$27'=27÷60=0.45°$
因此$52°27'=52°+0.45°=52.45°$。
(2) 先将秒换算为分，依据$1'=60''$：
$36''=36÷60=0.6'$
合并分的总和：$45'+0.6'=45.6'$
再将分换算为度：
$45.6'=45.6÷60=0.76°$
因此$58°45'36''=58°+0.76°=58.76°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{52.45}$；(2) $\boldsymbol{58.76}$
【知识点】
度分秒换算、角度60进制
【点评】
本题是角度单位换算的基础题型，核心是掌握度分秒的60进制换算规则，小单位转大单位时除以进率60，计算时注意细心即可避免错误。
【难度系数】
0.85
6.将$∠ MON$如图摆放在量角器上，其中点$O$为量角器的中心，射线$OM$，$ON$都在整十的刻度线上，则$∠ MON$的度数为(
A.$130°$
B.$70°$
C.$60°$
D.$50°$
C
).A.$130°$
B.$70°$
C.$60°$
D.$50°$
答案
6. C
解析
【分析】
本题考查用量角器度量角的度数，解题思路如下：首先明确量角器读数规则：测量角的度数时，角的度数等于两条边对应同一圈（同是内圈或同是外圈）刻度的差值。我们先分别找到射线OM、ON对应同一圈的整十刻度，再将两个刻度作差即可得到∠MON的度数。
【解析】
解：我们统一读取量角器的外圈刻度：
射线ON对应的外圈整十刻度为70°，射线OM对应的外圈整十刻度为130°；
角的度数为两条边刻度的差值，因此$∠ MON=130°-70°=60°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
量角器读数；角的度量
【点评】
本题为角的度量的基础题型，解题时需注意读数时两条边要选择同一圈的刻度（要么都读内圈，要么都读外圈），避免因内外圈刻度混淆导致读数错误。
【难度系数】
0.8
本题考查用量角器度量角的度数，解题思路如下：首先明确量角器读数规则：测量角的度数时，角的度数等于两条边对应同一圈（同是内圈或同是外圈）刻度的差值。我们先分别找到射线OM、ON对应同一圈的整十刻度，再将两个刻度作差即可得到∠MON的度数。
【解析】
解：我们统一读取量角器的外圈刻度：
射线ON对应的外圈整十刻度为70°，射线OM对应的外圈整十刻度为130°；
角的度数为两条边刻度的差值，因此$∠ MON=130°-70°=60°$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
量角器读数；角的度量
【点评】
本题为角的度量的基础题型，解题时需注意读数时两条边要选择同一圈的刻度（要么都读内圈，要么都读外圈），避免因内外圈刻度混淆导致读数错误。
【难度系数】
0.8
7.(跨学科融合)某市场的公平秤如下页图所示，把10 kg的菜放到秤上，指示盘上的指针转了180°。
(1)如果把3 kg的菜放到秤上，指示盘上的指针转了多少度？
(2)如果称好0.5 kg的菜没有拿走，再把一捆菜放到秤上，指示盘上的指针共转了72°54′，那么后放上的这捆菜的质量是多少千克？
(1)如果把3 kg的菜放到秤上，指示盘上的指针转了多少度？
(2)如果称好0.5 kg的菜没有拿走，再把一捆菜放到秤上，指示盘上的指针共转了72°54′，那么后放上的这捆菜的质量是多少千克？
答案
7. 解:(1)设把 3 kg 的菜放到秤上,指示盘上的指针转了 $x°$.
根据题意,得 $\frac{x}{180}=\frac{3}{10}$,解得 $x=54$.
答:指示盘上的指针转了 $54°$.
(2)$72°54'=72.9°$.
设后放上的这捆菜的质量是 $y$ kg.
根据题意,得 $\frac{0.5+y}{10}=\frac{72.9}{180}$,
解得 $y=3.55$.
答:后放上的这捆菜的质量是 3.55 kg.
根据题意,得 $\frac{x}{180}=\frac{3}{10}$,解得 $x=54$.
答:指示盘上的指针转了 $54°$.
(2)$72°54'=72.9°$.
设后放上的这捆菜的质量是 $y$ kg.
根据题意,得 $\frac{0.5+y}{10}=\frac{72.9}{180}$,
解得 $y=3.55$.
答:后放上的这捆菜的质量是 3.55 kg.
解析
【分析】
这道题中公平秤指示盘指针转动的角度与所称物品的质量成正比例关系，解题时可利用这个正比关系列方程求解。(1)问已知10kg的菜对应指针转动180°，设3kg的菜对应指针转动x°，根据质量比等于对应角度比列方程即可计算结果；(2)问首先要按1°=60′的换算规则，把72°54′换算为以度为单位的单名数，再设后放的菜质量为ykg，总质量(0.5+y)kg对应总转动角度，同样利用正比关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 解：设把3kg的菜放到秤上，指示盘上的指针转了$x°$。
根据指针转动角度与所称质量成正比，可得：
$\frac{x}{180}=\frac{3}{10}$
解得：$x=54$
(2) 先换算角度单位：$\because 1°=60'$，$\therefore 54'=(\frac{54}{60})°=0.9°$，即$72°54'=72.9°$。
解：设后放上的这捆菜的质量是$y$ kg。
总质量为$(0.5+y)$kg，对应总转动角度72.9°，根据正比关系可得：
$\frac{0.5+y}{10}=\frac{72.9}{180}$
解得：$y=3.55$
【答案】
(1) $\boxed{54°}$；(2) $\boxed{3.55}$kg
【知识点】
比例的应用、角的单位换算、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中公平秤的实际场景，将比例关系和角的单位换算知识点相结合，考查学生运用方程解决实际问题的能力，解题的关键是准确找到物品质量和指针转动角度的正比关系，同时注意角度单位的换算规则。
【难度系数】
0.7
这道题中公平秤指示盘指针转动的角度与所称物品的质量成正比例关系，解题时可利用这个正比关系列方程求解。(1)问已知10kg的菜对应指针转动180°，设3kg的菜对应指针转动x°，根据质量比等于对应角度比列方程即可计算结果；(2)问首先要按1°=60′的换算规则，把72°54′换算为以度为单位的单名数，再设后放的菜质量为ykg，总质量(0.5+y)kg对应总转动角度，同样利用正比关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 解：设把3kg的菜放到秤上，指示盘上的指针转了$x°$。
根据指针转动角度与所称质量成正比，可得：
$\frac{x}{180}=\frac{3}{10}$
解得：$x=54$
(2) 先换算角度单位：$\because 1°=60'$，$\therefore 54'=(\frac{54}{60})°=0.9°$，即$72°54'=72.9°$。
解：设后放上的这捆菜的质量是$y$ kg。
总质量为$(0.5+y)$kg，对应总转动角度72.9°，根据正比关系可得：
$\frac{0.5+y}{10}=\frac{72.9}{180}$
解得：$y=3.55$
【答案】
(1) $\boxed{54°}$；(2) $\boxed{3.55}$kg
【知识点】
比例的应用、角的单位换算、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中公平秤的实际场景，将比例关系和角的单位换算知识点相结合，考查学生运用方程解决实际问题的能力，解题的关键是准确找到物品质量和指针转动角度的正比关系，同时注意角度单位的换算规则。
【难度系数】
0.7
