8.小明下午6点后因事外出，看到手表上时针与分针的夹角为$110°$，下午7点前回到家，发现时针与分针的夹角又为$110°$.试计算小明外出了多长时间.

8. 解:设小明外出了 $x$ min,根据题意,得 $6°x - 0.5°x=2×110°$,解得 $x=40$.
答:小明外出了 40 min.

【分析】
解题前先明确钟表上时针和分针的转动速度：分针60分钟转一圈360°，因此每分钟转$360°÷60=6°$；时针12小时转一圈360°，即720分钟转360°，因此每分钟转$360°÷720=0.5°$。小明6点后外出、7点前回家，外出时分针在时针后方，夹角为110°，回家时分针已超过时针，夹角仍为110°，说明外出全程分针比时针一共多走了$2×110°=220°$。我们设外出时间为$x$分钟，根据“分针转动的总角度 - 时针转动的总角度 = 分针比时针多走的角度”这一等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：先计算时针、分针的每分钟转动角度：
分针每分钟转动：$360°÷60=6°$
时针每分钟转动：$360°÷(12×60)=0.5°$
设小明外出了$x$ min，根据题意得：
$6° x - 0.5° x=2×110°$
合并同类项得：$5.5° x=220°$
解得：$x=40$
答：小明外出了40 min。
【答案】
40 min
【知识点】
钟面角计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题是钟面角和方程结合的典型应用题，解题核心是准确掌握时针、分针的转动速度，理清两者的运动过程，找到角度差的等量关系，也可转化为行程中的追及问题理解。
【难度系数】
0.7

9.如图,回答下列问题.
(1)在∠AOB内部任意画1条射线OC,则图1中有几个不同的角？
(2)在∠AOB内部任意画2条射线OC,OD,则图2中有几个不同的角？
(3)在∠AOB内部任意画3条射线OC,OD,OE,则图3中有几个不同的角？
(4)在∠AOB内部任意画n条射线OC,OD,…,则共有多少个不同的角？

9. 解:(1)在$∠ AOB$内部任意画1条射线OC,则题图1中有3个不同的角.
(2)在$∠ AOB$内部任意画2条射线OC,OD,则题图2中有6个不同的角.
(3)在$∠ AOB$内部任意画3条射线OC,OD,OE,则题图3中有10个不同的角.
(4)在$∠ AOB$内部任意画$n$条射线OC,OD,…,则共有 $1+2+3+\dots+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ 个不同的角.

【分析】
解决这类数角的问题，核心是采用有序计数的方法，避免重复和遗漏。我们可以固定一条射线作为角的始边，依次和剩余射线组成角，统计个数后更换下一条始边（不重复统计已经数过的组合），最后求和即可；探究通用规律时，先找到内部射线数量和总射线数量的关系，再结合连续整数求和的方法推导公式。
【解析】
(1) 图1中，∠AOB内部有1条射线OC，从顶点O出发的射线共有3条。按顺序计数：以OA为始边的角有∠AOC、∠AOB共2个，以OC为始边且未重复统计的角有∠COB共1个，总个数为$2+1=3$个。
(2) 图2中，∠AOB内部有2条射线OC、OD，从顶点O出发的射线共有4条。按顺序计数：以OA为始边的角有3个，以OC为始边且未重复统计的角有2个，以OD为始边且未重复统计的角有1个，总个数为$3+2+1=6$个。
(3) 图3中，∠AOB内部有3条射线OC、OD、OE，从顶点O出发的射线共有5条。按顺序计数：以OA为始边的角有4个，以OC为始边且未重复统计的角有3个，以OD为始边且未重复统计的角有2个，以OE为始边且未重复统计的角有1个，总个数为$4+3+2+1=10$个。
(4) 当∠AOB内部有n条射线时，从顶点O出发的射线总共有$n+2$条。结合上述规律，总角数为从1到$n+1$的连续整数之和，根据求和公式可得：
$1+2+3+\dots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个。
【答案】
(1) 3个；(2) 6个；(3) 10个；(4) $\frac{(n+1)(n+2)}{2}$个
【知识点】
1. 角的定义 2. 图形计数 3. 规律探究
【点评】
本题是角的计数的典型题型，通过从特殊情况到一般规律的推导，考查有序计数的思维方式，能够有效避免计数时出现重复、遗漏的问题，同时锻炼归纳推理的能力。
【难度系数】
0.7