1. 切线长定义
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间，叫作这点到圆的切线长.

1. 线段的长

2. 切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长，并且这一点和圆心的连线两条切线的夹角。

2. 相等 平分

典例 如图，PA，PB是$\odot O$的切线，切点分别是A，B，Q为$\overset{\frown}{AB}$上一点。过点Q作$\odot O$的切线，分别交PA，PB于E，F两点。已知$PA = 12\ \mathrm{cm}$，$∠ P = 56°$。
(1)求$△ PEF$的周长；
(2)求$∠ EOF$的度数。

温馨提示 切线长定理包含两个方面：一是从圆外一点引的这两条切线的切线长相等；二是这点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。切线长相等可以判定两条线段相等，连线平分夹角可以证明角相等或求角的度数。

1. 解 (1)
∵PA,PB,EF 为$\odot O$ 的切线，$PA=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore EA=EQ$，$FQ=FB$，$PA=PB=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore △ PEF$ 的周长为 $PE+EQ+FQ+PF=PA+PB=12+12=24(\mathrm{cm})$.
2. (2)
∵PA,PB 是$\odot O$ 的切线，切点分别是 $A,B$，
$\therefore ∠ PAO=∠ PBO=90°$.
$\because ∠ P=56°$，
$\therefore ∠ AOB=124°$.
$\because PA,PB,EF$ 为$\odot O$ 的切线，
$\therefore ∠ AEO = ∠ QEO$，$∠ QFO = ∠ BFO$，$∠ EAO=∠ EQO=90°$，$∠ FQO=∠ FBO=90°$，
$\therefore ∠ AOE=∠ QOE$，$∠ QOF=∠ FOB$，
$\therefore ∠ EOF=\frac{1}{2}∠ AOB=62°$.

举一反三 如图，
BC是$\odot O$的直径，直线$l$是过点$C$的切线，切点为$C$，$N$是$\odot O$上的一点，直线$BN$交$l$于点$M$，过点$N$的切线交$l$于点$P$，切点为$N$。求证：$PM=PN$。

证明 如图，连接CN。
∵BC是$\odot O$的直径，
∴∠BNC=90°，
∴∠NCM + ∠NMC = 90°，∠PNC + ∠PNM=90°。
∵PC,PN是$\odot O$的切线，
∴PC=PN，
∴∠PCN=∠PNC。
∵∠PCN+∠PMN=∠PNC+∠PNM=90°，
∴∠PNM=∠PMN，
∴PM=PN。