9. 如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C. 已知AC=6 cm，CB=8 cm，则⊙O的半径为 cm.

9. $\frac{25}{3}$ 解析 如图,连接 OA, OB, 过点 A 作$AD ⊥ OB$于点D.
$\because$ 角尺长边与$\odot O$相切于点B，
$\therefore OB ⊥ BC.$
$\because AC ⊥ BC,AD ⊥ OB,$
$\therefore$ 四边形ACBD为矩形，
$\therefore BD=AC=6\ \mathrm{cm},AD=BC=8\ \mathrm{cm}.$
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$,则$OA=OB=r\ \mathrm{cm}$，
$\therefore OD=OB-BD=(r-6)\mathrm{cm}.$
在$\mathrm{Rt}△ OAD$ 中, $AD^2+OD^2=OA^2$, 即$8^2+(r-6)^2=r^2$,解得$r=\frac{25}{3}.$
故$\odot O$的半径为$\frac{25}{3}\ \mathrm{cm}.$

10. 如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，以CD为直径作⊙O，分别交AC，BC于点M，N，过点M作ME⊥AB，交AB于点E.
(1)求证:ME是⊙O的切线;
(2)若CD＝5，AC＝8，求ME的长.

10. (1)证明 如图1，连接OM.
$\because ∠ ACB=90°,D$为斜边的中点，
$\therefore CD = DA = DB=\frac{1}{2}AB,\therefore ∠ ACD=∠ A.$
$\because OC=OM,\therefore ∠ ACD=∠ OMC,$
$\therefore ∠ OMC=∠ A,\therefore OM// AB.$
$\because ME⊥ AB,\therefore ME⊥ OM.$
$\because OM$为$\odot O$的半径,$\therefore ME$为$\odot O$的切线.
(2)解 如图2,连接DM.
$\because CD=5,∠ ACB=90°,CD$是斜边AB上的中线，
$\therefore BD=CD=AD=5.$
$\because CD$为直径，
$\therefore ∠ CMD=90°,\therefore AM=CM=4,$
$\therefore DM=\sqrt{CD^2-CM^2}=3.$
$\because S_{△ ADM}=\frac{1}{2}AM· DM=\frac{1}{2}AD· ME,$
$\therefore ME=\frac{AM· DM}{AD}=\frac{4× 3}{5}=2.4.$

11.如图,已知直线 PA 交$\odot O$于A,B 两点,AE 是$\odot O$的直径,C 为$\odot O$上一点,且 AC 平分$∠PAE$,过点 C 作$CD⊥PA$,垂足为 D.
(1)求证:CD 为$\odot O$的切线;
(2)若$DC+DA=6,\odot O$的直径为 10,求 AB 的长度.

11. (1)证明 如图,连接OC.
$\because OA=OC,$
$\therefore ∠ OCA=∠ OAC.$
$\because AC$平分$∠ PAE,$
$\therefore ∠ DAC=∠ CAO,$
$\therefore ∠ DAC=∠ OCA,\therefore PB// OC.$
$\because CD⊥ PA,\therefore CD⊥ OC.$
又CO为$\odot O$的半径，
$\therefore CD$为$\odot O$的切线.
(2)解 如图,过点O作$OF⊥ AB$,垂足为F，
$\therefore ∠ OCD=∠ CDA=∠ OFD=90°,$
$\therefore$ 四边形DCOF为矩形，
$\therefore OC=FD,OF=CD.$
$\because DC+DA=6,$
设$AD=x$,则$OF=CD=6-x.$
$\because \odot O$的直径为10，
$\therefore DF=OC=5,\therefore AF=5-x.$
在$\mathrm{Rt}△ AOF$中,由勾股定理,得$AF^2+OF^2=OA^2$,即$(5-x)^2+(6-x)^2=25$,化简得$x^2-11x+18=0$,解得$x_1=2,x_2=9(舍去),$
$\therefore x=2$,从而$AD=2,AF=5-2=3.$
$\because OF⊥ AB$,由垂径定理知,F为AB的中点，
$\therefore AB=2AF=6.$