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14. 观察下列等式，并回答问题：
① $\sqrt{1} × \sqrt{3} = \sqrt{2^2 - 1}$；② $\sqrt{2} × \sqrt{4} = \sqrt{3^2 - 1}$；③ $\sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{4^2 - 1}$；$···$.
请直接写出第5个等式，用含$n$($n$为正整数)的等式表示你发现的规律，并证明这个规律.
① $\sqrt{1} × \sqrt{3} = \sqrt{2^2 - 1}$；② $\sqrt{2} × \sqrt{4} = \sqrt{3^2 - 1}$；③ $\sqrt{3} × \sqrt{5} = \sqrt{4^2 - 1}$；$···$.
请直接写出第5个等式，用含$n$($n$为正整数)的等式表示你发现的规律，并证明这个规律.
答案
第5个等式为: $\sqrt{5} × \sqrt{7} = \sqrt{6^2 - 1}$. 规律: $\sqrt{n} × \sqrt{n+2} = \sqrt{(n+1)^2 - 1}$. 证明: 左边 $=\sqrt{n(n+2)} =\sqrt{n^2+2n} =\sqrt{n^2+2n+1-1} =\sqrt{(n+1)^2-1} =$ 右边
解析
【分析】
我们先观察已知等式的对应部分变化规律：①等式左边第一个二次根式的被开方数依次为1、2、3，恰好等于等式的序号，第m个等式中第一个被开方数就是m；第二个二次根式的被开方数比第一个大2，即m+2；②等式右边根号内的式子为（序号+1）的平方减1，即$(m+1)^2-1$。按照该规律即可写出第5个等式和含n的通用规律，证明时利用二次根式乘法法则化简左边，再通过整式变形和右边对比即可验证规律成立。
【解析】
1. 推导第5个等式：
当等式序号为5时，左边第一个被开方数为5，第二个被开方数为$5+2=7$，右边根号内的式子为$(5+1)^2-1=6^2-1$，因此第5个等式为$\sqrt{5} × \sqrt{7} = \sqrt{6^2 - 1}$。
2. 总结通用规律：
设n为正整数，对应第n个等式，可得规律为$\sqrt{n} × \sqrt{n+2} = \sqrt{(n+1)^2 - 1}$。
3. 证明规律：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），左边化简如下：
左边$=\sqrt{n(n+2)} =\sqrt{n^2+2n}$
将被开方数配方变形（加1再减1，值不变）：
$=\sqrt{n^2+2n+1-1} =\sqrt{(n+1)^2-1} =$ 右边
因此规律成立。
【答案】
第5个等式为: $\sqrt{5} × \sqrt{7} = \sqrt{6^2 - 1}$。
规律: $\sqrt{n} × \sqrt{n+2} = \sqrt{(n+1)^2 - 1}$（n为正整数）。
证明: 左边 $=\sqrt{n(n+2)} =\sqrt{n^2+2n} =\sqrt{n^2+2n+1-1} =\sqrt{(n+1)^2-1} =$ 右边，规律成立。
【知识点】
二次根式乘法运算，数字规律探究，完全平方公式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，将二次根式运算与整式变形相结合，既考查对二次根式乘法法则的掌握程度，也锻炼观察归纳的能力，只要认真比对等式各部分的变化特点就能找到规律，证明时注意整式变形的正确性即可。
【难度系数】
0.8
我们先观察已知等式的对应部分变化规律：①等式左边第一个二次根式的被开方数依次为1、2、3，恰好等于等式的序号，第m个等式中第一个被开方数就是m；第二个二次根式的被开方数比第一个大2，即m+2；②等式右边根号内的式子为（序号+1）的平方减1，即$(m+1)^2-1$。按照该规律即可写出第5个等式和含n的通用规律，证明时利用二次根式乘法法则化简左边，再通过整式变形和右边对比即可验证规律成立。
【解析】
1. 推导第5个等式：
当等式序号为5时，左边第一个被开方数为5，第二个被开方数为$5+2=7$，右边根号内的式子为$(5+1)^2-1=6^2-1$，因此第5个等式为$\sqrt{5} × \sqrt{7} = \sqrt{6^2 - 1}$。
2. 总结通用规律：
设n为正整数，对应第n个等式，可得规律为$\sqrt{n} × \sqrt{n+2} = \sqrt{(n+1)^2 - 1}$。
3. 证明规律：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），左边化简如下：
左边$=\sqrt{n(n+2)} =\sqrt{n^2+2n}$
将被开方数配方变形（加1再减1，值不变）：
$=\sqrt{n^2+2n+1-1} =\sqrt{(n+1)^2-1} =$ 右边
因此规律成立。
【答案】
第5个等式为: $\sqrt{5} × \sqrt{7} = \sqrt{6^2 - 1}$。
规律: $\sqrt{n} × \sqrt{n+2} = \sqrt{(n+1)^2 - 1}$（n为正整数）。
证明: 左边 $=\sqrt{n(n+2)} =\sqrt{n^2+2n} =\sqrt{n^2+2n+1-1} =\sqrt{(n+1)^2-1} =$ 右边，规律成立。
【知识点】
二次根式乘法运算，数字规律探究，完全平方公式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，将二次根式运算与整式变形相结合，既考查对二次根式乘法法则的掌握程度，也锻炼观察归纳的能力，只要认真比对等式各部分的变化特点就能找到规律，证明时注意整式变形的正确性即可。
【难度系数】
0.8
1. 化简$\sqrt{18}$的结果为 【 】
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$9\sqrt{2}$
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$9\sqrt{2}$
答案
C
解析
【分析】
要化简二次根式$\sqrt{18}$，最终需得到最简二次根式（被开方数不含能开得尽方的因数或因式）。首先思考将被开方数18拆分为最大的完全平方数与其余非负整数的乘积，18中最大的完全平方因数是9，即$18=9×2$；再结合积的算术平方根的性质，分别计算两个因数的算术平方根，完全平方数开方后移到根号外，剩余开不尽的因数留在根号内即可得到化简结果。
【解析】
根据积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
积的算术平方根的性质，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的化简运算，解题核心是准确找出被开方数中含有的完全平方因数，再结合相关性质计算即可。
【难度系数】
0.8
要化简二次根式$\sqrt{18}$，最终需得到最简二次根式（被开方数不含能开得尽方的因数或因式）。首先思考将被开方数18拆分为最大的完全平方数与其余非负整数的乘积，18中最大的完全平方因数是9，即$18=9×2$；再结合积的算术平方根的性质，分别计算两个因数的算术平方根，完全平方数开方后移到根号外，剩余开不尽的因数留在根号内即可得到化简结果。
【解析】
根据积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
积的算术平方根的性质，二次根式的化简
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次根式的化简运算，解题核心是准确找出被开方数中含有的完全平方因数，再结合相关性质计算即可。
【难度系数】
0.8
2.（韶关模拟）$\sqrt{(-5)^2 × 6}$的结果是 【 】
A.$-5\sqrt{6}$
B.$5\sqrt{6}$
C.$-30$
D.$30$
A.$-5\sqrt{6}$
B.$5\sqrt{6}$
C.$-30$
D.$30$
答案
B
解析
【分析】
这是一道二次根式化简的题目，解题思路如下：首先明确两个核心解题依据：①算术平方根的结果具有非负性；②积的算术平方根性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）。第一步先计算被开方数里的平方项$(-5)^2$，确认被开方数的两个因式均为非负数，满足性质的使用条件；第二步拆分二次根式，分别化简两个因式的算术平方根；最后合并结果对照选项选答案，过程中要注意避免符号错误和运算顺序错误。
【解析】
解：先计算被开方数中的平方项：
$(-5)^2=25$，
因此原式$=\sqrt{25×6}$。
根据积的算术平方根的性质（$a≥0,b≥0$时，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$）可得：
$\sqrt{25×6}=\sqrt{25}×\sqrt{6}$。
由算术平方根的非负性可知$\sqrt{25}=5$，
因此原式$=5\sqrt{6}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
积的算术平方根性质；二次根式化简；算术平方根的非负性
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查积的算术平方根性质的应用，解题时需注意算术平方根的结果恒为非负，同时要理清运算逻辑，避免出现直接消去平方和开方得到30的错误，也不要误将$\sqrt{25}$化简为-5。
【难度系数】
0.8
这是一道二次根式化简的题目，解题思路如下：首先明确两个核心解题依据：①算术平方根的结果具有非负性；②积的算术平方根性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）。第一步先计算被开方数里的平方项$(-5)^2$，确认被开方数的两个因式均为非负数，满足性质的使用条件；第二步拆分二次根式，分别化简两个因式的算术平方根；最后合并结果对照选项选答案，过程中要注意避免符号错误和运算顺序错误。
【解析】
解：先计算被开方数中的平方项：
$(-5)^2=25$，
因此原式$=\sqrt{25×6}$。
根据积的算术平方根的性质（$a≥0,b≥0$时，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$）可得：
$\sqrt{25×6}=\sqrt{25}×\sqrt{6}$。
由算术平方根的非负性可知$\sqrt{25}=5$，
因此原式$=5\sqrt{6}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
积的算术平方根性质；二次根式化简；算术平方根的非负性
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查积的算术平方根性质的应用，解题时需注意算术平方根的结果恒为非负，同时要理清运算逻辑，避免出现直接消去平方和开方得到30的错误，也不要误将$\sqrt{25}$化简为-5。
【难度系数】
0.8
3. 若$\sqrt{a(a-2)}=\sqrt{a}·\sqrt{a-2}$成立，则$a$的取值范围是 【 】
A.$a≥0$
B.$a≥2$
C.$0≤ a≤2$
D.一切实数
A.$a≥0$
B.$a≥2$
C.$0≤ a≤2$
D.一切实数
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆积的算术平方根的性质的成立条件：等式$\sqrt{xy}=\sqrt{x}·\sqrt{y}$成立的前提是等式右侧两个二次根式的被开方数均为非负数，即$x≥0$且$y≥0$。对应到题目中的等式，我们只需要分别列出右侧两个二次根式有意义的条件，再解不等式组取公共解集，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
根据积的算术平方根的性质成立的条件，要使$\sqrt{a(a-2)}=\sqrt{a}·\sqrt{a-2}$成立，需同时满足：
1. 二次根式$\sqrt{a}$有意义：$a≥0$；
2. 二次根式$\sqrt{a-2}$有意义：$a-2≥0$，解得$a≥2$。
取两个不等式的公共解集，可得$a≥2$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
积的算术平方根的性质；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是部分同学仅考虑等号左侧被开方数非负，忽略等号右侧每个二次根式的被开方数都必须非负的要求，从而选错答案。解题时要牢记二次根式相关性质成立的前提条件，避免漏看限制要求。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆积的算术平方根的性质的成立条件：等式$\sqrt{xy}=\sqrt{x}·\sqrt{y}$成立的前提是等式右侧两个二次根式的被开方数均为非负数，即$x≥0$且$y≥0$。对应到题目中的等式，我们只需要分别列出右侧两个二次根式有意义的条件，再解不等式组取公共解集，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
根据积的算术平方根的性质成立的条件，要使$\sqrt{a(a-2)}=\sqrt{a}·\sqrt{a-2}$成立，需同时满足：
1. 二次根式$\sqrt{a}$有意义：$a≥0$；
2. 二次根式$\sqrt{a-2}$有意义：$a-2≥0$，解得$a≥2$。
取两个不等式的公共解集，可得$a≥2$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
积的算术平方根的性质；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是部分同学仅考虑等号左侧被开方数非负，忽略等号右侧每个二次根式的被开方数都必须非负的要求，从而选错答案。解题时要牢记二次根式相关性质成立的前提条件，避免漏看限制要求。
【难度系数】
0.7
4. 若$\sqrt{5}=m$，$\sqrt{3}=n$，则下列表示$\sqrt{75}$的是 【 】
A.$5m$
B.$5n$
C.$5mn$
D.$5\sqrt{mn}$
A.$5m$
B.$5n$
C.$5mn$
D.$5\sqrt{mn}$
答案
B
解析
【分析】
要得到用$m$、$n$表示$\sqrt{75}$的结果，需按以下思路解题：第一步先对被开方数75进行因数分解，拆分出完全平方因数，75可拆为$25×3$，其中25是完全平方数；第二步利用积的算术平方根的性质拆分二次根式，把完全平方数开方到根号外；第三步将题目给出的$\sqrt{3}=n$代入化简后的式子，最后对比选项选出对应答案即可。
【解析】
解：先对$\sqrt{75}$进行化简：
$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}$
根据积的算术平方根的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{25×3}=\sqrt{25}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}$
已知$\sqrt{3}=n$，代入化简结果得：
$\sqrt{75}=5n$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
积的算术平方根的性质；二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式的基础应用题，解题核心是正确拆分被开方数，分离出其中的完全平方因数，再结合已知条件代换即可，熟练掌握二次根式的化简规则能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要得到用$m$、$n$表示$\sqrt{75}$的结果，需按以下思路解题：第一步先对被开方数75进行因数分解，拆分出完全平方因数，75可拆为$25×3$，其中25是完全平方数；第二步利用积的算术平方根的性质拆分二次根式，把完全平方数开方到根号外；第三步将题目给出的$\sqrt{3}=n$代入化简后的式子，最后对比选项选出对应答案即可。
【解析】
解：先对$\sqrt{75}$进行化简：
$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}$
根据积的算术平方根的性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{25×3}=\sqrt{25}×\sqrt{3}=5\sqrt{3}$
已知$\sqrt{3}=n$，代入化简结果得：
$\sqrt{75}=5n$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
积的算术平方根的性质；二次根式的化简
【点评】
本题属于二次根式的基础应用题，解题核心是正确拆分被开方数，分离出其中的完全平方因数，再结合已知条件代换即可，熟练掌握二次根式的化简规则能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5. 已知$b＜0$，则化简二次根式$\sqrt{a^3b}$的结果是 【 】
A.$-a\sqrt{ab}$
B.$-a\sqrt{-ab}$
C.$a\sqrt{ab}$
D.$a\sqrt{-ab}$
A.$-a\sqrt{ab}$
B.$-a\sqrt{-ab}$
C.$a\sqrt{ab}$
D.$a\sqrt{-ab}$
答案
A
解析
【分析】解题时首先要依据二次根式的定义，明确被开方数必须是非负数，结合已知条件b＜0，先推导得出a的符号；再利用积的算术平方根的性质，将被开方数中能开得尽方的因式分离出来，最后根据a的符号化简绝对值，即可得到正确的化简结果。
【解析】
步骤1：确定a的取值范围
∵二次根式$\sqrt{a^3b}$有意义，
∴被开方数$a^3b≥0$，
又已知$b＜0$，
∴$a^3≤0$，即$a≤0$。
步骤2：拆分并化简二次根式
根据积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{a^3b}=\sqrt{a^2· ab}=\sqrt{a^2}·\sqrt{ab}$
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合$a≤0$，得$\sqrt{a^2}=|a|=-a$，
∴原式$=-a\sqrt{ab}$。
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；积的算术平方根的性质；二次根式的化简
【点评】本题重点考查二次根式的化简，解题的核心是先根据被开方数的非负性判断出a的符号，易错点是忽略a的取值范围，直接将$\sqrt{a^2}$化简为a导致错选。
【难度系数】0.7
【解析】
步骤1：确定a的取值范围
∵二次根式$\sqrt{a^3b}$有意义，
∴被开方数$a^3b≥0$，
又已知$b＜0$，
∴$a^3≤0$，即$a≤0$。
步骤2：拆分并化简二次根式
根据积的算术平方根的性质：$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$\sqrt{a^3b}=\sqrt{a^2· ab}=\sqrt{a^2}·\sqrt{ab}$
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合$a≤0$，得$\sqrt{a^2}=|a|=-a$，
∴原式$=-a\sqrt{ab}$。
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；积的算术平方根的性质；二次根式的化简
【点评】本题重点考查二次根式的化简，解题的核心是先根据被开方数的非负性判断出a的符号，易错点是忽略a的取值范围，直接将$\sqrt{a^2}$化简为a导致错选。
【难度系数】0.7
6. 化简:
(1) $\sqrt{32}=$
(2) $\sqrt{40}=$
(3) $\sqrt{250}=$
(4) $\sqrt{54}=$
(1) $\sqrt{32}=$
$4\sqrt{2}$
;(2) $\sqrt{40}=$
$2\sqrt{10}$
;(3) $\sqrt{250}=$
$5\sqrt{10}$
;(4) $\sqrt{54}=$
$3\sqrt{6}$
.答案
(1) $4\sqrt{2}$ (2) $2\sqrt{10}$ (3) $5\sqrt{10}$ (4) $3\sqrt{6}$
解析
【分析】
化简二次根式为最简二次根式的核心思路是运用积的算术平方根的性质：对于非负数a、b，有$\sqrt{ab}=\sqrt{a} · \sqrt{b}$。解题时先对每个被开方数做因数分解，找出其中最大的完全平方因数，将被开方数拆为完全平方数和不含完全平方因数的非负整数的乘积，再把完全平方数开方后移到根号外，剩余部分留在根号内即可得到化简结果。
【解析】
(1) 先拆分被开方数：$32=16 × 2$，其中16是完全平方数，因此：
$\sqrt{32}=\sqrt{16 × 2}=\sqrt{16} × \sqrt{2}=4\sqrt{2}$
(2) 拆分被开方数：$40=4 × 10$，其中4是完全平方数，因此：
$\sqrt{40}=\sqrt{4 × 10}=\sqrt{4} × \sqrt{10}=2\sqrt{10}$
(3) 拆分被开方数：$250=25 × 10$，其中25是完全平方数，因此：
$\sqrt{250}=\sqrt{25 × 10}=\sqrt{25} × \sqrt{10}=5\sqrt{10}$
(4) 拆分被开方数：$54=9 × 6$，其中9是完全平方数，因此：
$\sqrt{54}=\sqrt{9 × 6}=\sqrt{9} × \sqrt{6}=3\sqrt{6}$
【答案】
(1) $4\sqrt{2}$ (2) $2\sqrt{10}$ (3) $5\sqrt{10}$ (4) $3\sqrt{6}$
【知识点】
1.积的算术平方根性质
2.最简二次根式化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查积的算术平方根性质的应用，解题关键是准确找出被开方数中包含的最大完全平方因数，熟练掌握该方法能为后续二次根式的混合运算打下良好基础。
【难度系数】
0.85
化简二次根式为最简二次根式的核心思路是运用积的算术平方根的性质：对于非负数a、b，有$\sqrt{ab}=\sqrt{a} · \sqrt{b}$。解题时先对每个被开方数做因数分解，找出其中最大的完全平方因数，将被开方数拆为完全平方数和不含完全平方因数的非负整数的乘积，再把完全平方数开方后移到根号外，剩余部分留在根号内即可得到化简结果。
【解析】
(1) 先拆分被开方数：$32=16 × 2$，其中16是完全平方数，因此：
$\sqrt{32}=\sqrt{16 × 2}=\sqrt{16} × \sqrt{2}=4\sqrt{2}$
(2) 拆分被开方数：$40=4 × 10$，其中4是完全平方数，因此：
$\sqrt{40}=\sqrt{4 × 10}=\sqrt{4} × \sqrt{10}=2\sqrt{10}$
(3) 拆分被开方数：$250=25 × 10$，其中25是完全平方数，因此：
$\sqrt{250}=\sqrt{25 × 10}=\sqrt{25} × \sqrt{10}=5\sqrt{10}$
(4) 拆分被开方数：$54=9 × 6$，其中9是完全平方数，因此：
$\sqrt{54}=\sqrt{9 × 6}=\sqrt{9} × \sqrt{6}=3\sqrt{6}$
【答案】
(1) $4\sqrt{2}$ (2) $2\sqrt{10}$ (3) $5\sqrt{10}$ (4) $3\sqrt{6}$
【知识点】
1.积的算术平方根性质
2.最简二次根式化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查积的算术平方根性质的应用，解题关键是准确找出被开方数中包含的最大完全平方因数，熟练掌握该方法能为后续二次根式的混合运算打下良好基础。
【难度系数】
0.85
