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8. 一个长方形实验基地的长为 $80\sqrt{20}$ m，宽为 $3\sqrt{45}$ m，求这个实验基地的面积。
答案
$80\sqrt{20} × 3\sqrt{45} =240 × \sqrt{900} =240 × 30=7200(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
要计算长方形实验基地的面积，首先回忆长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$。本题中长和宽均为含二次根式的形式，因此需要用到二次根式的乘法运算法则：二次根式相乘时，系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，最后将得到的二次根式化简为最简形式，计算出最终结果即可。
【解析】
解：根据长方形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=80\sqrt{20} × 3\sqrt{45}\\&=(80×3)×(\sqrt{20}×\sqrt{45})\\&=240×\sqrt{20×45}\\&=240×\sqrt{900}\\&=240×30\\&=7200(\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
$7200\mathrm{m}^2$
【知识点】
长方形面积计算；二次根式乘法运算；二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握二次根式的运算规则，运算时注意分开计算系数乘积与被开方数的乘积，再化简二次根式得到结果，计算过程中要注意单位不要遗漏。
【难度系数】
0.8
要计算长方形实验基地的面积，首先回忆长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$。本题中长和宽均为含二次根式的形式，因此需要用到二次根式的乘法运算法则：二次根式相乘时，系数相乘作为积的系数，被开方数相乘作为积的被开方数，最后将得到的二次根式化简为最简形式，计算出最终结果即可。
【解析】
解：根据长方形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=80\sqrt{20} × 3\sqrt{45}\\&=(80×3)×(\sqrt{20}×\sqrt{45})\\&=240×\sqrt{20×45}\\&=240×\sqrt{900}\\&=240×30\\&=7200(\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
$7200\mathrm{m}^2$
【知识点】
长方形面积计算；二次根式乘法运算；二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式乘法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握二次根式的运算规则，运算时注意分开计算系数乘积与被开方数的乘积，再化简二次根式得到结果，计算过程中要注意单位不要遗漏。
【难度系数】
0.8
9. 若$\sqrt{2} × \sqrt{\dfrac{6}{x}}$是整数，则整数$x$的值是 【 】
A.1或3
B.3或6
C.3或12
D.6或12
A.1或3
B.3或6
C.3或12
D.6或12
答案
C
解析
【分析】
解题时先依据二次根式有意义的条件确定x为正整数，再运用二次根式的乘法法则化简原式，最后结合结果为整数的要求，推导被开方数需为正完全平方数，进而求出符合条件的x的值。
【解析】
第一步：确定x的取值范围
要使二次根式$\sqrt{\dfrac{6}{x}}$有意义，需满足$\dfrac{6}{x}＞0$且$x≠0$，因此$x$是正整数。
第二步：化简原式
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{2} × \sqrt{\dfrac{6}{x}}=\sqrt{2×\dfrac{6}{x}}=\sqrt{\dfrac{12}{x}}$
第三步：根据整数条件求x
因为原式的结果是整数，所以$\sqrt{\dfrac{12}{x}}$为正整数，即$\dfrac{12}{x}$是正的完全平方数。
正完全平方数有1、4、9、16……，结合$\dfrac{12}{x}$为正整数，可得：
当$\dfrac{12}{x}=1$时，解得$x=12$；
当$\dfrac{12}{x}=4$时，解得$x=3$；
当$\dfrac{12}{x}≥9$时，$x≤\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}$，没有符合条件的正整数x。
因此整数x的值为3或12。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法运算；完全平方数的性质
【点评】
本题考查二次根式的相关运算，解题的关键是先化简原式，再结合整数的要求分析被开方数的特征，注意不要遗漏x为正整数的隐含限制。
【难度系数】
0.7
解题时先依据二次根式有意义的条件确定x为正整数，再运用二次根式的乘法法则化简原式，最后结合结果为整数的要求，推导被开方数需为正完全平方数，进而求出符合条件的x的值。
【解析】
第一步：确定x的取值范围
要使二次根式$\sqrt{\dfrac{6}{x}}$有意义，需满足$\dfrac{6}{x}＞0$且$x≠0$，因此$x$是正整数。
第二步：化简原式
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，可得：
$\sqrt{2} × \sqrt{\dfrac{6}{x}}=\sqrt{2×\dfrac{6}{x}}=\sqrt{\dfrac{12}{x}}$
第三步：根据整数条件求x
因为原式的结果是整数，所以$\sqrt{\dfrac{12}{x}}$为正整数，即$\dfrac{12}{x}$是正的完全平方数。
正完全平方数有1、4、9、16……，结合$\dfrac{12}{x}$为正整数，可得：
当$\dfrac{12}{x}=1$时，解得$x=12$；
当$\dfrac{12}{x}=4$时，解得$x=3$；
当$\dfrac{12}{x}≥9$时，$x≤\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}$，没有符合条件的正整数x。
因此整数x的值为3或12。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法运算；完全平方数的性质
【点评】
本题考查二次根式的相关运算，解题的关键是先化简原式，再结合整数的要求分析被开方数的特征，注意不要遗漏x为正整数的隐含限制。
【难度系数】
0.7
10. 已知$ m = (-\frac{\sqrt{3}}{3}) × (-2\sqrt{21}) $，则
【 】
A.$ -6 ＜ m ＜ -5 $
B.$ -5 ＜ m ＜ -4 $
C.$ 4 ＜ m ＜ 5 $
D.$ 5 ＜ m ＜ 6 $
【 】
A.$ -6 ＜ m ＜ -5 $
B.$ -5 ＜ m ＜ -4 $
C.$ 4 ＜ m ＜ 5 $
D.$ 5 ＜ m ＜ 6 $
答案
D
解析
【分析】
解题分两步进行：第一步先根据二次根式的乘法规则计算m的最简结果，计算时先确定符号（负负得正），再分别计算系数的乘积和根号部分的乘积，最后化简得到最简形式；第二步对化简后的无理数进行大小估算，通过比较其平方值和相邻整数平方的大小，确定m所在的整数区间，再匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：计算m的最简值
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a≥0,b≥0)$，计算如下：
$\begin{aligned}m&=(-\frac{\sqrt{3}}{3}) × (-2\sqrt{21})\\&=\frac{\sqrt{3}}{3} × 2\sqrt{21} \quad \mathrm{（负负得正）}\\&=\frac{2}{3} × \sqrt{3 × 21}\\&=\frac{2}{3} × \sqrt{63}\\&=\frac{2}{3} × 3\sqrt{7} \quad \mathrm{（化简$\sqrt{63}=\sqrt{9×7}=3\sqrt{7}$）}\\&=2\sqrt{7}\end{aligned}$
第二步：估算m的取值范围
将$2\sqrt{7}$转化为根号形式：$2\sqrt{7}=\sqrt{2^2 × 7}=\sqrt{28}$
已知$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜28＜36$，因此$\sqrt{25}＜\sqrt{28}＜\sqrt{36}$，即$5＜m＜6$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘法运算；无理数的估算
【点评】
本题属于二次根式章节的常规题型，解题关键是先正确化简二次根式的乘积，再通过平方法快速估算无理数的取值范围，掌握基础运算法则和估算方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题分两步进行：第一步先根据二次根式的乘法规则计算m的最简结果，计算时先确定符号（负负得正），再分别计算系数的乘积和根号部分的乘积，最后化简得到最简形式；第二步对化简后的无理数进行大小估算，通过比较其平方值和相邻整数平方的大小，确定m所在的整数区间，再匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：计算m的最简值
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a≥0,b≥0)$，计算如下：
$\begin{aligned}m&=(-\frac{\sqrt{3}}{3}) × (-2\sqrt{21})\\&=\frac{\sqrt{3}}{3} × 2\sqrt{21} \quad \mathrm{（负负得正）}\\&=\frac{2}{3} × \sqrt{3 × 21}\\&=\frac{2}{3} × \sqrt{63}\\&=\frac{2}{3} × 3\sqrt{7} \quad \mathrm{（化简$\sqrt{63}=\sqrt{9×7}=3\sqrt{7}$）}\\&=2\sqrt{7}\end{aligned}$
第二步：估算m的取值范围
将$2\sqrt{7}$转化为根号形式：$2\sqrt{7}=\sqrt{2^2 × 7}=\sqrt{28}$
已知$5^2=25$，$6^2=36$，且$25＜28＜36$，因此$\sqrt{25}＜\sqrt{28}＜\sqrt{36}$，即$5＜m＜6$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘法运算；无理数的估算
【点评】
本题属于二次根式章节的常规题型，解题关键是先正确化简二次根式的乘积，再通过平方法快速估算无理数的取值范围，掌握基础运算法则和估算方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
11. 规定两数a、b通过一种运算得到4ab，即$a * b = 4ab$.例如，$2 * 6 = 4×2×6 = 48$.若不论x取什么数，总有$a * x = x$，则$a = \_\_\_\_\_\_$.
答案
$\frac{1}{4}$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题型，解题思路如下：第一步先根据题目给出的新运算规则，将$a*x$转化为常规的代数表达式；第二步结合$a*x=x$对任意x都成立的条件，整理得到关于x的恒等式；第三步根据“若关于x的等式对所有x取值都成立，则x的系数为0”的规律，列方程求解a的值即可。
【解析】
根据新运算的定义$a*b=4ab$，可得：
$a*x = 4· a· x = 4ax$
已知不论x取什么数，总有$a*x = x$，代入得：
$4ax = x$
移项整理得：
$(4a - 1)x = 0$
因为该等式对任意x的取值都成立，所以x的系数必须为0，即：
$4a - 1 = 0$
解得：$a = \frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
新定义运算，恒等式成立条件，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对新定义运算的理解和转化能力，解题的核心是将新运算规则准确转化为常规代数运算，再结合恒等式的成立条件列方程求解，注意运算时不要弄错新运算的规则即可。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题型，解题思路如下：第一步先根据题目给出的新运算规则，将$a*x$转化为常规的代数表达式；第二步结合$a*x=x$对任意x都成立的条件，整理得到关于x的恒等式；第三步根据“若关于x的等式对所有x取值都成立，则x的系数为0”的规律，列方程求解a的值即可。
【解析】
根据新运算的定义$a*b=4ab$，可得：
$a*x = 4· a· x = 4ax$
已知不论x取什么数，总有$a*x = x$，代入得：
$4ax = x$
移项整理得：
$(4a - 1)x = 0$
因为该等式对任意x的取值都成立，所以x的系数必须为0，即：
$4a - 1 = 0$
解得：$a = \frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
新定义运算，恒等式成立条件，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对新定义运算的理解和转化能力，解题的核心是将新运算规则准确转化为常规代数运算，再结合恒等式的成立条件列方程求解，注意运算时不要弄错新运算的规则即可。
【难度系数】
0.8
12. 计算：
(1) $\sqrt{2} × (-\frac{3}{2}\sqrt{12}) × \frac{1}{2}\sqrt{6}$；
(2) $\frac{3}{2}\sqrt{20} × (-\sqrt{15}) × (-\frac{1}{3}\sqrt{48})$。
(1) $\sqrt{2} × (-\frac{3}{2}\sqrt{12}) × \frac{1}{2}\sqrt{6}$；
(2) $\frac{3}{2}\sqrt{20} × (-\sqrt{15}) × (-\frac{1}{3}\sqrt{48})$。
答案
12. (1) $-9$ (2) 60
解析
【分析】
这两道题都是二次根式连乘运算，解题遵循“系数先相乘、二次根式再相乘、最后化简”的思路：第一步先提取所有系数（包含符号），按有理数乘法法则算出系数的乘积；第二步将所有二次根式按照二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）合并为一个二次根式；第三步将合并后的二次根式化简为最简形式，再和系数乘积相乘得到最终结果，计算时要注意负号的运算，避免符号出错。
【解析】
(1) 先将系数和二次根式分开计算：
$\begin{aligned}原式 &= [1×(-\frac{3}{2})×\frac{1}{2}]×(\sqrt{2}×\sqrt{12}×\sqrt{6})\\&= -\frac{3}{4}×\sqrt{2×12×6}\\&= -\frac{3}{4}×\sqrt{144}\\&= -\frac{3}{4}×12\\&= -9\end{aligned}$
(2) 同理分开计算系数和二次根式：
$\begin{aligned}原式 &= [\frac{3}{2}×(-1)×(-\frac{1}{3})]×(\sqrt{20}×\sqrt{15}×\sqrt{48})\\&= \frac{1}{2}×\sqrt{20×15×48}\\&= \frac{1}{2}×\sqrt{14400}\\&= \frac{1}{2}×120\\&= 60\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-9}$；(2) $\boxed{60}$
【知识点】
二次根式的乘法；二次根式的化简；有理数乘法运算
【点评】
本题是二次根式乘法的基础运算题，核心考查二次根式乘法法则的应用，将系数和根式分开计算的方法能有效降低运算出错率，需重点注意运算过程中的符号判断和最终结果的化简。
【难度系数】
0.8
这两道题都是二次根式连乘运算，解题遵循“系数先相乘、二次根式再相乘、最后化简”的思路：第一步先提取所有系数（包含符号），按有理数乘法法则算出系数的乘积；第二步将所有二次根式按照二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）合并为一个二次根式；第三步将合并后的二次根式化简为最简形式，再和系数乘积相乘得到最终结果，计算时要注意负号的运算，避免符号出错。
【解析】
(1) 先将系数和二次根式分开计算：
$\begin{aligned}原式 &= [1×(-\frac{3}{2})×\frac{1}{2}]×(\sqrt{2}×\sqrt{12}×\sqrt{6})\\&= -\frac{3}{4}×\sqrt{2×12×6}\\&= -\frac{3}{4}×\sqrt{144}\\&= -\frac{3}{4}×12\\&= -9\end{aligned}$
(2) 同理分开计算系数和二次根式：
$\begin{aligned}原式 &= [\frac{3}{2}×(-1)×(-\frac{1}{3})]×(\sqrt{20}×\sqrt{15}×\sqrt{48})\\&= \frac{1}{2}×\sqrt{20×15×48}\\&= \frac{1}{2}×\sqrt{14400}\\&= \frac{1}{2}×120\\&= 60\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-9}$；(2) $\boxed{60}$
【知识点】
二次根式的乘法；二次根式的化简；有理数乘法运算
【点评】
本题是二次根式乘法的基础运算题，核心考查二次根式乘法法则的应用，将系数和根式分开计算的方法能有效降低运算出错率，需重点注意运算过程中的符号判断和最终结果的化简。
【难度系数】
0.8
13.（兰州期中）已知长方体的长、宽、高分别为$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$、$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$、$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，求这个长方体的体积。
答案
$3\sqrt{2} × 2\sqrt{3} × 2\sqrt{6} =3×2×2×\sqrt{2×3×6}=72(\mathrm{cm}^3)$
解析
【分析】
解题时首先回忆长方体体积计算公式：体积=长×宽×高，将题目给出的长、宽、高代入公式后，利用二次根式的乘法法则计算即可：二次根式相乘时，系数与系数相乘作为结果的系数，被开方数相乘作为结果的被开方数，最后将得到的二次根式化简，就能求出最终体积。
【解析】
解：根据长方体体积公式$V = 长×宽×高$，代入已知数据计算：
$\begin{aligned}V&=3\sqrt{2} × 2\sqrt{3} × 2\sqrt{6}\\&=(3×2×2)×(\sqrt{2}×\sqrt{3}×\sqrt{6})\\&=12×\sqrt{2×3×6}\\&=12×\sqrt{36}\\&=12×6\\&=72(\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{72\mathrm{cm}^3}$
【知识点】
长方体体积公式、二次根式乘法运算、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算与几何公式结合的基础题，解题的关键是牢记体积公式和二次根式乘法运算法则，计算时先分别计算系数乘积和被开方数的乘积，再化简即可，注意不要混淆系数和被开方数的运算顺序。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆长方体体积计算公式：体积=长×宽×高，将题目给出的长、宽、高代入公式后，利用二次根式的乘法法则计算即可：二次根式相乘时，系数与系数相乘作为结果的系数，被开方数相乘作为结果的被开方数，最后将得到的二次根式化简，就能求出最终体积。
【解析】
解：根据长方体体积公式$V = 长×宽×高$，代入已知数据计算：
$\begin{aligned}V&=3\sqrt{2} × 2\sqrt{3} × 2\sqrt{6}\\&=(3×2×2)×(\sqrt{2}×\sqrt{3}×\sqrt{6})\\&=12×\sqrt{2×3×6}\\&=12×\sqrt{36}\\&=12×6\\&=72(\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
【答案】
$\boxed{72\mathrm{cm}^3}$
【知识点】
长方体体积公式、二次根式乘法运算、二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算与几何公式结合的基础题，解题的关键是牢记体积公式和二次根式乘法运算法则，计算时先分别计算系数乘积和被开方数的乘积，再化简即可，注意不要混淆系数和被开方数的运算顺序。
【难度系数】
0.9
