1.（兰州中考）计算：$\sqrt{3} × \sqrt{2} =$ 【 】

A.6
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{5}$
D.1

B

【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题思路如下：首先明确考点是二次根式的乘法法则，回忆公式：对于非负数a、b，有$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$。接下来将题目中的被开方数3和2代入公式计算，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据二次根式的乘法运算法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$），可得：
$\sqrt{3} × \sqrt{2} = \sqrt{3 × 2} = \sqrt{6}$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的乘法运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考察对二次根式乘法法则的掌握情况，熟记公式即可快速得出正确结果，是考试中常见的基础送分题型。
【难度系数】
0.9

2. 下列运算中，正确的是 【 】

A.$\sqrt{3} × \sqrt{4} = \sqrt{7}$
B.$9\sqrt{3} × \sqrt{\frac{1}{27}} = \sqrt{3}$
C.$\sqrt{6} × \sqrt{3} = 18$
D.$\sqrt{54} × \sqrt{\frac{2}{3}} = 6$

D

【分析】
解题的核心是运用二次根式的乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0,b≥0)$，逐个计算每个选项的运算结果，再和选项给出的结果对比，判断正误即可。计算时要注意根号外的系数要参与运算，最终结果要化为最简二次根式。
【解析】
根据二次根式乘法法则逐个验证选项：
选项A：$\sqrt{3} × \sqrt{4} = \sqrt{3 × 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ≠ \sqrt{7}$，故A错误；
选项B：$9\sqrt{3} × \sqrt{\frac{1}{27}} = 9 × \sqrt{3 × \frac{1}{27}} = 9 × \sqrt{\frac{1}{9}} = 9 × \frac{1}{3} = 3 ≠ \sqrt{3}$，故B错误；
选项C：$\sqrt{6} × \sqrt{3} = \sqrt{6 × 3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} ≠ 18$，故C错误；
选项D：$\sqrt{54} × \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{54 × \frac{2}{3}} = \sqrt{36} = 6$，计算正确，故D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘法运算；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式乘法法则的应用，只要熟练掌握运算法则，细心计算系数和根号内的部分，逐个排除错误选项即可得出正确答案，计算时注意不要漏算根号外的系数，也不要忘记化简最终结果。
【难度系数】
0.8

3. 若$\sqrt{10}$与$\sqrt{m}$的积是一个有理数，则$m$的值可以是 【 】

A.2
B.4
C.9
D.10

D

【分析】
解题需先运用二次根式的乘法法则计算两个二次根式的乘积，再结合“乘积是有理数”的条件分析：若二次根式的运算结果为有理数，则被开方数必须是能开得尽方的完全平方数。我们可以通过代入法逐一验证选项，快速得出符合要求的m值。
【解析】
根据二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{10} · \sqrt{m} = \sqrt{10m}$。
逐一验证各选项：
选项A：当$m=2$时，$\sqrt{10 × 2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$，是无理数，不符合要求；
选项B：当$m=4$时，$\sqrt{10 × 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$，是无理数，不符合要求；
选项C：当$m=9$时，$\sqrt{10 × 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$，是无理数，不符合要求；
选项D：当$m=10$时，$\sqrt{10 × 10} = \sqrt{100} = 10$，是有理数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的乘法；有理数的定义；完全平方数
【点评】
本题属于基础题，既可以通过代入法快速验证选项得出结果，也可以通过分析乘积为有理数的条件反向推导m的取值，侧重考查二次根式基础运算和基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.9

4. 计算:
(1) $\sqrt{2} × \sqrt{5} =$ ;
(2) $\sqrt{3} × \sqrt{12} =$ ;
(3) $2\sqrt{6} × \sqrt{\frac{1}{2}} =$ ;
(4) $\sqrt{288} × \sqrt{\frac{1}{72}} =$ ;
(5) $6\sqrt{3} × (-3\sqrt{3}) =$ ;
(6) $3\sqrt{ab} × \sqrt{\frac{1}{b}} \ (a ＞ 0, b ＞ 0) =$ .

4. (1) $\sqrt{10}$ (2) 6 (3) $2\sqrt{3}$ (4) 2 (5) $-54$ (6) $3\sqrt{a}$

【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，核心解题依据是二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）。解题时遵循以下思路：先把系数与二次根式分别相乘，若有负号先确定运算符号，再将根号内的乘积化简为最简二次根式即可。各小题具体思考方向：(1)直接套用乘法法则计算；(2)先计算根号内乘积再开方化简；(3)系数单独相乘，根号部分相乘后化简；(4)根号内先算乘积再开方；(5)先确定符号，再分别计算系数、根号部分的乘积；(6)结合$a＞0,b＞0$的前提，根号内相乘后约分化简。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则：
$\sqrt{2} × \sqrt{5} = \sqrt{2 × 5} = \sqrt{10}$
(2) 套用乘法法则后化简：
$\sqrt{3} × \sqrt{12} = \sqrt{3 × 12} = \sqrt{36} = 6$
(3) 系数与二次根式分别相乘：
$2\sqrt{6} × \sqrt{\frac{1}{2}} = 2 × \sqrt{6 × \frac{1}{2}} = 2\sqrt{3}$
(4) 先计算根号内的乘积再开方：
$\sqrt{288} × \sqrt{\frac{1}{72}} = \sqrt{288 × \frac{1}{72}} = \sqrt{4} = 2$
(5) 先确定符号，再分别计算系数、根号部分：
$6\sqrt{3} × (-3\sqrt{3}) = 6 × (-3) × \sqrt{3 × 3} = -18 × 3 = -54$
(6) 结合$a＞0,b＞0$的条件计算：
$3\sqrt{ab} × \sqrt{\frac{1}{b}} = 3 × \sqrt{ab × \frac{1}{b}} = 3\sqrt{a}$
【答案】
(1) $\sqrt{10}$ (2) 6 (3) $2\sqrt{3}$ (4) 2 (5) $-54$ (6) $3\sqrt{a}$
【知识点】
二次根式乘法法则，二次根式化简
【点评】
本题是二次根式乘法的基础练习题，重点考查对运算法则的掌握和应用能力，计算时要注意先判断符号，运算结果需化为最简二次根式，熟练掌握法则可快速准确解题。
【难度系数】
0.8

5. 若$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$，且$a + b = 2$，整数$a$的值可以是.（写出一个即可）

5. 0(答案不唯一)

【分析】
解题时首先要明确二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的前提是被开方数非负，即$a≥0$且$b≥0$。结合已知条件$a+b=2$，可将$b$用含$a$的式子表示，进而求出$a$的取值范围，最后在范围内选取整数即可。
【解析】
要使$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$成立，需满足二次根式有意义的条件：
$a≥0$，$b≥0$
已知$a+b=2$，则$b=2-a$，代入$b≥0$可得：
$2-a≥0$，解得$a≤2$
综上可得$a$的取值范围为$0≤ a≤2$
又因为$a$是整数，所以$a$可取0、1、2中的任意一个，例如0。
【答案】
0(答案不唯一)
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.二次根式的乘法法则
3.一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次根式的成立限制，解题关键是不要遗漏被开方数为非负数的要求，确定取值范围后即可轻松找到符合要求的整数解。
【难度系数】
0.8

6.（唐山二模）已知$\sqrt{8} × \sqrt{n} = 4$，则$n=$.

6. 2

【分析】
解题时首先回忆二次根式的乘法法则：两个非负二次根式相乘，等于被开方数相乘的算术平方根，即$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$。我们可以先利用该法则将等式左边的两个二次根式合并为一个二次根式，再根据二次根式的性质，等式两边同时平方去掉根号，转化为关于n的一元一次方程，求解后验证结果满足二次根式有意义的条件即可。
【解析】
解：根据二次根式的乘法法则，等式左边可化简为：
$\sqrt{8}×\sqrt{n}=\sqrt{8n}$
因此原方程转化为：
$\sqrt{8n}=4$
等式两边同时平方，得：
$8n=4^2=16$
解得：$n=16÷8=2$
检验：当$n=2$时，$8n=16＞0$，二次根式有意义，故$n=2$是原方程的解。
【答案】
2
【知识点】
二次根式乘法法则；二次根式的性质；一元一次方程解法
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，主要考查对二次根式乘法法则的掌握和简单应用，计算量小，解题思路清晰，只要掌握相关运算法则即可得分。
【难度系数】
0.9

7. 计算：
(1) $\sqrt{8} × \sqrt{\frac{1}{2}}$；
(2) $\sqrt{\frac{4}{3}} × \sqrt{\frac{27}{16}}$；
(3) $\sqrt{3\frac{1}{5}} × \sqrt{31\frac{1}{4}}$；
(4) $\sqrt{6} × \sqrt{10} × \sqrt{15}$；
(5) $3\sqrt{\frac{1}{5}} × 2\sqrt{125}$；
(6) $\sqrt{2} × \frac{1}{6}\sqrt{3} × \sqrt{6}$。

7. (1) 2 (2) $\frac{3}{2}$ (3) 10 (4) 30 (5) 30 (6) 1

【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题核心是运用二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），运算思路如下：①遇到带分数先化为假分数；②带系数的二次根式相乘时，系数与系数相乘作为积的系数，被开方数与被开方数相乘作为积的被开方数；③最后将计算结果化为最简二次根式即可，也可先化简每个二次根式再相乘，简化计算过程。
【解析】
(1) 直接运用二次根式乘法法则计算：
$\sqrt{8} × \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{8 × \frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$
(2) 合并被开方数后化简：
$\sqrt{\frac{4}{3}} × \sqrt{\frac{27}{16}} = \sqrt{\frac{4}{3} × \frac{27}{16}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$
(3) 先将带分数化为假分数，再计算：
$3\frac{1}{5}=\frac{16}{5}$，$31\frac{1}{4}=\frac{125}{4}$
$\sqrt{3\frac{1}{5}} × \sqrt{31\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{16}{5} × \frac{125}{4}} = \sqrt{100} = 10$
(4) 多个二次根式相乘，直接合并所有被开方数：
$\sqrt{6} × \sqrt{10} × \sqrt{15} = \sqrt{6×10×15} = \sqrt{900} = 30$
(5) 带系数的二次根式相乘，先算系数的积，再算被开方数的积：
$3\sqrt{\frac{1}{5}} × 2\sqrt{125} = (3×2) × \sqrt{\frac{1}{5}×125} = 6 × \sqrt{25} = 6×5 = 30$
(6) 先算系数的积，再合并被开方数化简：
$\sqrt{2} × \frac{1}{6}\sqrt{3} × \sqrt{6} = \frac{1}{6} × \sqrt{2×3×6} = \frac{1}{6} × \sqrt{36} = \frac{1}{6}×6 = 1$
【答案】
(1) 2；(2) $\frac{3}{2}$；(3) 10；(4) 30；(5) 30；(6) 1
【知识点】
1. 二次根式乘法法则
2. 最简二次根式
3. 带分数化假分数
【点评】
本题是二次根式乘法的基础运算题，重点考查对二次根式乘法法则的运用能力，运算时要注意带分数需先转化为假分数再计算，带系数的二次根式不要漏乘系数，最终结果要化为最简形式，熟练后可先化简二次根式再计算，能有效提升运算效率和正确率。
【难度系数】
0.8