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1. 下列方程中，是关于$x$的一元二次方程的是 【 】
A.$x^2 = -2$
B.$ax^2 + bx + c = 0$（其中$a$、$b$、$c$是常数）
C.$x^2 + \frac{1}{x} - 3 = 0$
D.$(x - 2)(x - 4) = x^2 - 1$
A.$x^2 = -2$
B.$ax^2 + bx + c = 0$（其中$a$、$b$、$c$是常数）
C.$x^2 + \frac{1}{x} - 3 = 0$
D.$(x - 2)(x - 4) = x^2 - 1$
答案
A
解析
【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程，若二次项含有参数，还需保证二次项系数不为0。解题时对照以上条件逐个分析选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，其一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。接下来对各选项逐一分析：
选项A：$x^2=-2$整理为一般形式是$x^2+2=0$，仅含未知数$x$，$x$的最高次数为2，属于整式方程，且二次项系数为$1≠0$，完全符合一元二次方程的定义。
选项B：$ax^2+bx+c=0$没有说明参数$a≠0$，如果$a=0$，方程就变为一元一次方程，不满足一元二次方程的要求，故排除。
选项C：$x^2+\frac{1}{x}-3=0$的分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，故排除。
选项D：先将左侧展开再整理方程：左边展开得$x^2-6x+8$，移项合并同类项后得$-6x+9=0$，未知数的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求，故排除。
综上，只有选项A是关于$x$的一元二次方程。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程的判定；方程化简变形
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记一元二次方程的判定条件，尤其注意不要忽略二次项系数不为0的要求，判断方程类型前要先化简，避免被表面形式误导。
【难度系数】
0.8
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判定条件：①只含有1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程，若二次项含有参数，还需保证二次项系数不为0。解题时对照以上条件逐个分析选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，其一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。接下来对各选项逐一分析：
选项A：$x^2=-2$整理为一般形式是$x^2+2=0$，仅含未知数$x$，$x$的最高次数为2，属于整式方程，且二次项系数为$1≠0$，完全符合一元二次方程的定义。
选项B：$ax^2+bx+c=0$没有说明参数$a≠0$，如果$a=0$，方程就变为一元一次方程，不满足一元二次方程的要求，故排除。
选项C：$x^2+\frac{1}{x}-3=0$的分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，故排除。
选项D：先将左侧展开再整理方程：左边展开得$x^2-6x+8$，移项合并同类项后得$-6x+9=0$，未知数的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合要求，故排除。
综上，只有选项A是关于$x$的一元二次方程。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程的判定；方程化简变形
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记一元二次方程的判定条件，尤其注意不要忽略二次项系数不为0的要求，判断方程类型前要先化简，避免被表面形式误导。
【难度系数】
0.8
2. 关于$x$的一元二次方程$(x-1)^2=4(2x+1)$化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是 【 】
A.$-6$，$-5$
B.$10$，$-3$
C.$-10$，$5$
D.$-10$，$-3$
A.$-6$，$-5$
B.$10$，$-3$
C.$-10$，$5$
D.$-10$，$-3$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$b$是一次项系数，$c$是常数项，注意系数要包含本身的符号。解题思路分三步：第一步利用完全平方公式展开方程左侧的平方项，第二步利用乘法分配律计算右侧的乘积，第三步将所有项移到等号左侧，合并同类项化为一般形式，最后对应找出一次项系数和常数项即可。
【解析】
首先对原方程进行化简：
1. 展开左右两侧的项：
左侧$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$，右侧$4(2x+1) = 8x + 4$，
此时方程变为：$x^2 - 2x + 1 = 8x + 4$
2. 移项，将右侧所有项移到左侧，变号后得：
$x^2 - 2x + 1 - 8x - 4 = 0$
3. 合并同类项，得到一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 10x - 3 = 0$
对照一般形式，一次项系数为$-10$，常数项为$-3$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；完全平方公式；整式运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程一般形式的识别，解题的易错点是移项时忘记变号，或者确定系数时忽略符号，解题时要注意化简过程中每一步的符号变化。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$b$是一次项系数，$c$是常数项，注意系数要包含本身的符号。解题思路分三步：第一步利用完全平方公式展开方程左侧的平方项，第二步利用乘法分配律计算右侧的乘积，第三步将所有项移到等号左侧，合并同类项化为一般形式，最后对应找出一次项系数和常数项即可。
【解析】
首先对原方程进行化简：
1. 展开左右两侧的项：
左侧$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$，右侧$4(2x+1) = 8x + 4$，
此时方程变为：$x^2 - 2x + 1 = 8x + 4$
2. 移项，将右侧所有项移到左侧，变号后得：
$x^2 - 2x + 1 - 8x - 4 = 0$
3. 合并同类项，得到一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 10x - 3 = 0$
对照一般形式，一次项系数为$-10$，常数项为$-3$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；完全平方公式；整式运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一元二次方程一般形式的识别，解题的易错点是移项时忘记变号，或者确定系数时忽略符号，解题时要注意化简过程中每一步的符号变化。
【难度系数】
0.75
3. 关于$x$的方程$(m - 1)x^{|m| + 1} - (m - 1)x + 1 = 0$是一元二次方程，则$m$的值是
-1
。答案
3. -1
解析
【分析】
要解决本题，首先回忆一元二次方程的判定条件：一元二次方程需同时满足三个要求：1. 是整式方程；2. 只含一个未知数；3. 未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。本题已满足前两个条件，因此只需列两个关系式：一是最高次项的次数等于2，二是二次项系数不等于0，分别求解后取公共解即可得到m的值。
【解析】
解：
∵关于$x$的方程$(m - 1)x^{|m| + 1} - (m - 1)x + 1 = 0$是一元二次方程
∴根据一元二次方程的定义可列方程组：
$\begin{cases}|m| + 1 = 2 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
解第一个方程：$|m| = 1$，得$m = 1$或$m = -1$
解第二个不等式：得$m ≠ 1$
综上，$m$的值为$-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，绝对值方程求解，一元一次不等式求解
【点评】
本题是考察一元二次方程定义的基础题型，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，导致得出错误的多解结果，解题时需紧扣定义的全部要求，逐一核对条件即可避免出错。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先回忆一元二次方程的判定条件：一元二次方程需同时满足三个要求：1. 是整式方程；2. 只含一个未知数；3. 未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。本题已满足前两个条件，因此只需列两个关系式：一是最高次项的次数等于2，二是二次项系数不等于0，分别求解后取公共解即可得到m的值。
【解析】
解：
∵关于$x$的方程$(m - 1)x^{|m| + 1} - (m - 1)x + 1 = 0$是一元二次方程
∴根据一元二次方程的定义可列方程组：
$\begin{cases}|m| + 1 = 2 \\m - 1 ≠ 0\end{cases}$
解第一个方程：$|m| = 1$，得$m = 1$或$m = -1$
解第二个不等式：得$m ≠ 1$
综上，$m$的值为$-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，绝对值方程求解，一元一次不等式求解
【点评】
本题是考察一元二次方程定义的基础题型，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，导致得出错误的多解结果，解题时需紧扣定义的全部要求，逐一核对条件即可避免出错。
【难度系数】
0.6
4. 已知关于$x$的方程$x^2 + ax + 2 = 0$有一个根为$-1$，则$a$的值为
3
。答案
4. 3
解析
【分析】
解题的关键是利用一元二次方程根的定义：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值。因此将已知的根$x=-1$代入原方程，即可得到只含未知数$a$的一元一次方程，解这个方程就能求出$a$的值。
【解析】
解：$\because x=-1$是方程$x^2 + ax + 2 = 0$的根
$\therefore$将$x=-1$代入原方程，得：
$(-1)^2 + a×(-1) + 2 = 0$
化简计算：
$1 - a + 2 = 0$
$3 - a = 0$
解得：$a=3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的定义的应用，代入已知根转化为一元一次方程求解是这类题的通用思路，掌握定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题的关键是利用一元二次方程根的定义：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值。因此将已知的根$x=-1$代入原方程，即可得到只含未知数$a$的一元一次方程，解这个方程就能求出$a$的值。
【解析】
解：$\because x=-1$是方程$x^2 + ax + 2 = 0$的根
$\therefore$将$x=-1$代入原方程，得：
$(-1)^2 + a×(-1) + 2 = 0$
化简计算：
$1 - a + 2 = 0$
$3 - a = 0$
解得：$a=3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的定义的应用，代入已知根转化为一元一次方程求解是这类题的通用思路，掌握定义即可快速得分。
【难度系数】
0.9
5. 解方程①$x^2 -7=0$；②$2x^2 -x -2=0$；③$(x+1)^2=2x(x+1)$时，解法选择较为恰当的是
【 】
A.全部用公式法
B.①用直接开平方法，其余都用公式法
C.全部用配方法
D.分别用直接开平方法、公式法、因式分解法
【 】
A.全部用公式法
B.①用直接开平方法，其余都用公式法
C.全部用配方法
D.分别用直接开平方法、公式法、因式分解法
答案
D
解析
【分析】
解题时先明确一元二次方程各常用解法的适用场景：直接开平方法适用于无一次项、可整理为$x^2=a(a≥0)$或$(mx+n)^2=a(a≥0)$的方程；因式分解法适用于方程一边为0、另一边可分解为两个一次因式乘积的形式，尤其方程两边含公共因式时优先考虑；公式法是通用解法，当方程不适合用前两种方法时选择。接下来依次分析3个方程的特征匹配最优解法即可。
【解析】
1. 解方程①$x^2-7=0$：移项可得$x^2=7$，符合直接开平方法的适用形式，因此选用直接开平方法最简便；
2. 解方程②$2x^2 -x -2=0$：该方程无法通过因式分解求解，用配方法计算步骤较繁琐，因此选用通用的公式法最恰当；
3. 解方程③$(x+1)^2=2x(x+1)$：方程两边都含有公因式$(x+1)$，移项后提取公因式即可快速求解，因此选用因式分解法最简便。
综上三个方程分别适用直接开平方法、公式法、因式分解法，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，根据方程的结构特征选择最简解法，可有效减少计算量，提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
解题时先明确一元二次方程各常用解法的适用场景：直接开平方法适用于无一次项、可整理为$x^2=a(a≥0)$或$(mx+n)^2=a(a≥0)$的方程；因式分解法适用于方程一边为0、另一边可分解为两个一次因式乘积的形式，尤其方程两边含公共因式时优先考虑；公式法是通用解法，当方程不适合用前两种方法时选择。接下来依次分析3个方程的特征匹配最优解法即可。
【解析】
1. 解方程①$x^2-7=0$：移项可得$x^2=7$，符合直接开平方法的适用形式，因此选用直接开平方法最简便；
2. 解方程②$2x^2 -x -2=0$：该方程无法通过因式分解求解，用配方法计算步骤较繁琐，因此选用通用的公式法最恰当；
3. 解方程③$(x+1)^2=2x(x+1)$：方程两边都含有公因式$(x+1)$，移项后提取公因式即可快速求解，因此选用因式分解法最简便。
综上三个方程分别适用直接开平方法、公式法、因式分解法，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，根据方程的结构特征选择最简解法，可有效减少计算量，提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
6. 把方程$x^2 -4x -2=0$配方，化成$(x+m)^2 =n$的形式可以为 【 】
A.$(x-4)^2=6$
B.$(x-2)^2=6$
C.$(x-2)^2=4$
D.$(x-2)^2=10$
A.$(x-4)^2=6$
B.$(x-2)^2=6$
C.$(x-2)^2=4$
D.$(x-2)^2=10$
答案
B
解析
【分析】
本题考查用配方法将一元二次方程转化为完全平方式的形式，解题思路如下：首先明确配方法的适用规则，当二次项系数为1时，先将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左边整理为完全平方的形式，最后对比选项得出答案即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x -2=0$进行配方：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 -4x = 2$；
2. 配方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给等式两边同时加4，得：
$x^2 -4x +4 = 2 +4$
3. 整理：左边化为完全平方形式，右边计算常数项，得$(x-2)^2=6$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，注意移项时符号要正确变化，配方时需给等式两边同时加相同的常数，避免只给左侧配方、忽略右侧加常数的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法将一元二次方程转化为完全平方式的形式，解题思路如下：首先明确配方法的适用规则，当二次项系数为1时，先将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左边整理为完全平方的形式，最后对比选项得出答案即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x -2=0$进行配方：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 -4x = 2$；
2. 配方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，给等式两边同时加4，得：
$x^2 -4x +4 = 2 +4$
3. 整理：左边化为完全平方形式，右边计算常数项，得$(x-2)^2=6$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 配方法解一元二次方程
2. 完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，注意移项时符号要正确变化，配方时需给等式两边同时加相同的常数，避免只给左侧配方、忽略右侧加常数的错误。
【难度系数】
0.8
7. 已知关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a$、$b$、$c$均为常数，且$a ≠ 0$）的解是$x_1=-1$，$x_2=2$，那么方程$a(2x + 3)^2 + b(2x + 3) + c = 0$的解是 【 】
A.$x_1=-2$，$x_2=-\frac{1}{2}$
B.$x_1=-2$，$x_2=\frac{1}{2}$
C.$x_1=0$，$x_2=-\frac{3}{2}$
D.$\because \Delta ＜ 0, \therefore$方程无实数解
A.$x_1=-2$，$x_2=-\frac{1}{2}$
B.$x_1=-2$，$x_2=\frac{1}{2}$
C.$x_1=0$，$x_2=-\frac{3}{2}$
D.$\because \Delta ＜ 0, \therefore$方程无实数解
答案
A
解析
【分析】
观察待求解的方程和已知解的方程结构完全一致，可采用整体换元的思路，把$2x+3$看作整体，对应已知方程中的未知数$x$，结合已知方程的解列出关于$x$的一元一次方程，求解即可得到答案，无需展开新方程计算，可大幅简化运算。
【解析】
解：设$t=2x+3$，则方程$a(2x+3)^2 + b(2x+3) + c = 0$可转化为$at^2+bt+c=0$。
已知方程$ax^2+bx+c=0$的解是$x_1=-1$，$x_2=2$，因此方程$at^2+bt+c=0$的解为$t_1=-1$，$t_2=2$。
分别代入$t=2x+3$求解$x$：
① 当$t=-1$时，$2x+3=-1$，移项得$2x=-4$，解得$x=-2$；
② 当$t=2$时，$2x+3=2$，移项得$2x=-1$，解得$x=-\frac{1}{2}$。
因此所求方程的解为$x_1=-2$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解的定义；换元法解方程；解一元一次方程
【点评】
本题考查整体思想在解方程中的应用，解题关键是识别两个方程的同构特征，通过换元将未知方程转化为已知解的方程，避免展开计算的繁琐，是一元二次方程部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
观察待求解的方程和已知解的方程结构完全一致，可采用整体换元的思路，把$2x+3$看作整体，对应已知方程中的未知数$x$，结合已知方程的解列出关于$x$的一元一次方程，求解即可得到答案，无需展开新方程计算，可大幅简化运算。
【解析】
解：设$t=2x+3$，则方程$a(2x+3)^2 + b(2x+3) + c = 0$可转化为$at^2+bt+c=0$。
已知方程$ax^2+bx+c=0$的解是$x_1=-1$，$x_2=2$，因此方程$at^2+bt+c=0$的解为$t_1=-1$，$t_2=2$。
分别代入$t=2x+3$求解$x$：
① 当$t=-1$时，$2x+3=-1$，移项得$2x=-4$，解得$x=-2$；
② 当$t=2$时，$2x+3=2$，移项得$2x=-1$，解得$x=-\frac{1}{2}$。
因此所求方程的解为$x_1=-2$，$x_2=-\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的解的定义；换元法解方程；解一元一次方程
【点评】
本题考查整体思想在解方程中的应用，解题关键是识别两个方程的同构特征，通过换元将未知方程转化为已知解的方程，避免展开计算的繁琐，是一元二次方程部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
8. 解方程：
(1) $(x-2)^2=(2x+5)^2$；
(2) $3(y-1)^2=1-y$；
(3) $x^2 -6x -1=2x -15$(用配方法)；
(4) $3x^2 +5x -1=0$。
(1) $(x-2)^2=(2x+5)^2$；
(2) $3(y-1)^2=1-y$；
(3) $x^2 -6x -1=2x -15$(用配方法)；
(4) $3x^2 +5x -1=0$。
答案
(1) $x_1=-7$，$x_2=-1$
(2) $y_1=1$，$y_2=\frac{2}{3}$
(3) $x_1=4+\sqrt{2}$，$x_2=4-\sqrt{2}$
(4) $x_1=\frac{-5+\sqrt{37}}{6}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{37}}{6}$
(2) $y_1=1$，$y_2=\frac{2}{3}$
(3) $x_1=4+\sqrt{2}$，$x_2=4-\sqrt{2}$
(4) $x_1=\frac{-5+\sqrt{37}}{6}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{37}}{6}$
解析
【分析】
这4道题考查一元二次方程的不同解法，解题思路如下：(1)方程两边都是完全平方式，可通过移项后用平方差公式因式分解求解，避免直接开方漏解；(2)方程左右两边含有公因式$(y-1)$，移项后提取公因式因式分解求解更简便；(3)要求用配方法，需先把方程整理为二次项系数为1、常数项在等号右侧的形式，再两边加一次项系数一半的平方配方后开方求解；(4)方程无明显因式分解特征，用求根公式法求解，先算判别式判断根的情况再代入公式。
【解析】
(1) 移项得：$(x-2)^2-(2x+5)^2=0$
利用平方差公式因式分解：$[(x-2)+(2x+5)][(x-2)-(2x+5)]=0$
化简得：$(3x+3)(-x-7)=0$
∴ $3x+3=0$ 或 $-x-7=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=-7$
(2) 移项得：$3(y-1)^2+(y-1)=0$
提取公因式$(y-1)$得：$(y-1)[3(y-1)+1]=0$
化简得：$(y-1)(3y-2)=0$
∴ $y-1=0$ 或 $3y-2=0$
解得：$y_1=1$，$y_2=\frac{2}{3}$
(3) 整理原方程：移项合并同类项得 $x^2-8x=-14$
配方：两边同时加一次项系数一半的平方$(-4)^2=16$，得
$x^2-8x+16=-14+16$
即 $(x-4)^2=2$
开平方得：$x-4=\pm\sqrt{2}$
解得：$x_1=4+\sqrt{2}$，$x_2=4-\sqrt{2}$
(4) 对于方程$3x^2+5x-1=0$，其中$a=3$，$b=5$，$c=-1$
先算判别式：$\Delta=b^2-4ac=5^2-4×3×(-1)=25+12=37＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{37}}{2×3}=\frac{-5\pm\sqrt{37}}{6}$
∴ $x_1=\frac{-5+\sqrt{37}}{6}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{37}}{6}$
【答案】
(1) $x_1=-7$，$x_2=-1$
(2) $y_1=1$，$y_2=\frac{2}{3}$
(3) $x_1=4+\sqrt{2}$，$x_2=4-\sqrt{2}$
(4) $x_1=\frac{-5+\sqrt{37}}{6}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{37}}{6}$
【知识点】
一元二次方程解法、配方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的多种解法，解题时可根据方程的特征灵活选择最优解法，能有效提升解题速度和准确率，使用配方法时要注意步骤规范，使用公式法需先计算判别式判断根的存在性。
【难度系数】
0.7
这4道题考查一元二次方程的不同解法，解题思路如下：(1)方程两边都是完全平方式，可通过移项后用平方差公式因式分解求解，避免直接开方漏解；(2)方程左右两边含有公因式$(y-1)$，移项后提取公因式因式分解求解更简便；(3)要求用配方法，需先把方程整理为二次项系数为1、常数项在等号右侧的形式，再两边加一次项系数一半的平方配方后开方求解；(4)方程无明显因式分解特征，用求根公式法求解，先算判别式判断根的情况再代入公式。
【解析】
(1) 移项得：$(x-2)^2-(2x+5)^2=0$
利用平方差公式因式分解：$[(x-2)+(2x+5)][(x-2)-(2x+5)]=0$
化简得：$(3x+3)(-x-7)=0$
∴ $3x+3=0$ 或 $-x-7=0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=-7$
(2) 移项得：$3(y-1)^2+(y-1)=0$
提取公因式$(y-1)$得：$(y-1)[3(y-1)+1]=0$
化简得：$(y-1)(3y-2)=0$
∴ $y-1=0$ 或 $3y-2=0$
解得：$y_1=1$，$y_2=\frac{2}{3}$
(3) 整理原方程：移项合并同类项得 $x^2-8x=-14$
配方：两边同时加一次项系数一半的平方$(-4)^2=16$，得
$x^2-8x+16=-14+16$
即 $(x-4)^2=2$
开平方得：$x-4=\pm\sqrt{2}$
解得：$x_1=4+\sqrt{2}$，$x_2=4-\sqrt{2}$
(4) 对于方程$3x^2+5x-1=0$，其中$a=3$，$b=5$，$c=-1$
先算判别式：$\Delta=b^2-4ac=5^2-4×3×(-1)=25+12=37＞0$，方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-5\pm\sqrt{37}}{2×3}=\frac{-5\pm\sqrt{37}}{6}$
∴ $x_1=\frac{-5+\sqrt{37}}{6}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{37}}{6}$
【答案】
(1) $x_1=-7$，$x_2=-1$
(2) $y_1=1$，$y_2=\frac{2}{3}$
(3) $x_1=4+\sqrt{2}$，$x_2=4-\sqrt{2}$
(4) $x_1=\frac{-5+\sqrt{37}}{6}$，$x_2=\frac{-5-\sqrt{37}}{6}$
【知识点】
一元二次方程解法、配方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的多种解法，解题时可根据方程的特征灵活选择最优解法，能有效提升解题速度和准确率，使用配方法时要注意步骤规范，使用公式法需先计算判别式判断根的存在性。
【难度系数】
0.7
