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9. 下列一元二次方程无实数根的是 【 】
A.$x^2 + 2x - 3 = 0$
B.$x^2 - 1 = 0$
C.$x^2 + 2x + 1 = 0$
D.$x^2 + x + 2 = 0$
A.$x^2 + 2x - 3 = 0$
B.$x^2 - 1 = 0$
C.$x^2 + 2x + 1 = 0$
D.$x^2 + x + 2 = 0$
答案
D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否无实数根，可利用一元二次方程根的判别式求解。首先明确判别式的判定规则：对于标准形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题时只需分别计算四个选项对应方程的判别式，找到$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$：
选项A：方程$x^2+2x-3=0$中，$a=1$，$b=2$，$c=-3$，计算得$\Delta=2^2 - 4×1×(-3)=4+12=16＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2-1=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=-1$，计算得$\Delta=0^2 - 4×1×(-1)=0+4=4＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$x^2+2x+1=0$中，$a=1$，$b=2$，$c=1$，计算得$\Delta=2^2 - 4×1×1=4-4=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2+x+2=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=2$，计算得$\Delta=1^2 - 4×1×2=1-8=-7＜0$，方程无实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程实数根的判定方法，解题关键是熟练掌握判别式的计算规则，计算过程中注意不要搞错常数项的符号即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否无实数根，可利用一元二次方程根的判别式求解。首先明确判别式的判定规则：对于标准形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。解题时只需分别计算四个选项对应方程的判别式，找到$\Delta＜0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$：
选项A：方程$x^2+2x-3=0$中，$a=1$，$b=2$，$c=-3$，计算得$\Delta=2^2 - 4×1×(-3)=4+12=16＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2-1=0$中，$a=1$，$b=0$，$c=-1$，计算得$\Delta=0^2 - 4×1×(-1)=0+4=4＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$x^2+2x+1=0$中，$a=1$，$b=2$，$c=1$，计算得$\Delta=2^2 - 4×1×1=4-4=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2+x+2=0$中，$a=1$，$b=1$，$c=2$，计算得$\Delta=1^2 - 4×1×2=1-8=-7＜0$，方程无实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式 2.一元二次方程根的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程实数根的判定方法，解题关键是熟练掌握判别式的计算规则，计算过程中注意不要搞错常数项的符号即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
10. 已知关于$x$的一元二次方程$mx^2 -4x +2=0$有两个实数根，则$m$的取值范围是
【 】
A.$m＜2$且$m≠0$
B.$m≥2$
C.$m≤2$且$m≠0$
D.$m≥2$且$m≠0$
【 】
A.$m＜2$且$m≠0$
B.$m≥2$
C.$m≤2$且$m≠0$
D.$m≥2$且$m≠0$
答案
C
解析
【分析】
要确定m的取值范围，需结合两个条件分析：①题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是一元二次方程的隐含前提；②方程有两个实数根，说明根的判别式是非负数（Δ≥0）。分别根据两个条件列不等式，再取解集的公共部分即可得到最终m的范围。
【解析】
解：
∵方程$mx^2 -4x +2=0$是一元二次方程
∴二次项系数$m≠ 0$
又
∵方程有两个实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥ 0$，其中$a=m$，$b=-4$，$c=2$
代入得：$\Delta = (-4)^2 -4× m× 2 = 16 -8m ≥ 0$
解不等式$16-8m≥0$：
移项得$8m ≤ 16$，解得$m≤ 2$
综合两个条件，可得m的取值范围是$m≤ 2$且$m≠ 0$
故选C
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式求解得到错误结果，解题时需先明确方程类型对应的前提条件，再结合判别式分析。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值范围，需结合两个条件分析：①题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是一元二次方程的隐含前提；②方程有两个实数根，说明根的判别式是非负数（Δ≥0）。分别根据两个条件列不等式，再取解集的公共部分即可得到最终m的范围。
【解析】
解：
∵方程$mx^2 -4x +2=0$是一元二次方程
∴二次项系数$m≠ 0$
又
∵方程有两个实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥ 0$，其中$a=m$，$b=-4$，$c=2$
代入得：$\Delta = (-4)^2 -4× m× 2 = 16 -8m ≥ 0$
解不等式$16-8m≥0$：
移项得$8m ≤ 16$，解得$m≤ 2$
综合两个条件，可得m的取值范围是$m≤ 2$且$m≠ 0$
故选C
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式求解得到错误结果，解题时需先明确方程类型对应的前提条件，再结合判别式分析。
【难度系数】
0.7
11. 已知a、b是一元二次方程$x^2 - 4x - 2 = 0$的两个实数根，则$a + b + ab$的值为
【 】
A.6
B.4
C.2
D.-2
【 】
A.6
B.4
C.2
D.-2
答案
C
解析
【分析】
本题要求含一元二次方程两根的代数式的值，无需单独求解a、b的具体值，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速计算：首先确定方程各项系数，求出两根之和a+b、两根之积ab的数值，再直接代入待求代数式计算即可，这种方法比解方程求根更简便。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 4x - 2 = 0$，二次项系数为1，一次项系数为-4，常数项为-2。
根据韦达定理，两根之和$a+b=-\frac{-4}{1}=4$，两根之积$ab=\frac{-2}{1}=-2$。
将上述结果代入待求式可得：
$a+b+ab=4+(-2)=2$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数关系；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，主要考查韦达定理的直接应用，解题时不需要求出两个根的具体值，掌握韦达定理的公式就能快速得出结果，是根与系数关系的常规考法。
【难度系数】
0.8
本题要求含一元二次方程两根的代数式的值，无需单独求解a、b的具体值，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速计算：首先确定方程各项系数，求出两根之和a+b、两根之积ab的数值，再直接代入待求代数式计算即可，这种方法比解方程求根更简便。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 4x - 2 = 0$，二次项系数为1，一次项系数为-4，常数项为-2。
根据韦达定理，两根之和$a+b=-\frac{-4}{1}=4$，两根之积$ab=\frac{-2}{1}=-2$。
将上述结果代入待求式可得：
$a+b+ab=4+(-2)=2$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数关系；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，主要考查韦达定理的直接应用，解题时不需要求出两个根的具体值，掌握韦达定理的公式就能快速得出结果，是根与系数关系的常规考法。
【难度系数】
0.8
12. 已知$x_1$、$x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx + m - 1 = 0$的两个根，若$x_1x_2=3$，则$x_1 + x_2$的值为
-4
。答案
12. -4
解析
【分析】
看到题目涉及一元二次方程两根的和与积，首先想到用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。第一步，先明确方程中a、b、c的对应值，利用两根之积的公式列等式求出参数m的值；第二步，验证求出的m是否满足方程有两个实根的前提（判别式≥0）；第三步，将验证后的m代入两根之和的公式，即可算出结果。
【解析】
解：已知$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2 + mx + m - 1 = 0$的两个根，其中$a=1$，$b=m$，$c=m-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1$，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-m$
由题知$x_1x_2=3$，代入得：
$m-1=3$，解得$m=4$
验证判别式：$\Delta=b^2-4ac=m^2-4(m-1)=(m-2)^2≥0$，当$m=4$时，$\Delta=(4-2)^2=4＞0$，符合方程有两个实根的条件。
将$m=4$代入$x_1+x_2=-m$，得$x_1+x_2=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查韦达定理的应用，解题时注意先通过已知的两根关系求出参数，验证参数符合方程有实根的要求后，再代入计算所求的两根和即可，熟练掌握韦达定理公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
看到题目涉及一元二次方程两根的和与积，首先想到用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。第一步，先明确方程中a、b、c的对应值，利用两根之积的公式列等式求出参数m的值；第二步，验证求出的m是否满足方程有两个实根的前提（判别式≥0）；第三步，将验证后的m代入两根之和的公式，即可算出结果。
【解析】
解：已知$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2 + mx + m - 1 = 0$的两个根，其中$a=1$，$b=m$，$c=m-1$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1$，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-m$
由题知$x_1x_2=3$，代入得：
$m-1=3$，解得$m=4$
验证判别式：$\Delta=b^2-4ac=m^2-4(m-1)=(m-2)^2≥0$，当$m=4$时，$\Delta=(4-2)^2=4＞0$，符合方程有两个实根的条件。
将$m=4$代入$x_1+x_2=-m$，得$x_1+x_2=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查韦达定理的应用，解题时注意先通过已知的两根关系求出参数，验证参数符合方程有实根的要求后，再代入计算所求的两根和即可，熟练掌握韦达定理公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
13. 若$x=1$是方程$x^2 + mx - 3 = 0$的一个根，则这个方程的另一个根是
-3
。答案
13. -3
解析
【分析】
本题有两种常见解题思路：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则两根之积为$\frac{c}{a}$，本题已知一个根为$x=1$，设另一个根为$x_2$，直接代入公式即可快速求出结果，解题更高效；思路二：先根据方程根的定义，把$x=1$代入原方程求出参数$m$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程$x^2 + mx - 3 = 0$的另一个根为$x_2$，
该方程中二次项系数$a=1$，常数项$c=-3$，
根据根与系数的关系，两根之积$x_1 · x_2 = \frac{c}{a}$，
将已知根$x_1=1$代入得：$1 · x_2 = \frac{-3}{1}$，
解得$x_2=-3$。
方法二（代入求参法）：
∵$x=1$是方程$x^2 + mx - 3 = 0$的根，将$x=1$代入方程得：
$1^2 + m×1 - 3 = 0$，
解得$m=2$，
∴原方程为$x^2 + 2x - 3 = 0$，
因式分解得：$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-3$，
即方程的另一个根为-3。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，两种解法均符合知识要求，熟练运用根与系数的关系可简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
本题有两种常见解题思路：思路一：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则两根之积为$\frac{c}{a}$，本题已知一个根为$x=1$，设另一个根为$x_2$，直接代入公式即可快速求出结果，解题更高效；思路二：先根据方程根的定义，把$x=1$代入原方程求出参数$m$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数关系法）：
设方程$x^2 + mx - 3 = 0$的另一个根为$x_2$，
该方程中二次项系数$a=1$，常数项$c=-3$，
根据根与系数的关系，两根之积$x_1 · x_2 = \frac{c}{a}$，
将已知根$x_1=1$代入得：$1 · x_2 = \frac{-3}{1}$，
解得$x_2=-3$。
方法二（代入求参法）：
∵$x=1$是方程$x^2 + mx - 3 = 0$的根，将$x=1$代入方程得：
$1^2 + m×1 - 3 = 0$，
解得$m=2$，
∴原方程为$x^2 + 2x - 3 = 0$，
因式分解得：$(x+3)(x-1)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-3$，
即方程的另一个根为-3。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，两种解法均符合知识要求，熟练运用根与系数的关系可简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
14. 已知$x_1$、$x_2$是一元二次方程$2x^2 - x - 8 = 0$的两个实数根，则$x_1^2 + x_2^2$的值是
$\frac{33}{4}$
。答案
14. $\frac{33}{4}$
解析
【分析】
要求两个根的平方和$x_1^2+x_2^2$，首先利用完全平方公式将其变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，此时只需要求出一元二次方程两根的和与两根的积即可，不需要直接求解方程的根。根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，代入对应系数算出$x_1+x_2$和$x_1x_2$，再代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - x - 8 = 0$，可知$a=2$，$b=-1$，$c=-8$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{(-1)}{2} = \frac{1}{2}$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-8}{2} = -4$。
利用完全平方公式变形得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
将$x_1+x_2=\frac{1}{2}$，$x_1x_2=-4$代入得：
原式$=(\frac{1}{2})^2 - 2×(-4) = \frac{1}{4} + 8 = \frac{1}{4} + \frac{32}{4} = \frac{33}{4}$。
【答案】
$\frac{33}{4}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式的应用
【点评】
本题解题的核心是将所求的两根平方和通过完全平方公式转化为用两根之和、两根之积表示的形式，借助韦达定理求解，避免了直接解方程求根的繁琐运算，降低了计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
要求两个根的平方和$x_1^2+x_2^2$，首先利用完全平方公式将其变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，此时只需要求出一元二次方程两根的和与两根的积即可，不需要直接求解方程的根。根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，代入对应系数算出$x_1+x_2$和$x_1x_2$，再代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - x - 8 = 0$，可知$a=2$，$b=-1$，$c=-8$。
根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{(-1)}{2} = \frac{1}{2}$，
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-8}{2} = -4$。
利用完全平方公式变形得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，
将$x_1+x_2=\frac{1}{2}$，$x_1x_2=-4$代入得：
原式$=(\frac{1}{2})^2 - 2×(-4) = \frac{1}{4} + 8 = \frac{1}{4} + \frac{32}{4} = \frac{33}{4}$。
【答案】
$\frac{33}{4}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式的应用
【点评】
本题解题的核心是将所求的两根平方和通过完全平方公式转化为用两根之和、两根之积表示的形式，借助韦达定理求解，避免了直接解方程求根的繁琐运算，降低了计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
15. 已知$m$、$n$是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个根，则$m(2n + 1) + n$的值为
5
。答案
15. 5
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程的两个根，求关于两根的代数式的值的问题时，首先考虑使用韦达定理（根与系数的关系），无需直接求解方程的根，可简化计算。第一步先根据方程写出两根之和与两根之积；第二步将所求代数式展开化简，整理成含有两根之和、两根之积的形式；最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$m$、$n$是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个根
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$m+n=3$，$mn=1$
先化简所求代数式：
$m(2n+1)+n=2mn + m + n$
将$m+n=3$，$mn=1$代入上式得：
原式$=2×1 + 3 = 5$
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题采用整体代入的方法计算，避免了求解一元二次方程的繁琐步骤，重点考查对根与系数关系的掌握和代数式变形化简的能力，掌握整体代入思想是解题的核心。
【难度系数】
0.7
遇到已知一元二次方程的两个根，求关于两根的代数式的值的问题时，首先考虑使用韦达定理（根与系数的关系），无需直接求解方程的根，可简化计算。第一步先根据方程写出两根之和与两根之积；第二步将所求代数式展开化简，整理成含有两根之和、两根之积的形式；最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$m$、$n$是方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个根
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$m+n=3$，$mn=1$
先化简所求代数式：
$m(2n+1)+n=2mn + m + n$
将$m+n=3$，$mn=1$代入上式得：
原式$=2×1 + 3 = 5$
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；代数式化简求值
【点评】
本题采用整体代入的方法计算，避免了求解一元二次方程的繁琐步骤，重点考查对根与系数关系的掌握和代数式变形化简的能力，掌握整体代入思想是解题的核心。
【难度系数】
0.7
16. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2m - 1)x + m^2 - 1 = 0$有两个不相等的实数根.
（1）求$m$的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$，且$x_1^2 + x_2^2 = 3$，求$m$的值.
（1）求$m$的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$，且$x_1^2 + x_2^2 = 3$，求$m$的值.
答案
(1) $\because$关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2-1=0$有两个不相等的实数根，$\therefore \Delta ＞ 0$，即$(2m-1)^2-4(m^2-1)＞0$。整理，得$-4m+5＞0$。解得$m＜\frac{5}{4}$
(2) $\because$方程$x^2+(2m-1)x+m^2-1=0$的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$，$\therefore x_1+x_2=-\frac{2m-1}{1}=1-2m$，$x_1x_2=m^2-1$。$\because x_1^2+x_2^2=3$，$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3$，即$(1-2m)^2-2(m^2-1)=3$。解得$m=2$或$m=0$。由(1)，得$m＜\frac{5}{4}$，$\therefore m=0$
(2) $\because$方程$x^2+(2m-1)x+m^2-1=0$的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$，$\therefore x_1+x_2=-\frac{2m-1}{1}=1-2m$，$x_1x_2=m^2-1$。$\because x_1^2+x_2^2=3$，$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3$，即$(1-2m)^2-2(m^2-1)=3$。解得$m=2$或$m=0$。由(1)，得$m＜\frac{5}{4}$，$\therefore m=0$
解析
【分析】
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式$\Delta＞0$，我们只需将方程对应系数代入判别式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
（2）已知两根平方和，可通过完全平方公式将其转化为两根之和、两根之积的形式，再结合根与系数的关系代入得到关于$m$的方程，求解后结合第一问的$m$取值范围舍去不符合条件的解，即可得到正确结果。
【解析】
（1）$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2-1=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta ＞ 0$，即$(2m-1)^2-4×1×(m^2-1)＞0$，
展开整理得：$4m^2-4m+1-4m^2+4＞0$，即$-4m+5＞0$，
解得：$m＜\frac{5}{4}$。
（2）$\because$方程$x^2+(2m-1)x+m^2-1=0$的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-(2m-1)=1-2m$，$x_1x_2=m^2-1$，
$\because x_1^2+x_2^2=3$，
由完全平方公式变形得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
代入得：$(1-2m)^2-2(m^2-1)=3$，
展开整理得：$1-4m+4m^2-2m^2+2=3$，即$2m^2-4m=0$，
因式分解得$2m(m-2)=0$，解得$m=2$或$m=0$，
由（1）知$m＜\frac{5}{4}$，$2＞\frac{5}{4}$不符合题意，舍去，
$\therefore m=0$。
【答案】
（1）$m＜\frac{5}{4}$；（2）$m=0$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式；2.根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，第一问直接考查根的个数与判别式的对应关系，第二问需要结合韦达定理和完全平方公式变形求解，解题时要注意求出参数后需结合根的存在条件取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
（1）一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式$\Delta＞0$，我们只需将方程对应系数代入判别式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
（2）已知两根平方和，可通过完全平方公式将其转化为两根之和、两根之积的形式，再结合根与系数的关系代入得到关于$m$的方程，求解后结合第一问的$m$取值范围舍去不符合条件的解，即可得到正确结果。
【解析】
（1）$\because$关于$x$的一元二次方程$x^2+(2m-1)x+m^2-1=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta ＞ 0$，即$(2m-1)^2-4×1×(m^2-1)＞0$，
展开整理得：$4m^2-4m+1-4m^2+4＞0$，即$-4m+5＞0$，
解得：$m＜\frac{5}{4}$。
（2）$\because$方程$x^2+(2m-1)x+m^2-1=0$的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=-(2m-1)=1-2m$，$x_1x_2=m^2-1$，
$\because x_1^2+x_2^2=3$，
由完全平方公式变形得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
代入得：$(1-2m)^2-2(m^2-1)=3$，
展开整理得：$1-4m+4m^2-2m^2+2=3$，即$2m^2-4m=0$，
因式分解得$2m(m-2)=0$，解得$m=2$或$m=0$，
由（1）知$m＜\frac{5}{4}$，$2＞\frac{5}{4}$不符合题意，舍去，
$\therefore m=0$。
【答案】
（1）$m＜\frac{5}{4}$；（2）$m=0$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式；2.根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的常考题型，第一问直接考查根的个数与判别式的对应关系，第二问需要结合韦达定理和完全平方公式变形求解，解题时要注意求出参数后需结合根的存在条件取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
