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17. 某厂前年的产值为400万元，去年的产值比前年的增长率为x，如果这个增长率保持不变，预计今年的产值将达到600万元。根据题意，可列方程：
$400(1+x)^2=600$
。答案
17. $400(1+x)^2=600$
解析
【分析】
解决这道题首先要明确连续增长率问题的数量关系：若基期量为a，平均增长率为x，则经过1期后的量为a(1+x)，经过2期后的量为a(1+x)²。本题中前年产值是基期量400万元，到今年刚好经过2次增长，增长率均为x，今年的产值是已知量600万元，找到等量关系即可列出方程。
【解析】
第一步：计算去年的产值：前年产值为400万元，去年比前年的增长率为x，因此去年产值 = 前年产值×(1+增长率) = 400(1+x)万元；
第二步：计算今年的产值：因为增长率保持不变，今年在去年产值的基础上继续增长x，因此今年产值 = 去年产值×(1+增长率) = 400(1+x)·(1+x) = 400(1+x)²万元；
第三步：根据今年产值为600万元，可列等式：400(1+x)²=600。
【答案】
$400(1+x)^2=600$
【知识点】
增长率问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题是增长率类的典型基础题，核心是掌握连续增长情况下各期量的计算规律，找准基期量、增长次数、现期量之间的等量关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确连续增长率问题的数量关系：若基期量为a，平均增长率为x，则经过1期后的量为a(1+x)，经过2期后的量为a(1+x)²。本题中前年产值是基期量400万元，到今年刚好经过2次增长，增长率均为x，今年的产值是已知量600万元，找到等量关系即可列出方程。
【解析】
第一步：计算去年的产值：前年产值为400万元，去年比前年的增长率为x，因此去年产值 = 前年产值×(1+增长率) = 400(1+x)万元；
第二步：计算今年的产值：因为增长率保持不变，今年在去年产值的基础上继续增长x，因此今年产值 = 去年产值×(1+增长率) = 400(1+x)·(1+x) = 400(1+x)²万元；
第三步：根据今年产值为600万元，可列等式：400(1+x)²=600。
【答案】
$400(1+x)^2=600$
【知识点】
增长率问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题是增长率类的典型基础题，核心是掌握连续增长情况下各期量的计算规律，找准基期量、增长次数、现期量之间的等量关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
18. 一种电脑病毒每一台可传播给若干台，若一台电脑感染病毒，经两轮传播后共有49台电脑感染，则这种病毒每轮每台平均可传播
6
台。答案
18. 6
解析
【分析】这是典型的传播类应用题，解题时先明确每轮传播的数量关系：首先设每轮每台平均传播x台，初始有1台感染，第一轮传播后新增x台感染，总感染数为1+x台；第二轮传播时，每台已感染的电脑都会传播x台，因此第二轮新增感染数为x(1+x)台，两轮传播后的总感染数等于题目给出的49台，据此列一元二次方程求解即可，注意解要符合实际意义，舍去负数解。
【解析】设这种病毒每轮每台平均可传播$ x $台。
第一轮传播后，感染病毒的电脑总数为$ 1+x $台；
第二轮传播中，每台已感染的电脑传播$ x $台，因此第二轮新增感染电脑数为$ x(1+x) $台，两轮传播后总感染数可列方程：
$ (1+x) + x(1+x) = 49 $
整理得：$ (1+x)^2 = 49 $
开平方得：$ 1+x=7 $或$ 1+x=-7 $
解得：$ x_1=6 $，$ x_2=-8 $（传播台数不能为负，舍去）
【答案】6
【知识点】一元二次方程应用
【点评】本题属于基础的实际应用类题目，核心是理清两轮传播过程中感染数量的变化规律，正确建立方程模型，求解后要注意结合实际情况检验根的合理性。
【难度系数】0.8
【解析】设这种病毒每轮每台平均可传播$ x $台。
第一轮传播后，感染病毒的电脑总数为$ 1+x $台；
第二轮传播中，每台已感染的电脑传播$ x $台，因此第二轮新增感染电脑数为$ x(1+x) $台，两轮传播后总感染数可列方程：
$ (1+x) + x(1+x) = 49 $
整理得：$ (1+x)^2 = 49 $
开平方得：$ 1+x=7 $或$ 1+x=-7 $
解得：$ x_1=6 $，$ x_2=-8 $（传播台数不能为负，舍去）
【答案】6
【知识点】一元二次方程应用
【点评】本题属于基础的实际应用类题目，核心是理清两轮传播过程中感染数量的变化规律，正确建立方程模型，求解后要注意结合实际情况检验根的合理性。
【难度系数】0.8
19. 学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支.若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是31个，则x的值为
5
.答案
19. 5
解析
【分析】
本题属于一元二次方程的实际应用类题型，解题思路如下：第一步先明确各层级的数量：固定有1个主干，支干的数量为x个，每个支干长出x个小分支，因此小分支的总数量为x·x=x²个；第二步根据“主干、支干和小分支的总数是31”这一等量关系列方程；第三步求解一元二次方程，结合x为正整数的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到x的值。
【解析】
由题意可知：主干数量为1，支干数量为x，小分支数量为x·x=x²。
根据总数为31可列方程：
$1 + x + x^2 = 31$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 + x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x + 6)(x - 5) = 0$
解得：$x_1 = -6$，$x_2 = 5$
∵x代表支干的数量，为正整数，
∴x=-6不符合实际意义，舍去，即x=5。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的求解；实际问题的根检验
【点评】
本题是一元二次方程应用中的典型“分支问题”，解题的核心是准确梳理不同层级的数量关系，建立正确的方程，求解后要注意结合实际场景判断根是否合理，避免出现增解错误。
【难度系数】
0.7
本题属于一元二次方程的实际应用类题型，解题思路如下：第一步先明确各层级的数量：固定有1个主干，支干的数量为x个，每个支干长出x个小分支，因此小分支的总数量为x·x=x²个；第二步根据“主干、支干和小分支的总数是31”这一等量关系列方程；第三步求解一元二次方程，结合x为正整数的实际意义舍去不符合要求的根，即可得到x的值。
【解析】
由题意可知：主干数量为1，支干数量为x，小分支数量为x·x=x²。
根据总数为31可列方程：
$1 + x + x^2 = 31$
整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 + x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x + 6)(x - 5) = 0$
解得：$x_1 = -6$，$x_2 = 5$
∵x代表支干的数量，为正整数，
∴x=-6不符合实际意义，舍去，即x=5。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的应用；一元二次方程的求解；实际问题的根检验
【点评】
本题是一元二次方程应用中的典型“分支问题”，解题的核心是准确梳理不同层级的数量关系，建立正确的方程，求解后要注意结合实际场景判断根是否合理，避免出现增解错误。
【难度系数】
0.7
20. 某中学为美化校园环境，计划在院墙旁修建一个长方形花坛ABCD.如图，花坛的一面紧靠着院墙的墙面（墙面可视为直线，不占用围栏材料），墙长为18 m，另外三边使用总长为38 m的防腐木栅栏围成.若要使这个花坛的面积恰好达到140 m²，则边AB的长度应为
14
m.答案
20. 14
解析
【分析】
这是一道结合矩形几何特征的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：1. 合理设未知数：设垂直于墙的边AB长度为x m，根据栅栏总长度可推出平行于墙的边BC长度为(38-2x)m；2. 确定限制条件：平行于墙的边BC长度不能超过墙长18m，同时长度为正数，由此可得到x的取值范围；3. 利用矩形面积公式列方程：矩形面积=长×宽，代入数值即可得到关于x的一元二次方程；4. 解方程后对根进行检验，舍去不符合实际限制的根，得到正确结果。
【解析】
设边AB的长度为$ x $ m，则边BC的长度为$ (38-2x) $ m。
根据题意可知，BC的长度不能超过墙长18m，且长度为正，即$ 0＜38-2x≤18 $，解得$ 10≤ x＜19 $。
由矩形面积为140 $ \mathrm{m}^2 $，可列方程：
$ x(38-2x)=140 $
整理得：$ x^2-19x+70=0 $
因式分解得：$ (x-5)(x-14)=0 $
解得：$ x_1=5 $，$ x_2=14 $
当$ x=5 $时，$ BC=38-2×5=28\ \mathrm{m} $，$ 28＞18 $，不符合墙长限制，舍去；
当$ x=14 $时，$ BC=38-2×14=10\ \mathrm{m} $，$ 10＜18 $，符合题意。
故AB的长度为14 m。
【答案】
14
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题根的检验
【点评】
本题属于常见的栅栏围面积类实际应用题，核心考查一元二次方程的列解与实际场景的结合，解题时要注意不要忽略墙长对平行于墙边长的限制，必须对求出的方程根进行合理性验证，避免得到不符合实际的错误结果。
【难度系数】
0.7
这是一道结合矩形几何特征的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：1. 合理设未知数：设垂直于墙的边AB长度为x m，根据栅栏总长度可推出平行于墙的边BC长度为(38-2x)m；2. 确定限制条件：平行于墙的边BC长度不能超过墙长18m，同时长度为正数，由此可得到x的取值范围；3. 利用矩形面积公式列方程：矩形面积=长×宽，代入数值即可得到关于x的一元二次方程；4. 解方程后对根进行检验，舍去不符合实际限制的根，得到正确结果。
【解析】
设边AB的长度为$ x $ m，则边BC的长度为$ (38-2x) $ m。
根据题意可知，BC的长度不能超过墙长18m，且长度为正，即$ 0＜38-2x≤18 $，解得$ 10≤ x＜19 $。
由矩形面积为140 $ \mathrm{m}^2 $，可列方程：
$ x(38-2x)=140 $
整理得：$ x^2-19x+70=0 $
因式分解得：$ (x-5)(x-14)=0 $
解得：$ x_1=5 $，$ x_2=14 $
当$ x=5 $时，$ BC=38-2×5=28\ \mathrm{m} $，$ 28＞18 $，不符合墙长限制，舍去；
当$ x=14 $时，$ BC=38-2×14=10\ \mathrm{m} $，$ 10＜18 $，符合题意。
故AB的长度为14 m。
【答案】
14
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题根的检验
【点评】
本题属于常见的栅栏围面积类实际应用题，核心考查一元二次方程的列解与实际场景的结合，解题时要注意不要忽略墙长对平行于墙边长的限制，必须对求出的方程根进行合理性验证，避免得到不符合实际的错误结果。
【难度系数】
0.7
21. 在△ABC中，∠ABC=90°，AB=16cm，BC=12cm，点M从点A开始向点B以2cm/s的速度运动，同时，点N从点B开始向点C以4cm/s的速度运动，当点N运动到点C后停止，点M也随之停止运动。若使△MBN的面积为48cm²，则点M运动的时间是
2
s。答案
21. 2
解析
【分析】
这是动点结合面积求解的问题，解题思路如下：首先设运动时间为t，先确定t的取值范围（点N运动到C就停止，可算出最长时间）；再用含t的代数式分别表示出Rt△MBN的两条直角边MB、BN的长度；接着根据直角三角形面积公式列关于t的方程，解方程后舍去不符合t取值范围的解，即可得到正确结果。
【解析】
设点M的运动时间为t s。
首先确定t的取值范围：点N从B到C的时间为$12÷4=3$ s，因此$0≤ t≤3$。
由题意得：$AM=2t$ cm，$BN=4t$ cm，
∴ $MB = AB - AM = (16 - 2t)$ cm。
∵ $∠ ABC=90°$，$△ MBN$是直角三角形，
∴ $S_{△ MBN} = \frac{1}{2}· MB· BN = 48$，
代入得：$\frac{1}{2}×(16-2t)×4t=48$，
化简得：$2t(16-2t)=48$，
整理为一元二次方程：$t^2 -8t +12=0$，
因式分解得：$(t-2)(t-6)=0$，
解得$t_1=2$，$t_2=6$。
∵ $t_2=6＞3$，不符合运动时间范围，舍去，
∴ $t=2$。
【答案】
2
【知识点】
直角三角形面积计算，一元二次方程的应用，动点问题求解
【点评】
本题属于动态几何的基础题型，解题核心是用时间参数表示出对应线段的长度，结合几何图形的面积公式建立方程，求解后需注意结合动点的实际运动范围验证解的合理性，排除不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
这是动点结合面积求解的问题，解题思路如下：首先设运动时间为t，先确定t的取值范围（点N运动到C就停止，可算出最长时间）；再用含t的代数式分别表示出Rt△MBN的两条直角边MB、BN的长度；接着根据直角三角形面积公式列关于t的方程，解方程后舍去不符合t取值范围的解，即可得到正确结果。
【解析】
设点M的运动时间为t s。
首先确定t的取值范围：点N从B到C的时间为$12÷4=3$ s，因此$0≤ t≤3$。
由题意得：$AM=2t$ cm，$BN=4t$ cm，
∴ $MB = AB - AM = (16 - 2t)$ cm。
∵ $∠ ABC=90°$，$△ MBN$是直角三角形，
∴ $S_{△ MBN} = \frac{1}{2}· MB· BN = 48$，
代入得：$\frac{1}{2}×(16-2t)×4t=48$，
化简得：$2t(16-2t)=48$，
整理为一元二次方程：$t^2 -8t +12=0$，
因式分解得：$(t-2)(t-6)=0$，
解得$t_1=2$，$t_2=6$。
∵ $t_2=6＞3$，不符合运动时间范围，舍去，
∴ $t=2$。
【答案】
2
【知识点】
直角三角形面积计算，一元二次方程的应用，动点问题求解
【点评】
本题属于动态几何的基础题型，解题核心是用时间参数表示出对应线段的长度，结合几何图形的面积公式建立方程，求解后需注意结合动点的实际运动范围验证解的合理性，排除不符合题意的增根。
【难度系数】
0.7
22. 某市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归.”某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率.
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率.
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
答案
22. (1) 设该品牌头盔销售量的月增长率为$x$。根据题意，得$375(1+x)^2=540$。解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$(舍去)。$\therefore$该品牌头盔销售量的月增长率为20%
(2) 设该品牌头盔每个应涨价$m$元。根据题意，得$(10+m)(500-20m)=6000$。解得$m=5$或$m=10$。$\because$要尽可能让顾客得到实惠，$\therefore m=5$。即该品牌头盔每个应涨价5元
(2) 设该品牌头盔每个应涨价$m$元。根据题意，得$(10+m)(500-20m)=6000$。解得$m=5$或$m=10$。$\because$要尽可能让顾客得到实惠，$\therefore m=5$。即该品牌头盔每个应涨价5元
解析
【分析】
（1）本题属于增长率类应用题，核心解题公式为：初始量×(1+月增长率)^增长次数=最终量。已知四月份销量为初始量375个，到六月份经过2次增长后销量为540个，设月增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际意义的根。
（2）本题属于销售利润类应用题，核心等量关系为：总利润=单个商品利润×销售量。设每个涨价m元，则单个利润变为(10+m)元，每涨1元销量减少20个，涨m元后销量变为(500-20m)个，代入等量关系列方程，解出根后结合“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择涨价金额更小的根即可。
【解析】
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为$x$，根据题意列方程：
$375(1+x)^2=540$
化简得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
因为增长率不能为负数，故舍去$x_2=-2.2$。
（2）设该品牌头盔每个应涨价$m$元，根据总利润的等量关系列方程：
$(10+m)(500-20m)=6000$
展开整理得：$m^2-15m+50=0$
因式分解得：$(m-5)(m-10)=0$
解得：$m_1=5$，$m_2=10$
因为要尽可能让顾客得到实惠，所以选择涨价更少的$m=5$。
【答案】
（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）该品牌头盔每个应涨价5元。
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题、销售利润问题
【点评】
本题结合生活热点场景命题，侧重考察一元二次方程的实际应用能力，解题的关键是找准等量关系列方程，同时要注意结合题目限制条件和实际意义对方程的根进行取舍，属于常规应用类基础题。
【难度系数】
0.7
（1）本题属于增长率类应用题，核心解题公式为：初始量×(1+月增长率)^增长次数=最终量。已知四月份销量为初始量375个，到六月份经过2次增长后销量为540个，设月增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率不能为负，需舍去不符合实际意义的根。
（2）本题属于销售利润类应用题，核心等量关系为：总利润=单个商品利润×销售量。设每个涨价m元，则单个利润变为(10+m)元，每涨1元销量减少20个，涨m元后销量变为(500-20m)个，代入等量关系列方程，解出根后结合“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择涨价金额更小的根即可。
【解析】
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为$x$，根据题意列方程：
$375(1+x)^2=540$
化简得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
因为增长率不能为负数，故舍去$x_2=-2.2$。
（2）设该品牌头盔每个应涨价$m$元，根据总利润的等量关系列方程：
$(10+m)(500-20m)=6000$
展开整理得：$m^2-15m+50=0$
因式分解得：$(m-5)(m-10)=0$
解得：$m_1=5$，$m_2=10$
因为要尽可能让顾客得到实惠，所以选择涨价更少的$m=5$。
【答案】
（1）该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）该品牌头盔每个应涨价5元。
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题、销售利润问题
【点评】
本题结合生活热点场景命题，侧重考察一元二次方程的实际应用能力，解题的关键是找准等量关系列方程，同时要注意结合题目限制条件和实际意义对方程的根进行取舍，属于常规应用类基础题。
【难度系数】
0.7
