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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$所对的边分别为$a$、$b$、$c$，已知$a:b=5:12$，$c=26$，则$△ ABC$的面积为（）
A.96
B.98
C.108
D.120
A.96
B.98
C.108
D.120
答案
D
解析
【分析】
本题是直角三角形边长相关的计算问题，解题思路如下：首先已知直角三角形两条直角边的比例关系和斜边长度，我们可以通过设参数的方法将两条直角边用含同一个参数的式子表示，再利用勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）列方程求出参数的值，进而得到两条直角边的长度，最后代入直角三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ $a:b=5:12$，
∴ 设$a=5k$，$b=12k$（$k＞0$，边长为正数），
∵ $∠C=90°$，$c=26$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，
∴ $(5k)^2+(12k)^2=26^2$，
计算得：$25k^2+144k^2=676$，
合并同类项得：$169k^2=676$，
化简得：$k^2=4$，
∵ $k＞0$，
∴ $k=2$，
∴ $a=5×2=10$，$b=12×2=24$，
∴ $△ABC$的面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×10×24=120$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；比例的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理的实际应用，利用比例设参数是解决已知边长比例类几何题的常用技巧，解题时需注意边长为正数，参数需取正根，熟练掌握该方法可大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形边长相关的计算问题，解题思路如下：首先已知直角三角形两条直角边的比例关系和斜边长度，我们可以通过设参数的方法将两条直角边用含同一个参数的式子表示，再利用勾股定理（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方）列方程求出参数的值，进而得到两条直角边的长度，最后代入直角三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
∵ $a:b=5:12$，
∴ 设$a=5k$，$b=12k$（$k＞0$，边长为正数），
∵ $∠C=90°$，$c=26$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$，
∴ $(5k)^2+(12k)^2=26^2$，
计算得：$25k^2+144k^2=676$，
合并同类项得：$169k^2=676$，
化简得：$k^2=4$，
∵ $k＞0$，
∴ $k=2$，
∴ $a=5×2=10$，$b=12×2=24$，
∴ $△ABC$的面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×10×24=120$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；比例的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查勾股定理的实际应用，利用比例设参数是解决已知边长比例类几何题的常用技巧，解题时需注意边长为正数，参数需取正根，熟练掌握该方法可大幅提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8
2. 一直角三角形的三边长分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（）
A.13
B.5
C.13 或 5
D.无法确定
A.13
B.5
C.13 或 5
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
本题是直角三角形已知两边求第三边相关的问题，解题核心是运用勾股定理，需注意题目未明确哪条边是斜边，因此要分情况讨论，避免漏解：首先斜边是直角三角形中最长的边，边长为2的边不可能为斜边，因此只需分x为斜边、3为斜边两种情况分别计算$x^2$的值，而以x为边长的正方形的面积正好等于$x^2$，即可得到结果。
【解析】
已知直角三角形的三边长为2、3、x，分两种情况讨论：
1. 当x为斜边长时，根据勾股定理：
$x^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，此时以x为边长的正方形面积为13；
2. 当3为斜边长时，x为直角边长，根据勾股定理：
$x^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$，此时以x为边长的正方形面积为5。
综上，以x为边长的正方形的面积为13或5。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；正方形面积计算
【点评】
本题的易错点是忽略未明确斜边的直角三角形需要分类讨论，很多同学会默认x为斜边只算出13这一个结果，做这类题时要注意结合“斜边是最长边”的性质，全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形已知两边求第三边相关的问题，解题核心是运用勾股定理，需注意题目未明确哪条边是斜边，因此要分情况讨论，避免漏解：首先斜边是直角三角形中最长的边，边长为2的边不可能为斜边，因此只需分x为斜边、3为斜边两种情况分别计算$x^2$的值，而以x为边长的正方形的面积正好等于$x^2$，即可得到结果。
【解析】
已知直角三角形的三边长为2、3、x，分两种情况讨论：
1. 当x为斜边长时，根据勾股定理：
$x^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，此时以x为边长的正方形面积为13；
2. 当3为斜边长时，x为直角边长，根据勾股定理：
$x^2 = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$，此时以x为边长的正方形面积为5。
综上，以x为边长的正方形的面积为13或5。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想；正方形面积计算
【点评】
本题的易错点是忽略未明确斜边的直角三角形需要分类讨论，很多同学会默认x为斜边只算出13这一个结果，做这类题时要注意结合“斜边是最长边”的性质，全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
3. 如图1，已知长方形ABCD中，AB=3 cm，AD=9 cm. 将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）
A.3 cm²
B.4 cm²
C.6 cm²
D.12 cm²
A.3 cm²
B.4 cm²
C.6 cm²
D.12 cm²
答案
C
解析
【分析】
解题时首先利用折叠的性质得到相等的边：折叠后点B与D重合，故BE=DE；再结合长方形边长AD=9cm，可得AE+BE=9cm；由于长方形中∠A为直角，△ABE是直角三角形，已知AB的长度，可设AE长为x，用含x的式子表示BE的长，代入勾股定理列方程求出AE的长度，最后用三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：由折叠的性质可知，折叠后点B与点D重合，因此对应边相等，即$ BE = DE $。
∵ 长方形ABCD中，$ AD = 9\mathrm{cm} $，
∴ $ AE + DE = AD = 9\mathrm{cm} $，即$ AE + BE = 9\mathrm{cm} $。
设$ AE = x\mathrm{cm} $，则$ BE = (9 - x)\mathrm{cm} $。
∵ 长方形的内角为直角，
∴ $ ∠ A = 90° $，△ABE为直角三角形，已知$ AB = 3\mathrm{cm} $，
根据勾股定理：$ AB^2 + AE^2 = BE^2 $，代入数值可得：
$ 3^2 + x^2 = (9 - x)^2 $
展开得：$ 9 + x^2 = 81 - 18x + x^2 $
消去两边的$ x^2 $后移项计算：$ 18x = 81 - 9 = 72 $，解得$ x = 4 $，即$ AE = 4\mathrm{cm} $。
因此△ABE的面积为：
$ S_{△ ABE} = \frac{1}{2} × AB × AE = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6\mathrm{cm}^2 $
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题是几何折叠类的典型题型，解题核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，将未知边转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，考查了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用折叠的性质得到相等的边：折叠后点B与D重合，故BE=DE；再结合长方形边长AD=9cm，可得AE+BE=9cm；由于长方形中∠A为直角，△ABE是直角三角形，已知AB的长度，可设AE长为x，用含x的式子表示BE的长，代入勾股定理列方程求出AE的长度，最后用三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：由折叠的性质可知，折叠后点B与点D重合，因此对应边相等，即$ BE = DE $。
∵ 长方形ABCD中，$ AD = 9\mathrm{cm} $，
∴ $ AE + DE = AD = 9\mathrm{cm} $，即$ AE + BE = 9\mathrm{cm} $。
设$ AE = x\mathrm{cm} $，则$ BE = (9 - x)\mathrm{cm} $。
∵ 长方形的内角为直角，
∴ $ ∠ A = 90° $，△ABE为直角三角形，已知$ AB = 3\mathrm{cm} $，
根据勾股定理：$ AB^2 + AE^2 = BE^2 $，代入数值可得：
$ 3^2 + x^2 = (9 - x)^2 $
展开得：$ 9 + x^2 = 81 - 18x + x^2 $
消去两边的$ x^2 $后移项计算：$ 18x = 81 - 9 = 72 $，解得$ x = 4 $，即$ AE = 4\mathrm{cm} $。
因此△ABE的面积为：
$ S_{△ ABE} = \frac{1}{2} × AB × AE = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6\mathrm{cm}^2 $
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，三角形面积公式
【点评】
本题是几何折叠类的典型题型，解题核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，将未知边转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理列方程求解，考查了数形结合和方程思想的应用。
【难度系数】
0.7
4. 一辆装满货物、宽为2.4 m的卡车，欲通过如图2所示的隧道，则卡车的外形高必须低于（）
A.4.1 m
B.4.0 m
C.3.9 m
D.3.8 m
A.4.1 m
B.4.0 m
C.3.9 m
D.3.8 m
答案
A
解析
【分析】
要解决卡车能否通过隧道的问题，核心是计算卡车宽度对应的隧道最大允许高度。首先明确隧道结构：上半部分是半圆，下半部分是矩形。卡车宽2.4m，所以只需计算距离隧道中线1.2m位置处的隧道高度：先利用勾股定理算出该位置半圆部分的竖直高度，再加上下半部分矩形的高度，得到的就是卡车能通过的最大高度，卡车高度必须低于这个值。
【解析】
由题图可知，隧道上部半圆的半径$ r=2\,\mathrm{m} $，下部矩形的高度为$ 2.5\,\mathrm{m} $。
卡车宽度为2.4m，当卡车沿隧道中线行驶时，边缘到中线的水平距离为：$ \frac{2.4}{2}=1.2\,\mathrm{m} $。
在该水平位置处，设半圆上对应点到圆心的竖直高度为$ h $，以半径为斜边、水平距离和$ h $为直角边构造直角三角形，根据勾股定理：
$ h=\sqrt{r^2 - 1.2^2}=\sqrt{2^2 - 1.2^2}=\sqrt{4-1.44}=\sqrt{2.56}=1.6\,\mathrm{m} $
因此该位置隧道的总高度为：$ 2.5 + 1.6=4.1\,\mathrm{m} $，即卡车的外形高必须低于4.1m。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用；圆的基本性质；实际问题建模
【点评】
本题是几何知识在生活中的实际应用，解题的关键是把通行问题转化为直角三角形的边长计算问题，找准临界位置的几何关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决卡车能否通过隧道的问题，核心是计算卡车宽度对应的隧道最大允许高度。首先明确隧道结构：上半部分是半圆，下半部分是矩形。卡车宽2.4m，所以只需计算距离隧道中线1.2m位置处的隧道高度：先利用勾股定理算出该位置半圆部分的竖直高度，再加上下半部分矩形的高度，得到的就是卡车能通过的最大高度，卡车高度必须低于这个值。
【解析】
由题图可知，隧道上部半圆的半径$ r=2\,\mathrm{m} $，下部矩形的高度为$ 2.5\,\mathrm{m} $。
卡车宽度为2.4m，当卡车沿隧道中线行驶时，边缘到中线的水平距离为：$ \frac{2.4}{2}=1.2\,\mathrm{m} $。
在该水平位置处，设半圆上对应点到圆心的竖直高度为$ h $，以半径为斜边、水平距离和$ h $为直角边构造直角三角形，根据勾股定理：
$ h=\sqrt{r^2 - 1.2^2}=\sqrt{2^2 - 1.2^2}=\sqrt{4-1.44}=\sqrt{2.56}=1.6\,\mathrm{m} $
因此该位置隧道的总高度为：$ 2.5 + 1.6=4.1\,\mathrm{m} $，即卡车的外形高必须低于4.1m。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用；圆的基本性质；实际问题建模
【点评】
本题是几何知识在生活中的实际应用，解题的关键是把通行问题转化为直角三角形的边长计算问题，找准临界位置的几何关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图3,在山坡上种树,树的株距(相邻两棵树之间的水平距离)是4 m,量出斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离是5 m,则相邻两树间上升了 ()
A.5 m
B.4 m
C.3 m
D.2 m
A.5 m
B.4 m
C.3 m
D.2 m
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要把实际种树的场景转化为直角三角形的数学模型：相邻两棵树的水平距离是直角三角形的一条直角边，长度为4m；坡面距离是直角三角形的斜边，长度为5m；要求的上升高度就是直角三角形的另一条直角边，直接利用勾股定理即可计算出结果。
【解析】
设相邻两树间上升的高度为$x\,\mathrm{m}$。
由题意可知，水平距离、上升高度、坡面距离可构成直角三角形，其中坡面距离为斜边。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$x^2 + 4^2 = 5^2$
整理得：$x^2 = 25 - 16 = 9$
因为高度为正数，所以$x=\sqrt{9}=3$
即相邻两树间上升了3m，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题属于基础题，将生活中的实际场景与几何知识结合，考查勾股定理的应用，解题的关键是正确从实际问题中抽象出直角三角形，准确区分直角边和斜边。
【难度系数】
0.8
解题时首先要把实际种树的场景转化为直角三角形的数学模型：相邻两棵树的水平距离是直角三角形的一条直角边，长度为4m；坡面距离是直角三角形的斜边，长度为5m；要求的上升高度就是直角三角形的另一条直角边，直接利用勾股定理即可计算出结果。
【解析】
设相邻两树间上升的高度为$x\,\mathrm{m}$。
由题意可知，水平距离、上升高度、坡面距离可构成直角三角形，其中坡面距离为斜边。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$x^2 + 4^2 = 5^2$
整理得：$x^2 = 25 - 16 = 9$
因为高度为正数，所以$x=\sqrt{9}=3$
即相邻两树间上升了3m，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题属于基础题，将生活中的实际场景与几何知识结合，考查勾股定理的应用，解题的关键是正确从实际问题中抽象出直角三角形，准确区分直角边和斜边。
【难度系数】
0.8
6. 如图4,长为8 cm 的橡皮筋放置在 x 轴上,固定两端A 和 B,然后把中点 C 向上拉升3 cm 至 D 点,则橡皮筋被拉长了 ()
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
答案
A
解析
【分析】
要计算橡皮筋被拉长的长度，只需先求出拉升后橡皮筋的总长度，再减去原有长度即可。首先中点C向上拉升后，会形成直角三角形ACD，我们可先根据AB的总长度求出AC的长度，再结合CD的拉升高度，用勾股定理算出AD的长度，同理可得BD的长度，两者相加就是拉升后橡皮筋的总长度，最后作差即可得到拉长的长度。
【解析】
解：已知原橡皮筋AB长为8cm，C是AB的中点，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=4\mathrm{cm}$，
由题意可知$CD⊥ AB$，$CD=3\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，根据勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$，
同理可得$BD=5\mathrm{cm}$，
∴拉升后橡皮筋的总长度为$AD+BD=5+5=10\mathrm{cm}$，
∴橡皮筋被拉长的长度为$10-8=2\mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用；线段中点的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用题，解题核心是找准直角三角形，利用勾股定理求解未知线段长度，解题逻辑清晰直接。
【难度系数】
0.8
要计算橡皮筋被拉长的长度，只需先求出拉升后橡皮筋的总长度，再减去原有长度即可。首先中点C向上拉升后，会形成直角三角形ACD，我们可先根据AB的总长度求出AC的长度，再结合CD的拉升高度，用勾股定理算出AD的长度，同理可得BD的长度，两者相加就是拉升后橡皮筋的总长度，最后作差即可得到拉长的长度。
【解析】
解：已知原橡皮筋AB长为8cm，C是AB的中点，
∴$AC=BC=\frac{1}{2}AB=4\mathrm{cm}$，
由题意可知$CD⊥ AB$，$CD=3\mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，根据勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$，
同理可得$BD=5\mathrm{cm}$，
∴拉升后橡皮筋的总长度为$AD+BD=5+5=10\mathrm{cm}$，
∴橡皮筋被拉长的长度为$10-8=2\mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用；线段中点的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际场景中的基础应用题，解题核心是找准直角三角形，利用勾股定理求解未知线段长度，解题逻辑清晰直接。
【难度系数】
0.8
7. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题:“今有开门
去阃(kǔn)一尺,不合二寸,问门广几何.”大意是说:如图5,推开双门(AD和BC),门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺=10寸),双门间的缝隙CD为2寸,那么门的宽度(两扇门的和)AB为 ()
A.100寸
B.101寸
C.102寸
D.103寸
图5 图6
去阃(kǔn)一尺,不合二寸,问门广几何.”大意是说:如图5,推开双门(AD和BC),门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺=10寸),双门间的缝隙CD为2寸,那么门的宽度(两扇门的和)AB为 ()
A.100寸
B.101寸
C.102寸
D.103寸
图5 图6
答案
B
解析
【分析】
首先需要将实际开门问题转化为几何模型求解：双门的单扇门宽度相等，我们可以先统一单位，将1尺换算为10寸，设单扇门的宽度为r寸，那么门的总宽度就是2r寸。过D作门槛AB的垂线，可得直角三角形，双门缝隙总宽为2寸，因此单扇门偏离闭合位置的水平距离是1寸，即直角三角形的两条直角边分别为10寸和(r-1)寸，斜边为单扇门宽度r寸，代入勾股定理列方程即可求出门的总宽度。
【解析】
1. 单位换算：1尺=10寸
设单扇门的宽度$AD=BC=r$寸，则门的总宽度$AB=2r$寸。
过D作$DE⊥ AB$于E，由题意得$DE=10$寸，$CD=2$寸，因此$AE=r-\frac{CD}{2}=r-1$寸。
2. 在$Rt△ ADE$中，根据勾股定理$AE^2+DE^2=AD^2$，代入得：
$(r-1)^2+10^2=r^2$
展开计算：
$r^2-2r+1+100=r^2$
移项化简得：
$2r=101$
即门的宽度$AB=101$寸，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、一元一次方程、实际问题建模
【点评】
本题结合古代数学文化背景考查勾股定理的实际应用，解题核心是将生活场景转化为直角三角形几何模型，准确找到三边关系列方程求解，计算时要注意先统一单位，避免单位不一致出错。
【难度系数】
0.7
首先需要将实际开门问题转化为几何模型求解：双门的单扇门宽度相等，我们可以先统一单位，将1尺换算为10寸，设单扇门的宽度为r寸，那么门的总宽度就是2r寸。过D作门槛AB的垂线，可得直角三角形，双门缝隙总宽为2寸，因此单扇门偏离闭合位置的水平距离是1寸，即直角三角形的两条直角边分别为10寸和(r-1)寸，斜边为单扇门宽度r寸，代入勾股定理列方程即可求出门的总宽度。
【解析】
1. 单位换算：1尺=10寸
设单扇门的宽度$AD=BC=r$寸，则门的总宽度$AB=2r$寸。
过D作$DE⊥ AB$于E，由题意得$DE=10$寸，$CD=2$寸，因此$AE=r-\frac{CD}{2}=r-1$寸。
2. 在$Rt△ ADE$中，根据勾股定理$AE^2+DE^2=AD^2$，代入得：
$(r-1)^2+10^2=r^2$
展开计算：
$r^2-2r+1+100=r^2$
移项化简得：
$2r=101$
即门的宽度$AB=101$寸，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、一元一次方程、实际问题建模
【点评】
本题结合古代数学文化背景考查勾股定理的实际应用，解题核心是将生活场景转化为直角三角形几何模型，准确找到三边关系列方程求解，计算时要注意先统一单位，避免单位不一致出错。
【难度系数】
0.7
