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8. 图6是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积和是（）
A.16
B.25
C.144
D.169
A.16
B.25
C.144
D.169
答案
B
解析
【分析】
解决本题的核心是结合正方形面积公式和勾股定理转化面积关系：首先明确正方形面积等于边长的平方，直角三角形三边的平方满足勾股定理。先从已知边长的大直角三角形入手，求出其未知边的平方，再结合该边是小直角三角形的斜边，将两个阴影正方形的面积和转化为小直角三角形两条直角边的平方和，用勾股定理计算即可。
【解析】
设大直角三角形的斜边为13，长直角边为12，根据勾股定理可得：
大直角三角形短直角边的平方 = $13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$
该短直角边同时是小直角三角形的斜边，设两个阴影正方形的边长分别为$a$、$b$，根据勾股定理，小直角三角形中：
$a^2 + b^2 = 斜边的平方 = 25$
又因为阴影部分两个正方形的面积分别为$a^2$、$b^2$，所以阴影部分的面积和为$a^2 + b^2 = 25$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题时不需要求出正方形的具体边长，只需将面积转化为边长平方的关系，结合勾股定理整体求解即可，考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是结合正方形面积公式和勾股定理转化面积关系：首先明确正方形面积等于边长的平方，直角三角形三边的平方满足勾股定理。先从已知边长的大直角三角形入手，求出其未知边的平方，再结合该边是小直角三角形的斜边，将两个阴影正方形的面积和转化为小直角三角形两条直角边的平方和，用勾股定理计算即可。
【解析】
设大直角三角形的斜边为13，长直角边为12，根据勾股定理可得：
大直角三角形短直角边的平方 = $13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$
该短直角边同时是小直角三角形的斜边，设两个阴影正方形的边长分别为$a$、$b$，根据勾股定理，小直角三角形中：
$a^2 + b^2 = 斜边的平方 = 25$
又因为阴影部分两个正方形的面积分别为$a^2$、$b^2$，所以阴影部分的面积和为$a^2 + b^2 = 25$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题时不需要求出正方形的具体边长，只需将面积转化为边长平方的关系，结合勾股定理整体求解即可，考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
9. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A：∠B：∠C=1：2：3
C.$a^2=c^2-b^2$
D.$a：b：c=4：4：6$
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A：∠B：∠C=1：2：3
C.$a^2=c^2-b^2$
D.$a：b：c=4：4：6$
答案
D
解析
【分析】
本题考查直角三角形的判定，可从角和边两个维度入手验证：①从角的角度，利用三角形内角和为180°，验证是否存在90°的内角；②从边的角度，利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足两边平方和等于第三边的平方。解题时逐个分析选项，排除可判定为直角三角形的选项，即可得到答案。
【解析】
逐一分析各选项：
A选项：已知∠A+∠B=∠C，根据三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，将∠A+∠B替换为∠C，可得∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
B选项：已知∠A:∠B:∠C=1:2:3，设三个角分别为x、2x、3x，根据内角和得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则最大角∠C=3×30°=90°，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
C选项：将$a^2=c^2-b^2$移项得$a^2+b^2=c^2$，符合勾股定理的逆定理，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
D选项：设$a=4k$，$b=4k$，$c=6k$（$k＞0$），计算得$a^2+b^2=(4k)^2+(4k)^2=32k^2$，$c^2=(6k)^2=36k^2$，显然$32k^2≠36k^2$，不满足勾股定理的逆定理，不能判定△ABC是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础类题型，解题核心是熟练掌握直角三角形的两种判定思路，通过逐个验证选项即可得出结论，注意利用比例设边长计算时可消去公共参数，简化计算。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形的判定，可从角和边两个维度入手验证：①从角的角度，利用三角形内角和为180°，验证是否存在90°的内角；②从边的角度，利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足两边平方和等于第三边的平方。解题时逐个分析选项，排除可判定为直角三角形的选项，即可得到答案。
【解析】
逐一分析各选项：
A选项：已知∠A+∠B=∠C，根据三角形内角和为180°，即∠A+∠B+∠C=180°，将∠A+∠B替换为∠C，可得∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
B选项：已知∠A:∠B:∠C=1:2:3，设三个角分别为x、2x、3x，根据内角和得x+2x+3x=180°，解得x=30°，则最大角∠C=3×30°=90°，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
C选项：将$a^2=c^2-b^2$移项得$a^2+b^2=c^2$，符合勾股定理的逆定理，可判定△ABC是直角三角形，不符合题意。
D选项：设$a=4k$，$b=4k$，$c=6k$（$k＞0$），计算得$a^2+b^2=(4k)^2+(4k)^2=32k^2$，$c^2=(6k)^2=36k^2$，显然$32k^2≠36k^2$，不满足勾股定理的逆定理，不能判定△ABC是直角三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础类题型，解题核心是熟练掌握直角三角形的两种判定思路，通过逐个验证选项即可得出结论，注意利用比例设边长计算时可消去公共参数，简化计算。
【难度系数】
0.8
10. 如图7,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=8$,$AC=6$,$∠ ABC$的平分线交AC于点D,E、F分别是BD、AB上的动点,则$AE+EF$的最小值为 ()
A.4
B.4.8
C.5
D.6
A.4
B.4.8
C.5
D.6
答案
B
解析
【分析】
这是求两条线段和最小值的问题，解题思路如下：1. 利用角平分线的轴对称性转化线段：BD是∠ABC的平分线，因此AB上任意一点F关于BD的对称点F'一定落在BC边上，此时EF=EF'，可将AE+EF转化为AE+EF'；2. 根据线段最值原理：两点之间线段最短，可得AE+EF'≥AF'，当且仅当A、E、F'三点共线时取等号；3. 再根据垂线段最短，AF'的最小值为点A到BC的垂线段长度，也就是△ABC斜边BC上的高，用勾股定理和面积法即可求出这个高的长度。
【解析】
第一步：求BC的长度
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=8$，$AC=6$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$
第二步：转化线段，确定最小值的对应情况
∵BD是∠ABC的平分线，根据角平分线的轴对称性，在BC上取点F关于BD的对称点F'，则$EF=EF'$，
∴$AE+EF=AE+EF'$
根据两点之间线段最短，$AE+EF'≥ AF'$，当A、E、F'三点共线时等号成立；
再根据垂线段最短，当$AF'⊥ BC$时，$AF'$的长度最小，此时$AF'$就是BC边上的高。
第三步：用面积法计算高的长度
设BC边上的高为$h$，$△ ABC$的面积可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· h$
代入数值：$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× h$
化简得$24=5h$，解得$h=4.8$
因此$AE+EF$的最小值为4.8。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；勾股定理
【点评】
本题综合考查了角平分线的对称性、线段最值的常见求法以及勾股定理、面积法求高的应用，解题的关键是利用角平分线的对称性将两条线段的和转化为共线线段的长度，再结合垂线段最短找到最小值对应的情况。
【难度系数】
0.6
这是求两条线段和最小值的问题，解题思路如下：1. 利用角平分线的轴对称性转化线段：BD是∠ABC的平分线，因此AB上任意一点F关于BD的对称点F'一定落在BC边上，此时EF=EF'，可将AE+EF转化为AE+EF'；2. 根据线段最值原理：两点之间线段最短，可得AE+EF'≥AF'，当且仅当A、E、F'三点共线时取等号；3. 再根据垂线段最短，AF'的最小值为点A到BC的垂线段长度，也就是△ABC斜边BC上的高，用勾股定理和面积法即可求出这个高的长度。
【解析】
第一步：求BC的长度
在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=8$，$AC=6$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$
第二步：转化线段，确定最小值的对应情况
∵BD是∠ABC的平分线，根据角平分线的轴对称性，在BC上取点F关于BD的对称点F'，则$EF=EF'$，
∴$AE+EF=AE+EF'$
根据两点之间线段最短，$AE+EF'≥ AF'$，当A、E、F'三点共线时等号成立；
再根据垂线段最短，当$AF'⊥ BC$时，$AF'$的长度最小，此时$AF'$就是BC边上的高。
第三步：用面积法计算高的长度
设BC边上的高为$h$，$△ ABC$的面积可表示为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· h$
代入数值：$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× h$
化简得$24=5h$，解得$h=4.8$
因此$AE+EF$的最小值为4.8。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；勾股定理
【点评】
本题综合考查了角平分线的对称性、线段最值的常见求法以及勾股定理、面积法求高的应用，解题的关键是利用角平分线的对称性将两条线段的和转化为共线线段的长度，再结合垂线段最短找到最小值对应的情况。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.若△ABC的三边a、b、c满足$a:b:c=1:1:\sqrt{2}$,则△ABC的形状为.
11.若△ABC的三边a、b、c满足$a:b:c=1:1:\sqrt{2}$,则△ABC的形状为.
答案
解：设三边长分别为$a=k$，$b=k$，$c=\sqrt{2}k$（$k＞0$），
$\because a = b$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形，
又$\because a^2 + b^2 = k^2 + k^2 = 2k^2$，$c^2 = (\sqrt{2}k)^2 = 2k^2$，
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$，
由勾股定理的逆定理可知$△ ABC$是直角三角形，
$\therefore △ ABC$的形状为等腰直角三角形。
$\because a = b$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形，
又$\because a^2 + b^2 = k^2 + k^2 = 2k^2$，$c^2 = (\sqrt{2}k)^2 = 2k^2$，
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$，
由勾股定理的逆定理可知$△ ABC$是直角三角形，
$\therefore △ ABC$的形状为等腰直角三角形。
解析
【分析】
遇到已知三角形三边比例判断形状的问题，可按如下思路思考：首先观察比例中是否有两条边的比值相等，若有则初步判断是否为等腰三角形；其次通过设参数的方法，将三边长用含同一个参数的式子表示，再利用勾股定理的逆定理验证是否满足直角三角形的条件，最终结合两个结论确定三角形的具体形状。
【解析】
设三边长分别为$a=k$，$b=k$，$c=\sqrt{2}k$（$k＞0$），
$\because a = b$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形，
又$\because a^2 + b^2 = k^2 + k^2 = 2k^2$，$c^2 = (\sqrt{2}k)^2 = 2k^2$，
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$，
由勾股定理的逆定理可知$△ ABC$是直角三角形，
$\therefore △ ABC$的形状为等腰直角三角形。
【答案】
等腰直角三角形
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理；比例的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形形状的判定，解题关键是通过设参数将比例关系转化为具体的边长关系，分别验证等腰、直角两个特征，熟练掌握该方法可快速解决同类已知边长比判断三角形形状的问题。
【难度系数】
0.9
遇到已知三角形三边比例判断形状的问题，可按如下思路思考：首先观察比例中是否有两条边的比值相等，若有则初步判断是否为等腰三角形；其次通过设参数的方法，将三边长用含同一个参数的式子表示，再利用勾股定理的逆定理验证是否满足直角三角形的条件，最终结合两个结论确定三角形的具体形状。
【解析】
设三边长分别为$a=k$，$b=k$，$c=\sqrt{2}k$（$k＞0$），
$\because a = b$，
$\therefore △ ABC$是等腰三角形，
又$\because a^2 + b^2 = k^2 + k^2 = 2k^2$，$c^2 = (\sqrt{2}k)^2 = 2k^2$，
$\therefore a^2 + b^2 = c^2$，
由勾股定理的逆定理可知$△ ABC$是直角三角形，
$\therefore △ ABC$的形状为等腰直角三角形。
【答案】
等腰直角三角形
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理；比例的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形形状的判定，解题关键是通过设参数将比例关系转化为具体的边长关系，分别验证等腰、直角两个特征，熟练掌握该方法可快速解决同类已知边长比判断三角形形状的问题。
【难度系数】
0.9
12. 若一个三角形三边的长度之比为$3:4:5$，且周长为60 cm，则它的面积是$\mathrm{cm}^2$.
答案
$\boldsymbol{150}$
解析
【分析】
解题时可分三步思考：①已知三边长度比和周长，可通过设参数的方法，根据周长公式列方程，求出三边的具体长度；②观察三边比为3:4:5，属于常见勾股数比，可利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状；③若判断为直角三角形，直接用直角边乘积的一半计算面积即可。
【解析】
设该三角形三边长分别为$3x\ \mathrm{cm}$、$4x\ \mathrm{cm}$、$5x\ \mathrm{cm}$。
根据周长为60cm，列方程得：
$3x+4x+5x=60$
合并同类项得：$12x=60$
解得：$x=5$
因此三边长分别为：
$3x=15\ \mathrm{cm}$，$4x=20\ \mathrm{cm}$，$5x=25\ \mathrm{cm}$
验证三角形形状：
$\because 15^2+20^2=225+400=625$，$25^2=625$
$\therefore 15^2+20^2=25^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，且两条直角边为15cm、20cm。
计算面积：
$S=\frac{1}{2}×15×20=150\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\boldsymbol{150}$
【知识点】
勾股定理逆定理，按比例分配，直角三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是先借助比例和周长求出三边长，再通过勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形，进而计算面积，解题时注意不要把斜边当成直角边代入面积公式计算。
【难度系数】
0.8
解题时可分三步思考：①已知三边长度比和周长，可通过设参数的方法，根据周长公式列方程，求出三边的具体长度；②观察三边比为3:4:5，属于常见勾股数比，可利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状；③若判断为直角三角形，直接用直角边乘积的一半计算面积即可。
【解析】
设该三角形三边长分别为$3x\ \mathrm{cm}$、$4x\ \mathrm{cm}$、$5x\ \mathrm{cm}$。
根据周长为60cm，列方程得：
$3x+4x+5x=60$
合并同类项得：$12x=60$
解得：$x=5$
因此三边长分别为：
$3x=15\ \mathrm{cm}$，$4x=20\ \mathrm{cm}$，$5x=25\ \mathrm{cm}$
验证三角形形状：
$\because 15^2+20^2=225+400=625$，$25^2=625$
$\therefore 15^2+20^2=25^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，且两条直角边为15cm、20cm。
计算面积：
$S=\frac{1}{2}×15×20=150\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$\boldsymbol{150}$
【知识点】
勾股定理逆定理，按比例分配，直角三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是先借助比例和周长求出三边长，再通过勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形，进而计算面积，解题时注意不要把斜边当成直角边代入面积公式计算。
【难度系数】
0.8
13. 用反证法证明“一个三角形中不能有两个钝角”时，应假设. .
答案
一个三角形中有两个钝角。
解析
【分析】
反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。首先明确本题要证明的结论是“一个三角形中不能有两个钝角”，只需找出这个结论的反面表述，就能得到需要假设的内容。
【解析】
根据反证法的规则，首先对原命题的结论进行否定。本题原命题的结论为“一个三角形中不能有两个钝角”，对该结论的否定就是“一个三角形中有两个钝角”，因此证明时应假设这个表述成立。
【答案】
一个三角形中有两个钝角。
【知识点】
反证法；命题与证明
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，属于基础题型，解题核心是准确找到原命题结论的反面表述，熟练掌握反证法的基本逻辑即可快速作答。
【难度系数】
0.9
反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。首先明确本题要证明的结论是“一个三角形中不能有两个钝角”，只需找出这个结论的反面表述，就能得到需要假设的内容。
【解析】
根据反证法的规则，首先对原命题的结论进行否定。本题原命题的结论为“一个三角形中不能有两个钝角”，对该结论的否定就是“一个三角形中有两个钝角”，因此证明时应假设这个表述成立。
【答案】
一个三角形中有两个钝角。
【知识点】
反证法；命题与证明
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，属于基础题型，解题核心是准确找到原命题结论的反面表述，熟练掌握反证法的基本逻辑即可快速作答。
【难度系数】
0.9
14. 如图8，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为。
答案
$\boldsymbol{16}$
解析
【分析】
要计算正方形b的面积，首先明确正方形面积等于边长的平方，因此只需要求出b的边长的平方即可。观察图形可知：正方形b下方夹着两个直角三角形，首先可通过“同角的余角相等”得到两个三角形一组锐角相等，结合正方形b的边相等、直角相等的条件，用AAS证明两个直角三角形全等；全等后两个三角形的直角边分别等于正方形a、c的边长，再根据勾股定理，b的边长平方等于两个直角边的平方和，也就是a、c的面积之和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a、b、c都是正方形，
∴正方形b的边长相等，且相邻两边夹角为90°，两个直角三角形的直角相等。
根据同角的余角相等，可得两个直角三角形有一组锐角相等，
在两个直角三角形中：
$\begin{cases}\mathrm{一组锐角相等} \\\mathrm{直角相等} \\\mathrm{正方形}b\mathrm{的两条边相等}\end{cases}$
∴两个直角三角形全等（AAS），
∴两个直角三角形的两条直角边长度分别等于正方形a的边长和正方形c的边长。
根据勾股定理：正方形b的边长的平方=正方形a的边长的平方+正方形c的边长的平方，
∵正方形面积等于边长的平方，且$S_a=5$，$S_c=11$，
∴$S_b=S_a+S_c=5+11=16$。
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是找到全等三角形，将三个正方形的面积通过勾股定理建立关联，考查对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.75
要计算正方形b的面积，首先明确正方形面积等于边长的平方，因此只需要求出b的边长的平方即可。观察图形可知：正方形b下方夹着两个直角三角形，首先可通过“同角的余角相等”得到两个三角形一组锐角相等，结合正方形b的边相等、直角相等的条件，用AAS证明两个直角三角形全等；全等后两个三角形的直角边分别等于正方形a、c的边长，再根据勾股定理，b的边长平方等于两个直角边的平方和，也就是a、c的面积之和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a、b、c都是正方形，
∴正方形b的边长相等，且相邻两边夹角为90°，两个直角三角形的直角相等。
根据同角的余角相等，可得两个直角三角形有一组锐角相等，
在两个直角三角形中：
$\begin{cases}\mathrm{一组锐角相等} \\\mathrm{直角相等} \\\mathrm{正方形}b\mathrm{的两条边相等}\end{cases}$
∴两个直角三角形全等（AAS），
∴两个直角三角形的两条直角边长度分别等于正方形a的边长和正方形c的边长。
根据勾股定理：正方形b的边长的平方=正方形a的边长的平方+正方形c的边长的平方，
∵正方形面积等于边长的平方，且$S_a=5$，$S_c=11$，
∴$S_b=S_a+S_c=5+11=16$。
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是找到全等三角形，将三个正方形的面积通过勾股定理建立关联，考查对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.75
15. 如图9, 在 Rt△ABC 中, ∠ABC=90°, AB=BC,直线 $ l_1 $、$ l_2 $、$ l_3 $ 分别通过 A、B、C 三点,且 $ l_1 // l_2 // l_3 $.若 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 间的距离为 2, $ l_2 $ 与 $ l_3 $ 间的距离为 3,则 AC 的长为 .
答案
$\sqrt{26}$
解析
【分析】
解题时首先结合平行线间的距离的定义，考虑通过作垂线将已知的距离转化为垂线段的长度；再根据等腰直角三角形的边角关系，证明构造出的两个直角三角形全等，得到对应边相等，进而用勾股定理求出AB的长度，最后再次利用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
过点A作AD⊥$l_2$于点D，过点C作CE⊥$l_2$于点E。
∵$l_1$与$l_2$的距离为2，$l_2$与$l_3$的距离为3，
∴AD=2，CE=3。
∵∠ADB=∠BEC=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
又
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠BAD=∠CBE。
在△ABD和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB=∠BEC \\∠BAD=∠CBE \\AB=BC\end{array} $
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BD=CE=3。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2+BD^2=2^2+3^2=13$，
∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
∴$AC^2=AB^2+BC^2=13+13=26$，
∴$AC=\sqrt{26}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
$\sqrt{26}$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是平行线与三角形结合的综合题，解题核心是通过作垂线构造全等三角形，将平行线间的距离转化为直角三角形的边长，再结合勾股定理求解，是几何综合类的典型考题。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合平行线间的距离的定义，考虑通过作垂线将已知的距离转化为垂线段的长度；再根据等腰直角三角形的边角关系，证明构造出的两个直角三角形全等，得到对应边相等，进而用勾股定理求出AB的长度，最后再次利用勾股定理计算AC的长度即可。
【解析】
过点A作AD⊥$l_2$于点D，过点C作CE⊥$l_2$于点E。
∵$l_1$与$l_2$的距离为2，$l_2$与$l_3$的距离为3，
∴AD=2，CE=3。
∵∠ADB=∠BEC=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
又
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠BAD=∠CBE。
在△ABD和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADB=∠BEC \\∠BAD=∠CBE \\AB=BC\end{array} $
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BD=CE=3。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AB^2=AD^2+BD^2=2^2+3^2=13$，
∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
∴$AC^2=AB^2+BC^2=13+13=26$，
∴$AC=\sqrt{26}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
$\sqrt{26}$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是平行线与三角形结合的综合题，解题核心是通过作垂线构造全等三角形，将平行线间的距离转化为直角三角形的边长，再结合勾股定理求解，是几何综合类的典型考题。
【难度系数】
0.6
