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三、解答题(共75分)
16.(8分)如图10,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个顶点叫做格点.
(1)在图10①中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
(2)在图10②中以格点为顶点画一个三角形,使三角形的三边长分别为1、3、$\sqrt{10}$,并求出该三角形的面积.
16.(8分)如图10,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个顶点叫做格点.
(1)在图10①中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
(2)在图10②中以格点为顶点画一个三角形,使三角形的三边长分别为1、3、$\sqrt{10}$,并求出该三角形的面积.
答案
解：
(1) 由勾股定理得，面积为5的正方形的边长为$\sqrt{5}$，即直角边长分别为1和2的直角三角形的斜边长，在图①中选取对应格点依次连接四个顶点，即可画出所求面积为5的正方形（画法不唯一）。
(2) 由勾股定理得，$\sqrt{10}$是直角边长分别为1和3的直角三角形的斜边长，在图②中选取对应格点，即可画出三边长为1、3、$\sqrt{10}$的三角形（画法不唯一）。
$\because 1^2 + 3^2 = (\sqrt{10})^2$，
$\therefore$ 该三角形是直角三角形，两条直角边长分别为1和3，
其面积为 $\frac{1}{2} × 1 × 3 = \frac{3}{2}$。
(1) 由勾股定理得，面积为5的正方形的边长为$\sqrt{5}$，即直角边长分别为1和2的直角三角形的斜边长，在图①中选取对应格点依次连接四个顶点，即可画出所求面积为5的正方形（画法不唯一）。
(2) 由勾股定理得，$\sqrt{10}$是直角边长分别为1和3的直角三角形的斜边长，在图②中选取对应格点，即可画出三边长为1、3、$\sqrt{10}$的三角形（画法不唯一）。
$\because 1^2 + 3^2 = (\sqrt{10})^2$，
$\therefore$ 该三角形是直角三角形，两条直角边长分别为1和3，
其面积为 $\frac{1}{2} × 1 × 3 = \frac{3}{2}$。
解析
【分析】
（1）要画面积为5的正方形，首先根据正方形面积公式$S=a^2$，可得正方形边长为$\sqrt{5}$。再结合勾股定理思考，$1^2+2^2=5$，因此直角边为1和2的直角三角形斜边长就是$\sqrt{5}$，只需在网格中找到4个合适的格点，依次连接得到四条边长均为$\sqrt{5}$、内角均为直角的图形即可。
（2）要画三边长为1、3、$\sqrt{10}$的三角形，首先构造长度为$\sqrt{10}$的线段：根据勾股定理$1^2+3^2=10$，可知直角边为1和3的直角三角形斜边长为$\sqrt{10}$，先画互相垂直、长度分别为1和3的两条线段，连接端点即可得到所求三角形。求面积时，先通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 由正方形面积公式得，面积为5的正方形边长为$\sqrt{5}$，根据勾股定理，直角边长分别为1、2的直角三角形斜边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，在图①中选取对应格点依次连接四个顶点，即可画出所求面积为5的正方形（画法不唯一）。
(2) 根据勾股定理，直角边长分别为1、3的直角三角形斜边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，在图②中选取对应格点，画出长度为1、3的互相垂直的边，连接端点即可得到三边长为1、3、$\sqrt{10}$的三角形（画法不唯一）。
判断三角形形状：$\because 1^2 + 3^2 = 1+9=10$，$(\sqrt{10})^2=10$，$\therefore 1^2 + 3^2 = (\sqrt{10})^2$，由勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形，两条直角边长分别为1和3。
计算面积：$S=\frac{1}{2} × 1 × 3 = \frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 画出边长为$\sqrt{5}$的格点正方形即可（画法不唯一）；
(2) 画出三边长为1、3、$\sqrt{10}$的格点三角形即可（画法不唯一），该三角形面积为$\boxed{\frac{3}{2}}$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，网格作图
【点评】
本题是网格作图与计算结合的基础题，核心考查勾股定理及其逆定理的实际应用，解题的关键是掌握在网格中利用勾股定理构造指定长度线段的方法，能灵活运用逆定理判断直角三角形。
【难度系数】
0.7
（1）要画面积为5的正方形，首先根据正方形面积公式$S=a^2$，可得正方形边长为$\sqrt{5}$。再结合勾股定理思考，$1^2+2^2=5$，因此直角边为1和2的直角三角形斜边长就是$\sqrt{5}$，只需在网格中找到4个合适的格点，依次连接得到四条边长均为$\sqrt{5}$、内角均为直角的图形即可。
（2）要画三边长为1、3、$\sqrt{10}$的三角形，首先构造长度为$\sqrt{10}$的线段：根据勾股定理$1^2+3^2=10$，可知直角边为1和3的直角三角形斜边长为$\sqrt{10}$，先画互相垂直、长度分别为1和3的两条线段，连接端点即可得到所求三角形。求面积时，先通过勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 由正方形面积公式得，面积为5的正方形边长为$\sqrt{5}$，根据勾股定理，直角边长分别为1、2的直角三角形斜边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，在图①中选取对应格点依次连接四个顶点，即可画出所求面积为5的正方形（画法不唯一）。
(2) 根据勾股定理，直角边长分别为1、3的直角三角形斜边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，在图②中选取对应格点，画出长度为1、3的互相垂直的边，连接端点即可得到三边长为1、3、$\sqrt{10}$的三角形（画法不唯一）。
判断三角形形状：$\because 1^2 + 3^2 = 1+9=10$，$(\sqrt{10})^2=10$，$\therefore 1^2 + 3^2 = (\sqrt{10})^2$，由勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形，两条直角边长分别为1和3。
计算面积：$S=\frac{1}{2} × 1 × 3 = \frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 画出边长为$\sqrt{5}$的格点正方形即可（画法不唯一）；
(2) 画出三边长为1、3、$\sqrt{10}$的格点三角形即可（画法不唯一），该三角形面积为$\boxed{\frac{3}{2}}$。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，网格作图
【点评】
本题是网格作图与计算结合的基础题，核心考查勾股定理及其逆定理的实际应用，解题的关键是掌握在网格中利用勾股定理构造指定长度线段的方法，能灵活运用逆定理判断直角三角形。
【难度系数】
0.7
17.(9分)如图11,学校操场边上一块空地(阴影部分)需要绿化,测出$CD=6\ \mathrm{m}$,$AD=8\ \mathrm{m}$,$BC=24\ \mathrm{m}$,$AB=26\ \mathrm{m}$,$AD⊥ CD$,求需要绿化部分的面积.
答案
解：连接AC。
∵ AD⊥CD，
∴ ∠D=90°，即△ADC是直角三角形。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 8^2 + 6^2 = 100$，
∴ $AC = 10\ \mathrm{m}$。
在△ABC中，
$AC^2 + BC^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$，
$AB^2 = 26^2 = 676$，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
∴ 需要绿化部分的面积 $= S_{△ ABC} - S_{△ ADC}$
$= \frac{1}{2} × AC × BC - \frac{1}{2} × AD × CD$
$= \frac{1}{2} × 10 × 24 - \frac{1}{2} × 8 × 6$
$= 120 - 24$
$= 96\ (\mathrm{m}^2)$
答：需要绿化部分的面积为$96\ \mathrm{m}^2$。
∵ AD⊥CD，
∴ ∠D=90°，即△ADC是直角三角形。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 8^2 + 6^2 = 100$，
∴ $AC = 10\ \mathrm{m}$。
在△ABC中，
$AC^2 + BC^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$，
$AB^2 = 26^2 = 676$，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
∴ 需要绿化部分的面积 $= S_{△ ABC} - S_{△ ADC}$
$= \frac{1}{2} × AC × BC - \frac{1}{2} × AD × CD$
$= \frac{1}{2} × 10 × 24 - \frac{1}{2} × 8 × 6$
$= 120 - 24$
$= 96\ (\mathrm{m}^2)$
答：需要绿化部分的面积为$96\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
要求阴影部分的绿化面积，观察图形可知阴影为不规则图形，可通过割补法转化为规则图形的面积差计算，即阴影面积=△ABC的面积减去△ADC的面积。首先已知AD⊥CD，△ADC是直角三角形，且给出了AD、CD的长度，因此先连接AC，用勾股定理先求出AC的长度；再看△ABC的三边长度，用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，若为直角三角形就可以分别计算两个三角形的面积，作差后即可得到阴影部分的面积。
【解析】
连接AC。
∵ AD⊥CD，
∴ ∠D=90°，即△ADC是直角三角形。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 8^2 + 6^2 = 100$，
∴ $AC = 10\ \mathrm{m}$。
在△ABC中，
$AC^2 + BC^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$，
$AB^2 = 26^2 = 676$，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
∴ 需要绿化部分的面积 $= S_{△ ABC} - S_{△ ADC}$
$= \frac{1}{2} × AC × BC - \frac{1}{2} × AD × CD$
$= \frac{1}{2} × 10 × 24 - \frac{1}{2} × 8 × 6$
$= 120 - 24$
$= 96\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
$96\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题属于几何面积计算的基础综合题，解题关键是通过添加辅助线构造直角三角形，结合勾股定理及其逆定理，将不规则的阴影面积转化为两个直角三角形的面积差求解，侧重考查基础定理的应用和转化思想。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的绿化面积，观察图形可知阴影为不规则图形，可通过割补法转化为规则图形的面积差计算，即阴影面积=△ABC的面积减去△ADC的面积。首先已知AD⊥CD，△ADC是直角三角形，且给出了AD、CD的长度，因此先连接AC，用勾股定理先求出AC的长度；再看△ABC的三边长度，用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，若为直角三角形就可以分别计算两个三角形的面积，作差后即可得到阴影部分的面积。
【解析】
连接AC。
∵ AD⊥CD，
∴ ∠D=90°，即△ADC是直角三角形。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 8^2 + 6^2 = 100$，
∴ $AC = 10\ \mathrm{m}$。
在△ABC中，
$AC^2 + BC^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$，
$AB^2 = 26^2 = 676$，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
∴ 需要绿化部分的面积 $= S_{△ ABC} - S_{△ ADC}$
$= \frac{1}{2} × AC × BC - \frac{1}{2} × AD × CD$
$= \frac{1}{2} × 10 × 24 - \frac{1}{2} × 8 × 6$
$= 120 - 24$
$= 96\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
$96\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；割补法求面积
【点评】
本题属于几何面积计算的基础综合题，解题关键是通过添加辅助线构造直角三角形，结合勾股定理及其逆定理，将不规则的阴影面积转化为两个直角三角形的面积差求解，侧重考查基础定理的应用和转化思想。
【难度系数】
0.7
18. (9分)如图12,A是数轴上表示实数a的点.
(1)用直尺和圆规在数轴上作出表示实数$\sqrt{2}$的点P(保留作图痕迹,不写作法);
(2)利用数轴比较$\sqrt{2}$和a的大小,并说明理由.
(1)用直尺和圆规在数轴上作出表示实数$\sqrt{2}$的点P(保留作图痕迹,不写作法);
(2)利用数轴比较$\sqrt{2}$和a的大小,并说明理由.
答案
解：
(1) 作图：以数轴原点为一个顶点，作两条直角边长均为1的直角三角形，其斜边长为$\sqrt{2}$，再以原点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为所求的点P，保留对应作图痕迹即可。
(2) $a ＞ \sqrt{2}$。
理由：数轴上的点所表示的实数，右边的数总大于左边的数，点A在表示$\sqrt{2}$的点P的右侧，因此$a ＞ \sqrt{2}$。
(1) 作图：以数轴原点为一个顶点，作两条直角边长均为1的直角三角形，其斜边长为$\sqrt{2}$，再以原点为圆心，斜边长为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为所求的点P，保留对应作图痕迹即可。
(2) $a ＞ \sqrt{2}$。
理由：数轴上的点所表示的实数，右边的数总大于左边的数，点A在表示$\sqrt{2}$的点P的右侧，因此$a ＞ \sqrt{2}$。
解析
【分析】
(1) 要在数轴上作出表示$\sqrt{2}$的点，可借助勾股定理：直角边长均为1的等腰直角三角形，斜边长为$\sqrt{2}$，先构造出长度为$\sqrt{2}$的线段，再通过圆规将该线段长度平移到数轴正半轴，即可确定点P的位置。
(2) 比较$\sqrt{2}$和$a$的大小，可利用数轴的基本性质：数轴上右侧的点表示的数总大于左侧的点表示的数，只需判断表示$\sqrt{2}$的点P和表示$a$的点A的左右位置关系即可得出结论。
【解析】
(1) 作图：首先以数轴原点为直角顶点，在数轴正半轴截取长度为1的线段，过原点作数轴的垂线，在垂线上也截取长度为1的线段，连接两条线段的非原点端点，得到的线段长度为$\sqrt{2}$；再以原点为圆心，该线段长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为所求的点P，保留构造直角三角形、画弧的痕迹即可。
(2) 大小关系为$a＞\sqrt{2}$。
理由：根据数轴的性质，数轴上右侧的点表示的实数总大于左侧的点表示的实数，观察数轴可知点A在点P的右侧，因此点A表示的数$a$大于点P表示的数$\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 作图符合要求即可；
(2) $\boldsymbol{a＞\sqrt{2}}$，理由：数轴上右边的数总大于左边的数，点A在表示$\sqrt{2}$的点的右侧，故$a＞\sqrt{2}$。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 尺规作图
3. 数轴实数大小比较
【点评】
本题结合了几何作图和数轴的相关知识，考查基础的动手操作能力和实数大小比较的基本方法，只要熟练掌握勾股定理和数轴的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 要在数轴上作出表示$\sqrt{2}$的点，可借助勾股定理：直角边长均为1的等腰直角三角形，斜边长为$\sqrt{2}$，先构造出长度为$\sqrt{2}$的线段，再通过圆规将该线段长度平移到数轴正半轴，即可确定点P的位置。
(2) 比较$\sqrt{2}$和$a$的大小，可利用数轴的基本性质：数轴上右侧的点表示的数总大于左侧的点表示的数，只需判断表示$\sqrt{2}$的点P和表示$a$的点A的左右位置关系即可得出结论。
【解析】
(1) 作图：首先以数轴原点为直角顶点，在数轴正半轴截取长度为1的线段，过原点作数轴的垂线，在垂线上也截取长度为1的线段，连接两条线段的非原点端点，得到的线段长度为$\sqrt{2}$；再以原点为圆心，该线段长度为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为所求的点P，保留构造直角三角形、画弧的痕迹即可。
(2) 大小关系为$a＞\sqrt{2}$。
理由：根据数轴的性质，数轴上右侧的点表示的实数总大于左侧的点表示的实数，观察数轴可知点A在点P的右侧，因此点A表示的数$a$大于点P表示的数$\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 作图符合要求即可；
(2) $\boldsymbol{a＞\sqrt{2}}$，理由：数轴上右边的数总大于左边的数，点A在表示$\sqrt{2}$的点的右侧，故$a＞\sqrt{2}$。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 尺规作图
3. 数轴实数大小比较
【点评】
本题结合了几何作图和数轴的相关知识，考查基础的动手操作能力和实数大小比较的基本方法，只要熟练掌握勾股定理和数轴的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
