登录
19. (9分)如图13,在一棵树的10 m高B处有两只猴子,一只猴子爬到树下走到离树20 m处的池塘A处,另一只猴子爬到树顶D后直接跳跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,求这棵树高.
答案
解：
设BD的长为x m，由题意得第一只猴子经过的路程为$BC + AC = 10 + 20 = 30\ \mathrm{m}$，
则另一只猴子经过的路程$BD + AD = 30\ \mathrm{m}$，因此$AD = (30 - x)\ \mathrm{m}$，树高$CD = BC + BD = (10 + x)\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ C = 90°$，在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD^2 + AC^2 = AD^2$
代入数据得：
$(10 + x)^2 + 20^2 = (30 - x)^2$
展开整理得：$80x = 400$，
解得：$x = 5$，
$\therefore CD = 10 + 5 = 15\ \mathrm{m}$。
答：这棵树高为15 m。
设BD的长为x m，由题意得第一只猴子经过的路程为$BC + AC = 10 + 20 = 30\ \mathrm{m}$，
则另一只猴子经过的路程$BD + AD = 30\ \mathrm{m}$，因此$AD = (30 - x)\ \mathrm{m}$，树高$CD = BC + BD = (10 + x)\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ C = 90°$，在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD^2 + AC^2 = AD^2$
代入数据得：
$(10 + x)^2 + 20^2 = (30 - x)^2$
展开整理得：$80x = 400$，
解得：$x = 5$，
$\therefore CD = 10 + 5 = 15\ \mathrm{m}$。
答：这棵树高为15 m。
解析
【分析】
解题时首先抓住“两只猴子所经过的距离相等”这一核心等量关系，先计算第一只猴子的总路程，即可得到第二只猴子的总路程；接着设BD的长度为x m，用含x的式子分别表示出AD的长度和树高CD的长度；最后利用△ACD是直角三角形的特点，结合勾股定理列方程求解，算出x的值后即可得到树高。
【解析】
解：设BD的长为x m，
由题意得第一只猴子经过的路程为$BC + AC = 10 + 20 = 30\ \mathrm{m}$，
因为两只猴子经过的距离相等，所以第二只猴子经过的路程$BD + AD = 30\ \mathrm{m}$，因此$AD = (30 - x)\ \mathrm{m}$，树高$CD = BC + BD = (10 + x)\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ C = 90°$，在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD^2 + AC^2 = AD^2$
代入数据得：
$(10 + x)^2 + 20^2 = (30 - x)^2$
展开得：$100 + 20x + x^2 + 400 = 900 - 60x + x^2$
整理得：$80x = 400$
解得：$x = 5$
$\therefore CD = 10 + 5 = 15\ \mathrm{m}$
【答案】
这棵树高为15 m
【知识点】
勾股定理，一元一次方程应用，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的典型应用题，需要学生从题干中提取路程相等的等量关系，再结合直角三角形的性质列方程求解，考察了学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题时要注意所设未知量是BD的长度，最终求树高不要漏加BC的长度。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住“两只猴子所经过的距离相等”这一核心等量关系，先计算第一只猴子的总路程，即可得到第二只猴子的总路程；接着设BD的长度为x m，用含x的式子分别表示出AD的长度和树高CD的长度；最后利用△ACD是直角三角形的特点，结合勾股定理列方程求解，算出x的值后即可得到树高。
【解析】
解：设BD的长为x m，
由题意得第一只猴子经过的路程为$BC + AC = 10 + 20 = 30\ \mathrm{m}$，
因为两只猴子经过的距离相等，所以第二只猴子经过的路程$BD + AD = 30\ \mathrm{m}$，因此$AD = (30 - x)\ \mathrm{m}$，树高$CD = BC + BD = (10 + x)\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ C = 90°$，在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$CD^2 + AC^2 = AD^2$
代入数据得：
$(10 + x)^2 + 20^2 = (30 - x)^2$
展开得：$100 + 20x + x^2 + 400 = 900 - 60x + x^2$
整理得：$80x = 400$
解得：$x = 5$
$\therefore CD = 10 + 5 = 15\ \mathrm{m}$
【答案】
这棵树高为15 m
【知识点】
勾股定理，一元一次方程应用，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的典型应用题，需要学生从题干中提取路程相等的等量关系，再结合直角三角形的性质列方程求解，考察了学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题时要注意所设未知量是BD的长度，最终求树高不要漏加BC的长度。
【难度系数】
0.7
20. (9分)图14是玩具购物车的侧面简化示意图,测得支架AC=24 cm,CB=18 cm,两轮中心的距离AB=30 cm,求点C到AB的距离.(结果保留整数)
答案
解：过点C作CE⊥AB于点E，则CE的长即为点C到AB的距离。
∵ AC=24 cm，CB=18 cm，AB=30 cm，
∴ AC² + CB² = 24² + 18² = 576 + 324 = 900，
AB² = 30² = 900，
∴ AC² + CB² = AB²，
∴ △ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
∵ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · CB = \frac{1}{2} · AB · CE$，
∴ $AC · CB = AB · CE$，
即 $24 × 18 = 30 · CE$，
解得 $CE = 14.4 \approx 14\ \mathrm{cm}$。
答：点C到AB的距离约为14 cm。
∵ AC=24 cm，CB=18 cm，AB=30 cm，
∴ AC² + CB² = 24² + 18² = 576 + 324 = 900，
AB² = 30² = 900，
∴ AC² + CB² = AB²，
∴ △ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
∵ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · CB = \frac{1}{2} · AB · CE$，
∴ $AC · CB = AB · CE$，
即 $24 × 18 = 30 · CE$，
解得 $CE = 14.4 \approx 14\ \mathrm{cm}$。
答：点C到AB的距离约为14 cm。
解析
【分析】
要求点C到AB的距离，根据点到直线距离的定义，首先要过点C作AB的垂线段CE，CE的长度就是所求的距离。已知△ABC的三边长度，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，若为直角三角形，就可以利用三角形面积的两种计算方式：直角边乘积的一半、底乘高的一半，建立等式求出CE的长度，最后按要求保留整数即可。
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，则CE的长即为点C到AB的距离。
∵ AC=24 cm，CB=18 cm，AB=30 cm，
∴ $AC^2 + CB^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900$，
$AB^2 = 30^2 = 900$，
∴ $AC^2 + CB^2 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
∵ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · CB = \frac{1}{2} · AB · CE$，
∴ $AC · CB = AB · CE$，
即 $24 × 18 = 30 · CE$，
解得 $CE = 14.4 \approx 14\ \mathrm{cm}$。
【答案】
点C到AB的距离约为14 cm
【知识点】
勾股定理逆定理；点到直线的距离；等面积法求高
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查几何基础方法的应用，解题的关键是先判定三角形为直角三角形，再通过等面积法建立等式求解，注重对基础知识点和常用解题方法的掌握。
【难度系数】
0.8
要求点C到AB的距离，根据点到直线距离的定义，首先要过点C作AB的垂线段CE，CE的长度就是所求的距离。已知△ABC的三边长度，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，若为直角三角形，就可以利用三角形面积的两种计算方式：直角边乘积的一半、底乘高的一半，建立等式求出CE的长度，最后按要求保留整数即可。
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，则CE的长即为点C到AB的距离。
∵ AC=24 cm，CB=18 cm，AB=30 cm，
∴ $AC^2 + CB^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900$，
$AB^2 = 30^2 = 900$，
∴ $AC^2 + CB^2 = AB^2$，
∴ △ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
∵ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · CB = \frac{1}{2} · AB · CE$，
∴ $AC · CB = AB · CE$，
即 $24 × 18 = 30 · CE$，
解得 $CE = 14.4 \approx 14\ \mathrm{cm}$。
【答案】
点C到AB的距离约为14 cm
【知识点】
勾股定理逆定理；点到直线的距离；等面积法求高
【点评】
本题结合生活实际场景命题，考查几何基础方法的应用，解题的关键是先判定三角形为直角三角形，再通过等面积法建立等式求解，注重对基础知识点和常用解题方法的掌握。
【难度系数】
0.8
