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21. (10分)如图15,有一块三边长分别为3 cm、4 cm、5 cm的三角形硬纸板,现要从中剪下一块底边长为5 cm的等腰三角形.
(1)在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形(不写作法,保留作图痕迹).
(2)当剪下的等腰三角形面积最大时,求该等腰三角形的面积.
(1)在图中用直尺和圆规作出一个符合要求的等腰三角形(不写作法,保留作图痕迹).
(2)当剪下的等腰三角形面积最大时,求该等腰三角形的面积.
答案
解：
(1) 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，交BC于点E，连接AE，$△ ABE$即为所求符合要求的等腰三角形，保留作图痕迹。
(2) $\because AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 = 5^2 = AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$。
设等腰三角形的腰长$AE=BE=x\ \mathrm{cm}$，则$CE=(4-x)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由勾股定理得：
$AC^2 + CE^2 = AE^2$，
即$3^2 + (4-x)^2 = x^2$，
展开整理得$25 - 8x = 0$，
解得$x=\frac{25}{8}$。
过点E作$EM⊥ AB$于点M，
$\because AE=BE$，$EM⊥ AB$，
$\therefore M$是AB的中点，$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
又$\because ∠ B=∠ B$，$∠ EMB=∠ C=90°$，
$\therefore △ BEM ∽ △ BAC$，
$\therefore \frac{EM}{AC}=\frac{BE}{AB}$，即$\frac{EM}{3}=\frac{\frac{25}{8}}{5}$，
解得$EM=\frac{15}{8}\ \mathrm{cm}$。
$\therefore$ 该等腰三角形的面积$S=\frac{1}{2}× AB × EM=\frac{1}{2}×5×\frac{15}{8}=\frac{75}{16}\ \mathrm{cm}^2$。
答：该等腰三角形的面积为$\frac{75}{16}\ \mathrm{cm}^2$。
(1) 分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，交BC于点E，连接AE，$△ ABE$即为所求符合要求的等腰三角形，保留作图痕迹。
(2) $\because AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 = 5^2 = AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$。
设等腰三角形的腰长$AE=BE=x\ \mathrm{cm}$，则$CE=(4-x)\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由勾股定理得：
$AC^2 + CE^2 = AE^2$，
即$3^2 + (4-x)^2 = x^2$，
展开整理得$25 - 8x = 0$，
解得$x=\frac{25}{8}$。
过点E作$EM⊥ AB$于点M，
$\because AE=BE$，$EM⊥ AB$，
$\therefore M$是AB的中点，$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
又$\because ∠ B=∠ B$，$∠ EMB=∠ C=90°$，
$\therefore △ BEM ∽ △ BAC$，
$\therefore \frac{EM}{AC}=\frac{BE}{AB}$，即$\frac{EM}{3}=\frac{\frac{25}{8}}{5}$，
解得$EM=\frac{15}{8}\ \mathrm{cm}$。
$\therefore$ 该等腰三角形的面积$S=\frac{1}{2}× AB × EM=\frac{1}{2}×5×\frac{15}{8}=\frac{75}{16}\ \mathrm{cm}^2$。
答：该等腰三角形的面积为$\frac{75}{16}\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
(1) 要作以AB为底（底长5cm）的等腰三角形，需满足第三个顶点到A、B两点距离相等，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，只需作出AB的垂直平分线，与△ABC的边AC或BC相交，交点即为等腰三角形的第三个顶点，连接交点和A、B即可得到符合要求的图形。
(2) 首先根据三边长3cm、4cm、5cm，用勾股定理逆定理可判断△ABC是直角三角形，∠C=90°。底AB固定为5cm时，等腰三角形的面积由AB边上的高决定，高越大面积越大，因此需找到高最大的情况，即AB的垂直平分线与BC边相交的情况。接下来设腰长为未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程求出腰长，再通过相似三角形求出AB边上的高，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) 作图：分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线交BC于点E，连接AE，$△ ABE$即为所求，保留作图痕迹即可。
(2) 已知$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，
$\because AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 = 5^2 = AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$。
设等腰三角形腰长$AE=BE=x\ \mathrm{cm}$，则$CE=(4-x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由勾股定理得：$AC^2 + CE^2 = AE^2$，
代入得：$3^2 + (4-x)^2 = x^2$，
展开整理得：$25 - 8x = 0$，解得$x=\frac{25}{8}$。
过点E作$EM⊥ AB$于点M，
$\because AE=BE$，$EM⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore M$是AB的中点，$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
又$\because ∠ B=∠ B$，$∠ EMB=∠ C=90°$，
$\therefore △ BEM ∽ △ BAC$，
$\therefore \frac{EM}{AC}=\frac{BE}{AB}$，即$\frac{EM}{3}=\frac{\frac{25}{8}}{5}$，
解得$EM=\frac{15}{8}\ \mathrm{cm}$。
$\therefore$ 该等腰三角形的面积$S=\frac{1}{2}× AB × EM=\frac{1}{2}×5×\frac{15}{8}=\frac{75}{16}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 作图见解析，$△ ABE$即为符合要求的等腰三角形；
(2) $\frac{75}{16}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 勾股定理及逆定理
2. 等腰三角形的性质
3. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，既考查了动手操作能力，又考查了三角形相关性质的综合应用能力。解题的关键是明确底固定的等腰三角形面积随高的增大而增大，准确找到面积最大时等腰三角形的顶点位置。
【难度系数】
0.6
(1) 要作以AB为底（底长5cm）的等腰三角形，需满足第三个顶点到A、B两点距离相等，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，只需作出AB的垂直平分线，与△ABC的边AC或BC相交，交点即为等腰三角形的第三个顶点，连接交点和A、B即可得到符合要求的图形。
(2) 首先根据三边长3cm、4cm、5cm，用勾股定理逆定理可判断△ABC是直角三角形，∠C=90°。底AB固定为5cm时，等腰三角形的面积由AB边上的高决定，高越大面积越大，因此需找到高最大的情况，即AB的垂直平分线与BC边相交的情况。接下来设腰长为未知数，在直角三角形中用勾股定理列方程求出腰长，再通过相似三角形求出AB边上的高，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) 作图：分别以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线交BC于点E，连接AE，$△ ABE$即为所求，保留作图痕迹即可。
(2) 已知$AC=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$AB=5\ \mathrm{cm}$，
$\because AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25 = 5^2 = AB^2$，
$\therefore △ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$。
设等腰三角形腰长$AE=BE=x\ \mathrm{cm}$，则$CE=(4-x)\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由勾股定理得：$AC^2 + CE^2 = AE^2$，
代入得：$3^2 + (4-x)^2 = x^2$，
展开整理得：$25 - 8x = 0$，解得$x=\frac{25}{8}$。
过点E作$EM⊥ AB$于点M，
$\because AE=BE$，$EM⊥ AB$，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore M$是AB的中点，$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
又$\because ∠ B=∠ B$，$∠ EMB=∠ C=90°$，
$\therefore △ BEM ∽ △ BAC$，
$\therefore \frac{EM}{AC}=\frac{BE}{AB}$，即$\frac{EM}{3}=\frac{\frac{25}{8}}{5}$，
解得$EM=\frac{15}{8}\ \mathrm{cm}$。
$\therefore$ 该等腰三角形的面积$S=\frac{1}{2}× AB × EM=\frac{1}{2}×5×\frac{15}{8}=\frac{75}{16}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 作图见解析，$△ ABE$即为符合要求的等腰三角形；
(2) $\frac{75}{16}\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
1. 勾股定理及逆定理
2. 等腰三角形的性质
3. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，既考查了动手操作能力，又考查了三角形相关性质的综合应用能力。解题的关键是明确底固定的等腰三角形面积随高的增大而增大，准确找到面积最大时等腰三角形的顶点位置。
【难度系数】
0.6
22. (10分)某数学小组为了探索代数式$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(8-x)^2+25}$的最小值,设计了如下方法:如图 
,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作$AB ⊥ BD,ED ⊥ BD$,连接AC、EC.已知$AB=1,DE=5,BD=8$.设$BC=x$,则$AC=\sqrt{x^2+1}$,$CE=\sqrt{(8-x)^2+25}$,问题即转化成求$AC+CE$的最小值.
(1)我们知道当点A、C、E在同一直线上时,$AC+CE$的值最小,故连接AE,AE的长度就是$AC+CE$的最小值.为求AE的长,可将AE向下平移,使A点平移至B点,E点平移至E'点,于是根据平行四边形的有关知识,利用勾股定理可求得$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(8-x)^2+25}$的最小值为.
(2)题中巧妙地运用了几何方法解决代数问题.请你根据上述的方法和结论,试构图求出代数式$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$的最小值.
,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作$AB ⊥ BD,ED ⊥ BD$,连接AC、EC.已知$AB=1,DE=5,BD=8$.设$BC=x$,则$AC=\sqrt{x^2+1}$,$CE=\sqrt{(8-x)^2+25}$,问题即转化成求$AC+CE$的最小值.(1)我们知道当点A、C、E在同一直线上时,$AC+CE$的值最小,故连接AE,AE的长度就是$AC+CE$的最小值.为求AE的长,可将AE向下平移,使A点平移至B点,E点平移至E'点,于是根据平行四边形的有关知识,利用勾股定理可求得$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(8-x)^2+25}$的最小值为.
(2)题中巧妙地运用了几何方法解决代数问题.请你根据上述的方法和结论,试构图求出代数式$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$的最小值.
答案
(1) $\boldsymbol{10}$；(2) 最小值为$\boldsymbol{13}$。
解析
【分析】
(1) 解题思路：题目已经提示当A、C、E三点共线时$AC+CE$最小，即最小值为$AE$的长度。我们可以通过构造直角三角形求$AE$的长：过E作AB延长线的垂线，得到的直角三角形两条直角边分别等于BD的长度、AB与DE的长度和，直接用勾股定理计算即可。
(2) 解题思路：类比第一问的构造方法，先拆分代数式中两个根式的结构：$\sqrt{x^2+4}$对应直角边为$x$和$2$的直角三角形斜边，$\sqrt{(12-x)^2+9}$对应直角边为$12-x$和$3$的直角三角形斜边，同样构造垂直于同一直线的两条垂线段，当三点共线时线段和最小，再用勾股定理求最小值即可。
【解析】
(1) 过点E作$EF ⊥ AB$，交AB的延长线于点F。
由题意得：$EF=BD=8$，$BF=DE=5$，
$\therefore AF=AB+BF=1+5=6$，
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理可得：
$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$，
即$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(8-x)^2+25}$的最小值为10。
(2) 构图：设C为线段BD上的动点，过点B作$AB ⊥ BD$，过点D作$ED ⊥ BD$，连接$AC$、$EC$。
设$BC=x$，则$CD=12-x$，取$AB=2$，$DE=3$，$BD=12$，
则$AC=\sqrt{x^2+2^2}=\sqrt{x^2+4}$，$CE=\sqrt{(12-x)^2+3^2}=\sqrt{(12-x)^2+9}$，
当A、C、E三点共线时，$AC+CE$的值最小，最小值为$AE$的长度。
过E作$EF ⊥ AB$，交AB的延长线于点F，
则$EF=BD=12$，$BF=DE=3$，
$\therefore AF=AB+BF=2+3=5$，
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理可得：
$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$，
即$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$的最小值为13。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$；(2) 最小值为$\boldsymbol{13}$。
【知识点】
勾股定理，两点之间线段最短，数形结合思想
【点评】
本题是典型的数形结合类题型，将代数最值问题转化为几何线段最短问题求解，重点考查知识迁移能力和类比推理能力，解题的核心是准确找到根式对应的几何意义，结合两点之间线段最短确定最值对应的图形位置，再用勾股定理计算即可，方法巧妙，能够很好地体现了代数与几何的关联性。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：题目已经提示当A、C、E三点共线时$AC+CE$最小，即最小值为$AE$的长度。我们可以通过构造直角三角形求$AE$的长：过E作AB延长线的垂线，得到的直角三角形两条直角边分别等于BD的长度、AB与DE的长度和，直接用勾股定理计算即可。
(2) 解题思路：类比第一问的构造方法，先拆分代数式中两个根式的结构：$\sqrt{x^2+4}$对应直角边为$x$和$2$的直角三角形斜边，$\sqrt{(12-x)^2+9}$对应直角边为$12-x$和$3$的直角三角形斜边，同样构造垂直于同一直线的两条垂线段，当三点共线时线段和最小，再用勾股定理求最小值即可。
【解析】
(1) 过点E作$EF ⊥ AB$，交AB的延长线于点F。
由题意得：$EF=BD=8$，$BF=DE=5$，
$\therefore AF=AB+BF=1+5=6$，
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理可得：
$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$，
即$\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(8-x)^2+25}$的最小值为10。
(2) 构图：设C为线段BD上的动点，过点B作$AB ⊥ BD$，过点D作$ED ⊥ BD$，连接$AC$、$EC$。
设$BC=x$，则$CD=12-x$，取$AB=2$，$DE=3$，$BD=12$，
则$AC=\sqrt{x^2+2^2}=\sqrt{x^2+4}$，$CE=\sqrt{(12-x)^2+3^2}=\sqrt{(12-x)^2+9}$，
当A、C、E三点共线时，$AC+CE$的值最小，最小值为$AE$的长度。
过E作$EF ⊥ AB$，交AB的延长线于点F，
则$EF=BD=12$，$BF=DE=3$，
$\therefore AF=AB+BF=2+3=5$，
在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，由勾股定理可得：
$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$，
即$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(12-x)^2+9}$的最小值为13。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$；(2) 最小值为$\boldsymbol{13}$。
【知识点】
勾股定理，两点之间线段最短，数形结合思想
【点评】
本题是典型的数形结合类题型，将代数最值问题转化为几何线段最短问题求解，重点考查知识迁移能力和类比推理能力，解题的核心是准确找到根式对应的几何意义，结合两点之间线段最短确定最值对应的图形位置，再用勾股定理计算即可，方法巧妙，能够很好地体现了代数与几何的关联性。
【难度系数】
0.6
