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23. (11分)如图17,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=6 cm.若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒2 cm,设出发的时间为t s.回答下列问题:
(1)当t=s时,BP平分∠ABC.
(2)在运动过程中是否能出现以BC为腰的等腰△BCP?若能,求出此时点P的运动时间;若不能,请说明理由.
(1)当t=s时,BP平分∠ABC.
(2)在运动过程中是否能出现以BC为腰的等腰△BCP?若能,求出此时点P的运动时间;若不能,请说明理由.
答案
$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$（或1.5）
(2) 能出现以BC为腰的等腰$△ BCP$，分三种情况讨论：
① 当$CP=CB=6\ \mathrm{cm}$，点P在AC上时：
点P的运动路程为6 cm，
∴ $t=\frac{6}{2}=3\ \mathrm{s}$。
② 当$BC=BP=6\ \mathrm{cm}$，点P在AB上时：
$AP=AB-BP=10-6=4\ \mathrm{cm}$，
点P的总运动路程为$AC+AP=8+4=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $t=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{s}$。
③ 当$CP=CB=6\ \mathrm{cm}$，点P在AB上时：
过点C作$CD⊥ AB$于点D，由三角形面积公式：
$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$
得$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{8×6}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=3.6\ \mathrm{cm}$。
∵ $CP=BC$，$CD⊥ AB$，
∴ $DP=BD=3.6\ \mathrm{cm}$，$BP=2BD=7.2\ \mathrm{cm}$，
$AP=AB-BP=10-7.2=2.8\ \mathrm{cm}$，
点P的总运动路程为$AC+AP=8+2.8=10.8\ \mathrm{cm}$，
∴ $t=\frac{10.8}{2}=5.4\ \mathrm{s}$。
综上，点P的运动时间为$\boldsymbol{3\ \mathrm{s}}$、$\boldsymbol{5.4\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{6\ \mathrm{s}}$。
(2) 能出现以BC为腰的等腰$△ BCP$，分三种情况讨论：
① 当$CP=CB=6\ \mathrm{cm}$，点P在AC上时：
点P的运动路程为6 cm，
∴ $t=\frac{6}{2}=3\ \mathrm{s}$。
② 当$BC=BP=6\ \mathrm{cm}$，点P在AB上时：
$AP=AB-BP=10-6=4\ \mathrm{cm}$，
点P的总运动路程为$AC+AP=8+4=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $t=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{s}$。
③ 当$CP=CB=6\ \mathrm{cm}$，点P在AB上时：
过点C作$CD⊥ AB$于点D，由三角形面积公式：
$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$
得$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{8×6}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=3.6\ \mathrm{cm}$。
∵ $CP=BC$，$CD⊥ AB$，
∴ $DP=BD=3.6\ \mathrm{cm}$，$BP=2BD=7.2\ \mathrm{cm}$，
$AP=AB-BP=10-7.2=2.8\ \mathrm{cm}$，
点P的总运动路程为$AC+AP=8+2.8=10.8\ \mathrm{cm}$，
∴ $t=\frac{10.8}{2}=5.4\ \mathrm{s}$。
综上，点P的运动时间为$\boldsymbol{3\ \mathrm{s}}$、$\boldsymbol{5.4\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{6\ \mathrm{s}}$。
解析
【分析】
首先利用勾股定理求出AC的长度为8cm。
(1) 当BP平分∠ABC时，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过P作PD⊥AB于D，可得PC=PD、BC=BD，再结合勾股定理列方程求出PC的长度，即可求出运动时间t。
(2) 若△BCP是以BC为腰的等腰三角形，需分三类讨论：①点P在AC上，CP=BC；②点P在AB上，BP=BC；③点P在AB上，CP=BC。分别计算每种情况下点P的运动路程，除以速度即可得到对应运动时间，注意验证点P的位置是否符合题意。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \mathrm{cm}$。
(1) 过点P作$PD⊥ AB$于点D。
∵ BP平分∠ABC，∠C=90°，$PD⊥ AB$，
∴ $PC=PD$，$BC=BD=6\ \mathrm{cm}$，
∴ $AD=AB-BD=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
设$PC=x\ \mathrm{cm}$，则$PD=x\ \mathrm{cm}$，$AP=AC-PC=(8-x)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△APD中，由勾股定理得：
$AD^2+PD^2=AP^2$，即$4^2+x^2=(8-x)^2$，
解得$x=3$，
∴ $t=\frac{3}{2}=1.5\ \mathrm{s}$。
(2) 能出现以BC为腰的等腰△BCP，分三种情况讨论：
① 当点P在AC上，且$CP=CB=6\ \mathrm{cm}$时：
点P的运动路程为6 cm，
∴ $t=\frac{6}{2}=3\ \mathrm{s}$。
② 当点P在AB上，且$BC=BP=6\ \mathrm{cm}$时：
$AP=AB-BP=10-6=4\ \mathrm{cm}$，
点P的总运动路程为$AC+AP=8+4=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $t=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{s}$。
③ 当点P在AB上，且$CP=CB=6\ \mathrm{cm}$时：
过点C作$CD⊥ AB$于点D，由三角形面积公式：
$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
得$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{8×6}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$。
在Rt△BCD中，$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=3.6\ \mathrm{cm}$。
∵ $CP=BC$，$CD⊥ AB$，
∴ $DP=BD=3.6\ \mathrm{cm}$，$BP=2BD=7.2\ \mathrm{cm}$，
$AP=AB-BP=10-7.2=2.8\ \mathrm{cm}$，
点P的总运动路程为$AC+AP=8+2.8=10.8\ \mathrm{cm}$，
∴ $t=\frac{10.8}{2}=5.4\ \mathrm{s}$。
综上，点P的运动时间为3 s、5.4 s或6 s。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$（或1.5）
(2) 能，点P的运动时间为$\boldsymbol{3\ \mathrm{s}}$、$\boldsymbol{5.4\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{6\ \mathrm{s}}$
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题是动态几何典型考题，重点考查分类讨论思想的应用，解题时需根据等腰三角形腰的情况和点P的运动路径分情况讨论，避免漏解，对逻辑严密性有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先利用勾股定理求出AC的长度为8cm。
(1) 当BP平分∠ABC时，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过P作PD⊥AB于D，可得PC=PD、BC=BD，再结合勾股定理列方程求出PC的长度，即可求出运动时间t。
(2) 若△BCP是以BC为腰的等腰三角形，需分三类讨论：①点P在AC上，CP=BC；②点P在AB上，BP=BC；③点P在AB上，CP=BC。分别计算每种情况下点P的运动路程，除以速度即可得到对应运动时间，注意验证点P的位置是否符合题意。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \mathrm{cm}$。
(1) 过点P作$PD⊥ AB$于点D。
∵ BP平分∠ABC，∠C=90°，$PD⊥ AB$，
∴ $PC=PD$，$BC=BD=6\ \mathrm{cm}$，
∴ $AD=AB-BD=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
设$PC=x\ \mathrm{cm}$，则$PD=x\ \mathrm{cm}$，$AP=AC-PC=(8-x)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△APD中，由勾股定理得：
$AD^2+PD^2=AP^2$，即$4^2+x^2=(8-x)^2$，
解得$x=3$，
∴ $t=\frac{3}{2}=1.5\ \mathrm{s}$。
(2) 能出现以BC为腰的等腰△BCP，分三种情况讨论：
① 当点P在AC上，且$CP=CB=6\ \mathrm{cm}$时：
点P的运动路程为6 cm，
∴ $t=\frac{6}{2}=3\ \mathrm{s}$。
② 当点P在AB上，且$BC=BP=6\ \mathrm{cm}$时：
$AP=AB-BP=10-6=4\ \mathrm{cm}$，
点P的总运动路程为$AC+AP=8+4=12\ \mathrm{cm}$，
∴ $t=\frac{12}{2}=6\ \mathrm{s}$。
③ 当点P在AB上，且$CP=CB=6\ \mathrm{cm}$时：
过点C作$CD⊥ AB$于点D，由三角形面积公式：
$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，
得$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{8×6}{10}=4.8\ \mathrm{cm}$。
在Rt△BCD中，$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=3.6\ \mathrm{cm}$。
∵ $CP=BC$，$CD⊥ AB$，
∴ $DP=BD=3.6\ \mathrm{cm}$，$BP=2BD=7.2\ \mathrm{cm}$，
$AP=AB-BP=10-7.2=2.8\ \mathrm{cm}$，
点P的总运动路程为$AC+AP=8+2.8=10.8\ \mathrm{cm}$，
∴ $t=\frac{10.8}{2}=5.4\ \mathrm{s}$。
综上，点P的运动时间为3 s、5.4 s或6 s。
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$（或1.5）
(2) 能，点P的运动时间为$\boldsymbol{3\ \mathrm{s}}$、$\boldsymbol{5.4\ \mathrm{s}}$或$\boldsymbol{6\ \mathrm{s}}$
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题是动态几何典型考题，重点考查分类讨论思想的应用，解题时需根据等腰三角形腰的情况和点P的运动路径分情况讨论，避免漏解，对逻辑严密性有一定要求。
【难度系数】
0.6
