1. (2024·陕西中考)已知一个二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与函数值$y$的几组对应值如下表：
则下列关于这个二次函数的结论正确的是()。

A.图象的开口向上
B.当$x＞0$时，$y$的值随着$x$值的增大而减小
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线$x=1$

1. D

【分析】
要判断二次函数相关结论的正误，首先需要求出二次函数的解析式。观察表格可知x=0时y=0，可直接得c=0，再选取另外两组x、y的对应值代入一般式，解二元一次方程组求出a、b的值，得到解析式后，再结合二次函数的开口方向、对称轴、增减性、图象经过的象限等性质逐一判断各选项即可。
【解析】
解：将$x=0,y=0$代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=0$，因此二次函数解析式为$y=ax^2+bx$。
将$x=-2,y=-8$、$x=3,y=-3$分别代入$y=ax^2+bx$，得：
$\begin{cases}4a-2b=-8 \\9a+3b=-3 \end{cases}$
化简得$\begin{cases}2a-b=-4 ①\\3a+b=-1 ② \end{cases}$
①+②得：$5a=-5$，解得$a=-1$，
将$a=-1$代入②得：$-3 + b=-1$，解得$b=2$，
因此二次函数解析式为$y=-x^2+2x$。
接下来逐一判断选项：
A.
∵$a=-1＜0$，
∴二次函数图象开口向下，A错误；
B. 二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，开口向下，因此当$x＞1$时y随x的增大而减小，当$0＜x＜1$时y随x的增大而增大，B错误；
C. 二次函数$y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1$，顶点为$(1,1)$，与x轴交点为$(0,0)$、$(2,0)$，图象过第一、二、三、四象限，C错误；
D. 由上述计算可知，图象对称轴是直线$x=1$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数的对称轴
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，解题的核心是先利用表格给出的点坐标求出函数解析式，再结合二次函数的开口、对称轴、增减性等性质逐一验证选项，是二次函数部分的常规考查题型。
【难度系数】
0.7

2. 若二次函数$y=ax^2+bx$的图象如图所示，则一次函数$y=x+b$的图象一定不经过()。

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

2. D

【分析】
解题时首先从二次函数的图象特征入手：第一步根据开口方向判断$a$的符号，第二步根据对称轴的位置推导$b$的符号，再结合一次函数的斜率和截距的符号，即可判断一次函数经过的象限，进而得出答案。
【解析】
1. 由二次函数$y=ax^2+bx$的图象开口向下，可得$a＜0$；
2. 由图象可知对称轴$x=-\frac{b}{2a}$在$y$轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$（即$2a＜0$），可推得$-b＜0$，即$b＞0$；
3. 对于一次函数$y=x+b$，其斜率$k=1＞0$，截距$b＞0$，因此该函数图象经过第一、二、三象限，一定不经过第四象限。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；一次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象性质的综合基础题，需要掌握函数系数与图象位置的对应关系，通过二次函数图象推导系数符号，再判断一次函数的图象位置，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7

3. (2025·威海中考)已知点$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$都在二次函数$y=-(x-2)^2+c$的图象上,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是()。

A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$

3. C

【分析】
要比较三个点的函数值大小，首先分析二次函数的基本性质：该函数是顶点式，首先确定开口方向和对称轴。因为二次项系数为负，抛物线开口向下，此时抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大。接下来只需计算三个点的横坐标到对称轴的距离，比较距离大小即可推出y值的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-2)^2+c$：
1. 由$a=-1＜0$，可得抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$；
2. 分别计算三个点到对称轴的距离：
点$(-2,y_1)$到$x=2$的距离：$\vert -2-2\vert=4$
点$(3,y_2)$到$x=2$的距离：$\vert 3-2\vert=1$
点$(7,y_3)$到$x=2$的距离：$\vert 7-2\vert=5$
3. 因为开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越小，函数值越大，且$1＜4＜5$，所以$y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；二次函数顶点式；抛物线增减性
【点评】
本题考查二次函数性质的灵活应用，解题的核心是先明确抛物线的开口方向和对称轴，利用开口方向对应的函数值变化规律比较大小，比直接代入计算更简便。
【难度系数】
0.7

4. (2025·陕西中考)在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2 -2ax +a -3$的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是()。

A.图象的开口向下
B.当$x＞0$时，y的值随着x值的增大而增大
C.函数的最小值小于-3
D.当$x=2$时，$y＜0$

4. D

【分析】
要解决这道题，首先需要根据二次函数与x轴交点的特征求出参数a的取值范围，再结合二次函数的图像性质逐一判断每个选项的正误。第一步：利用二次函数两根在y轴两侧的条件，结合韦达定理得到a的取值范围；第二步：将函数配方得到对称轴和顶点坐标，再分别验证四个选项。
【解析】
先将二次函数解析式整理：$y=ax^2-2ax+a-3=a(x-1)^2-3$，可得函数对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-3)$。
已知二次函数图像与x轴的两个交点在y轴两侧，设两个交点的横坐标为$x_1、x_2$，根据韦达定理，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{a-3}{a}$。
因为交点在y轴两侧，所以$x_1x_2＜0$，即$\frac{a-3}{a}＜0$，解得$0＜a＜3$（此时判别式$\Delta=(-2a)^2-4a(a-3)=12a＞0$，满足有两个交点的条件）。
逐一分析选项：
A. 因为$a＞0$，所以二次函数图像开口向上，A错误；
B. 函数开口向上，对称轴为$x=1$，因此当$x＞1$时y随x增大而增大，$0＜x＜1$时y随x增大而减小，B错误；
C. 函数开口向上，顶点处取最小值，最小值为顶点纵坐标$-3$，等于$-3$而非小于$-3$，C错误；
D. 把$x=2$代入解析式得：$y=a×2^2-2a×2+a-3=a-3$，因为$a＜3$，所以$a-3＜0$，即$y＜0$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数与x轴交点；韦达定理
【点评】
本题综合考查二次函数的图像与性质，解题关键是结合交点位置特征先确定参数a的取值范围，再结合函数的开口方向、对称轴、最值等性质判断选项，是二次函数的典型综合考题。
【难度系数】
0.6

5. (2025·安徽中考)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图所示，则()。

A.$abc ＜ 0$
B.$2a + b ＜ 0$
C.$2b - c ＜ 0$
D.$a - b + c ＜ 0$

5. C

【分析】
解题时先根据二次函数图像的特征确定a、b、c的符号，再结合对称轴位置、特殊点的函数值逐一推导判断选项。第一步：由开口方向判断a的符号，由与y轴交点判断c的符号，由对称轴位置结合a的符号判断b的符号；第二步：根据对称轴的范围推导2a+b的符号；第三步：利用x=2、x=-1处的函数值推导2b与c的大小关系；第四步：判断x=-1处函数值的符号。
【解析】
1. 确定a、b、c的符号：
抛物线开口向上，因此$a＞0$；
抛物线与y轴交于负半轴，因此$c＜0$；
抛物线与x轴的交点一个在$(-1,0)∼(0,0)$之间，另一个为$(2,0)$，因此对称轴$x=-\frac{b}{2a}$在$0.5∼1$之间，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可得$b＜0$。
2. 逐个判断选项：
选项A：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，因此$abc＞0$，A错误；
选项B：由对称轴$-\frac{b}{2a}＜1$，两边乘正数$2a$得$-b＜2a$，整理得$2a+b＞0$，B错误；
选项C：将$(2,0)$代入函数得$4a+2b+c=0$，即$a=\frac{-2b-c}{4}$；$x=-1$时，对应点在x轴上方，因此$y=a-b+c＞0$，将a代入不等式：$\frac{-2b-c}{4}-b+c＞0$，两边乘4整理得$3c＞6b$，即$c＞2b$，因此$2b-c＜0$，C正确；
选项D：$x=-1$时$y=a-b+c＞0$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与系数的关系、二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数的常考题型，核心考查图像特征与系数的对应关系，需要熟练结合对称轴、特殊点函数值等性质，通过不等式推导判断结论，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.65

6. (2025·广安中考)如图,二次函数$y=ax^2+bx+c(a,b,c$为常数,$a≠0)$的图象交$x$轴于$A,B$两点,点$A$的坐标是$(-1,0)$,点$B$的坐标是$(n,0)$,有下列结论:①$abc ＜ 0$;②$4a + c ＞ 2b$;③关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$的解是$x_1 = -1, x_2 = n$;④$-\dfrac{b}{2a} = \dfrac{n - 1}{2}$。其中正确的有()。

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

6. C 【解析】由函数图象,可得抛物线的开口向下,交$y$轴于正半轴,$\therefore a＜0,c＞0$。$\because$ 抛物线的对称轴在$y$轴右侧,$x = -\dfrac{b}{2a} ＞ 0,\therefore b＞0$。$\therefore abc ＜ 0$,故结论①正确;由函数的图象,可得当$x = -2$时,$y＜0$,即$4a - 2b + c ＜ 0$,即$4a + c ＜ 2b$,故结论②错误;$\because$ 二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象交$x$轴于$A,B$两点,点$A$的坐标是$(-1,0)$,点$B$的坐标是$(n,0)$,$\therefore$ 关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0$的解是$x_1 = -1$,$x_2 = n$,$-\dfrac{b}{2a} = \dfrac{-1 + n}{2} = \dfrac{n - 1}{2}$,故结论③④正确。综上,结论正确的有3个

【分析】
解题时从二次函数的图象特征逐步推导：第一步，根据抛物线开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置判断a、b、c的符号，验证结论①；第二步，找到x=-2时对应的函数值，代入解析式变形后验证结论②；第三步，根据二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解，验证结论③；第四步，利用抛物线对称轴是与x轴两交点横坐标的平均数，验证结论④，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
解：结合抛物线图象推导如下：
1. 抛物线开口向下，可得$a＜0$；抛物线与y轴交于正半轴，可得$c＞0$；
抛物线对称轴在y轴右侧，即$-\dfrac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$可推出$b＞0$，
因此$abc＜0$，结论①正确；
2. 观察图象，$x=-2$在点A左侧，对应函数值小于0，将$x=-2$代入解析式得：
$y=4a-2b+c＜0$，移项可得$4a+c＜2b$，结论②错误；
3. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点为$A(-1,0)$、$B(n,0)$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的解就是两个交点的横坐标，即$x_1=-1$，$x_2=n$，结论③正确；
4. 抛物线对称轴为与x轴两交点横坐标的中点，因此对称轴$x=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{-1+n}{2}=\dfrac{n-1}{2}$，结论④正确。
综上，正确的结论有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，抛物线对称轴计算
【点评】
本题属于二次函数的常考题型，综合考查图象与解析式参数、对应方程的关联，解题的核心是熟练掌握“图象特征-参数性质-方程解”三者的对应关系。
【难度系数】
0.7