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7. (2025·徐州中考)急刹车时,停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离,记作$y$ m;反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离,记作$d_1$ m;刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离,记作$d_2$ m,已知$y = d_1 + d_2$,$d_1$与骑行速度成正比,$d_2$与骑行速度的平方成正比。当骑行速度为13 km/h时,反应距离为2.6 m,刹车距离为1 m。
(1)若骑行速度为26 km/h,则$d_1 =$
(2)设骑行速度为$x$ km/h,求$y$与$x$之间的关系式;
(3)当刹车距离为2 m时,停车距离为多少?(精确到0.1 m,参考数据:$\sqrt{2} \approx 1.41,\sqrt{3} \approx 1.73,\sqrt{5} \approx 2.24$)
(1)若骑行速度为26 km/h,则$d_1 =$
5.2
m,$d_2 =$ 4
m;(2)设骑行速度为$x$ km/h,求$y$与$x$之间的关系式;
(3)当刹车距离为2 m时,停车距离为多少?(精确到0.1 m,参考数据:$\sqrt{2} \approx 1.41,\sqrt{3} \approx 1.73,\sqrt{5} \approx 2.24$)
答案
7. (1) 5.2 4
(2) 设骑行速度为$x$ km/h,由已知得 $d_1 = 0.2x$,$d_2 = \dfrac{1}{169}x^2$,所以 $y$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y = d_1 + d_2 = 0.2x + \dfrac{1}{169}x^2$
(3) 当刹车距离为 2 m,即 $2 = \dfrac{1}{169}x^2$ 时,解得 $x_1 = 13\sqrt{2}$,$x_2 = -13\sqrt{2}$(舍去)。$\therefore y = 0.2x + \dfrac{1}{169}x^2 \approx 0.2 × 13 × 1.41 + 2 = 5.666 \approx 5.7(\mathrm{m})$,$\therefore$ 停车距离约为 5.7 m
(2) 设骑行速度为$x$ km/h,由已知得 $d_1 = 0.2x$,$d_2 = \dfrac{1}{169}x^2$,所以 $y$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y = d_1 + d_2 = 0.2x + \dfrac{1}{169}x^2$
(3) 当刹车距离为 2 m,即 $2 = \dfrac{1}{169}x^2$ 时,解得 $x_1 = 13\sqrt{2}$,$x_2 = -13\sqrt{2}$(舍去)。$\therefore y = 0.2x + \dfrac{1}{169}x^2 \approx 0.2 × 13 × 1.41 + 2 = 5.666 \approx 5.7(\mathrm{m})$,$\therefore$ 停车距离约为 5.7 m
解析
【分析】
解题时先明确三类距离的数量关系，以及d₁、d₂和骑行速度的比例特征：
1. 第(1)问：先根据速度为13km/h时的d₁、d₂值，求出d₁与速度的正比例系数、d₂与速度平方的正比例系数；由于26是13的2倍，根据比例性质，d₁随速度同倍数变化，d₂随速度平方的倍数变化，直接计算即可。
2. 第(2)问：设骑行速度为x km/h，根据正比例关系分别写出d₁、d₂关于x的表达式，再结合y=d₁+d₂，即可得到y与x的函数关系式。
3. 第(3)问：先令d₂=2，代入d₂的表达式解出x的值，结合速度为正数的实际意义舍去负根，再将x代入y的关系式，结合给出的近似值计算最终结果即可。
【解析】
解：(1) 设骑行速度为$v$ km/h，由题意得$d_1=k_1v$，$d_2=k_2v^2$。
将$v=13$，$d_1=2.6$代入$d_1=k_1v$，得$2.6=13k_1$，解得$k_1=0.2$；
将$v=13$，$d_2=1$代入$d_2=k_2v^2$，得$1=k_2×13^2$，解得$k_2=\dfrac{1}{169}$。
当$v=26$时，$d_1=0.2×26=5.2\ \mathrm{m}$，$d_2=\dfrac{1}{169}×26^2=4\ \mathrm{m}$。
(2) 设骑行速度为$x$ km/h，由上述系数可得：
$d_1=0.2x$，$d_2=\dfrac{1}{169}x^2$，
$\because y=d_1+d_2$，
$\therefore y=0.2x+\dfrac{1}{169}x^2$。
(3) 当刹车距离$d_2=2\ \mathrm{m}$时，代入$d_2$的表达式得：
$2=\dfrac{1}{169}x^2$，
解得$x_1=13\sqrt{2}$，$x_2=-13\sqrt{2}$（速度为正数，舍去）。
将$x=13\sqrt{2}$代入$y$的关系式，结合$\sqrt{2}\approx1.41$：
$y=0.2×13\sqrt{2}+2\approx0.2×13×1.41+2=5.666\approx5.7(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5.2}$，$\boldsymbol{4}$
(2) $\boldsymbol{y=0.2x+\dfrac{1}{169}x^2}$
(3) $\boldsymbol{5.7\ \mathrm{m}}$
【知识点】
正比例函数应用；二次函数应用；一元二次方程求解
【点评】
本题结合骑行刹车的实际场景命题，难度适中，解题核心是先根据已知条件求出两类距离的函数表达式，计算时要注意实际问题中自变量的取值需符合现实意义，最终结果要按要求取近似值。
【难度系数】
0.7
解题时先明确三类距离的数量关系，以及d₁、d₂和骑行速度的比例特征：
1. 第(1)问：先根据速度为13km/h时的d₁、d₂值，求出d₁与速度的正比例系数、d₂与速度平方的正比例系数；由于26是13的2倍，根据比例性质，d₁随速度同倍数变化，d₂随速度平方的倍数变化，直接计算即可。
2. 第(2)问：设骑行速度为x km/h，根据正比例关系分别写出d₁、d₂关于x的表达式，再结合y=d₁+d₂，即可得到y与x的函数关系式。
3. 第(3)问：先令d₂=2，代入d₂的表达式解出x的值，结合速度为正数的实际意义舍去负根，再将x代入y的关系式，结合给出的近似值计算最终结果即可。
【解析】
解：(1) 设骑行速度为$v$ km/h，由题意得$d_1=k_1v$，$d_2=k_2v^2$。
将$v=13$，$d_1=2.6$代入$d_1=k_1v$，得$2.6=13k_1$，解得$k_1=0.2$；
将$v=13$，$d_2=1$代入$d_2=k_2v^2$，得$1=k_2×13^2$，解得$k_2=\dfrac{1}{169}$。
当$v=26$时，$d_1=0.2×26=5.2\ \mathrm{m}$，$d_2=\dfrac{1}{169}×26^2=4\ \mathrm{m}$。
(2) 设骑行速度为$x$ km/h，由上述系数可得：
$d_1=0.2x$，$d_2=\dfrac{1}{169}x^2$，
$\because y=d_1+d_2$，
$\therefore y=0.2x+\dfrac{1}{169}x^2$。
(3) 当刹车距离$d_2=2\ \mathrm{m}$时，代入$d_2$的表达式得：
$2=\dfrac{1}{169}x^2$，
解得$x_1=13\sqrt{2}$，$x_2=-13\sqrt{2}$（速度为正数，舍去）。
将$x=13\sqrt{2}$代入$y$的关系式，结合$\sqrt{2}\approx1.41$：
$y=0.2×13\sqrt{2}+2\approx0.2×13×1.41+2=5.666\approx5.7(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5.2}$，$\boldsymbol{4}$
(2) $\boldsymbol{y=0.2x+\dfrac{1}{169}x^2}$
(3) $\boldsymbol{5.7\ \mathrm{m}}$
【知识点】
正比例函数应用；二次函数应用；一元二次方程求解
【点评】
本题结合骑行刹车的实际场景命题，难度适中，解题核心是先根据已知条件求出两类距离的函数表达式，计算时要注意实际问题中自变量的取值需符合现实意义，最终结果要按要求取近似值。
【难度系数】
0.7
8. 小文不仅是一名羽毛球运动爱好者,还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析,下面是他对击球线路的分析。如图,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,球网AB与y轴的水平距离OA=3 m,CA=2 m,击球点P在y轴上。若选择扣球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足一次函数关系$y = -0.4x + 2.8$;若选择吊球,羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足二次函数关系$y = a(x - 1)^2 + 3.2$。
(1)求点P的坐标和a的值。
(2)小文分析发现,上面两种击球方式均能使球过网。要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应选择哪种击球方式。
(1)求点P的坐标和a的值。
(2)小文分析发现,上面两种击球方式均能使球过网。要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应选择哪种击球方式。
答案
8. (1) 点$P$的坐标为$(0,2.8)$,$a$的值为$-0.4$
(2) 应选择吊球 提示:易得 $C(5,0)$。将 $y=0$ 代入 $y = -0.4x + 2.8$,得 $x=7$。$\therefore$ 扣球的落地点到点 $C$ 的距离为 $7 - 5 = 2(\mathrm{m})$。将 $y=0$ 代入 $y = -0.4(x - 1)^2 + 3.2$,得 $x_1 = -2\sqrt{2} + 1$(舍去),$x_2 = 2\sqrt{2} + 1$。$\therefore$ 吊球的落地点到点 $C$ 的距离为 $5 - (2\sqrt{2} + 1) = 4 - 2\sqrt{2}(\mathrm{m})$。$\because 2 - (4 - 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2 ＞ 0$,$\therefore 2 ＞ (4 - 2\sqrt{2})$。$\therefore$ 应选择吊球
(2) 应选择吊球 提示:易得 $C(5,0)$。将 $y=0$ 代入 $y = -0.4x + 2.8$,得 $x=7$。$\therefore$ 扣球的落地点到点 $C$ 的距离为 $7 - 5 = 2(\mathrm{m})$。将 $y=0$ 代入 $y = -0.4(x - 1)^2 + 3.2$,得 $x_1 = -2\sqrt{2} + 1$(舍去),$x_2 = 2\sqrt{2} + 1$。$\therefore$ 吊球的落地点到点 $C$ 的距离为 $5 - (2\sqrt{2} + 1) = 4 - 2\sqrt{2}(\mathrm{m})$。$\because 2 - (4 - 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2 ＞ 0$,$\therefore 2 ＞ (4 - 2\sqrt{2})$。$\therefore$ 应选择吊球
解析
【分析】
(1) 求点P坐标：点P在y轴上横坐标为0，将x=0代入扣球对应的一次函数解析式即可求出P点纵坐标；再将P点坐标代入吊球对应的二次函数解析式，就能解出a的值。
(2) 先根据OA、CA的长度求出点C的坐标；两种击球方式的落地点都是y=0时对应的x值，分别代入两个函数解析式求x，再计算落地点到C点的距离，比较两个距离的大小，距离更小的击球方式符合要求。
【解析】
(1) 求点P坐标和a的值：
∵ 点P在y轴上，横坐标$x=0$，将$x=0$代入一次函数$y=-0.4x+2.8$，得：
$y=-0.4×0 + 2.8=2.8$
∴ 点P的坐标为$(0,2.8)$。
∵ 点P在二次函数$y=a(x-1)^2+3.2$的图象上，将$P(0,2.8)$代入解析式得：
$2.8=a(0-1)^2 + 3.2$
解得：$a=-0.4$。
(2) 判断击球方式：
由题意知，$OA=3\mathrm{m}$，$CA=2\mathrm{m}$，
∴ $OC=OA+AC=3+2=5\mathrm{m}$，即点C的坐标为$(5,0)$。
① 计算扣球落地点到C的距离：
令一次函数$y=-0.4x+2.8$中$y=0$，得：
$0=-0.4x+2.8$
解得$x=7$，即扣球落地点坐标为$(7,0)$，到C的距离为$7-5=2(\mathrm{m})$。
② 计算吊球落地点到C的距离：
由(1)得二次函数解析式为$y=-0.4(x-1)^2+3.2$，令$y=0$，得：
$0=-0.4(x-1)^2 + 3.2$
整理得$(x-1)^2=8$，解得$x_1=1+2\sqrt{2}$，$x_2=1-2\sqrt{2}$（水平距离不能为负，舍去）。
即吊球落地点坐标为$(1+2\sqrt{2},0)$，到C的距离为$5-(1+2\sqrt{2})=4-2\sqrt{2}(\mathrm{m})$。
③ 比较距离大小：
∵ $2-(4-2\sqrt{2})=2\sqrt{2}-2＞0$，
∴ $2＞4-2\sqrt{2}$，即吊球落地点到C的距离更近。
【答案】
(1) 点P的坐标为$\boldsymbol{(0,2.8)}$，$a$的值为$\boldsymbol{-0.4}$；
(2) 应选择吊球。
【知识点】
一次函数应用、二次函数应用、实数大小比较
【点评】
本题结合羽毛球击球的实际场景考查函数的应用，解题的关键是明确落地点对应函数值为0的特征，结合坐标运算即可求解，注重考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求点P坐标：点P在y轴上横坐标为0，将x=0代入扣球对应的一次函数解析式即可求出P点纵坐标；再将P点坐标代入吊球对应的二次函数解析式，就能解出a的值。
(2) 先根据OA、CA的长度求出点C的坐标；两种击球方式的落地点都是y=0时对应的x值，分别代入两个函数解析式求x，再计算落地点到C点的距离，比较两个距离的大小，距离更小的击球方式符合要求。
【解析】
(1) 求点P坐标和a的值：
∵ 点P在y轴上，横坐标$x=0$，将$x=0$代入一次函数$y=-0.4x+2.8$，得：
$y=-0.4×0 + 2.8=2.8$
∴ 点P的坐标为$(0,2.8)$。
∵ 点P在二次函数$y=a(x-1)^2+3.2$的图象上，将$P(0,2.8)$代入解析式得：
$2.8=a(0-1)^2 + 3.2$
解得：$a=-0.4$。
(2) 判断击球方式：
由题意知，$OA=3\mathrm{m}$，$CA=2\mathrm{m}$，
∴ $OC=OA+AC=3+2=5\mathrm{m}$，即点C的坐标为$(5,0)$。
① 计算扣球落地点到C的距离：
令一次函数$y=-0.4x+2.8$中$y=0$，得：
$0=-0.4x+2.8$
解得$x=7$，即扣球落地点坐标为$(7,0)$，到C的距离为$7-5=2(\mathrm{m})$。
② 计算吊球落地点到C的距离：
由(1)得二次函数解析式为$y=-0.4(x-1)^2+3.2$，令$y=0$，得：
$0=-0.4(x-1)^2 + 3.2$
整理得$(x-1)^2=8$，解得$x_1=1+2\sqrt{2}$，$x_2=1-2\sqrt{2}$（水平距离不能为负，舍去）。
即吊球落地点坐标为$(1+2\sqrt{2},0)$，到C的距离为$5-(1+2\sqrt{2})=4-2\sqrt{2}(\mathrm{m})$。
③ 比较距离大小：
∵ $2-(4-2\sqrt{2})=2\sqrt{2}-2＞0$，
∴ $2＞4-2\sqrt{2}$，即吊球落地点到C的距离更近。
【答案】
(1) 点P的坐标为$\boldsymbol{(0,2.8)}$，$a$的值为$\boldsymbol{-0.4}$；
(2) 应选择吊球。
【知识点】
一次函数应用、二次函数应用、实数大小比较
【点评】
本题结合羽毛球击球的实际场景考查函数的应用，解题的关键是明确落地点对应函数值为0的特征，结合坐标运算即可求解，注重考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
