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1. 解一元二次方程的思路是将方程转化为$(x+m)^2 = n$的形式，它的一边是一个
完全平方式
，另一边是一个常数。当$n≥0$时，两边同时开平方
，转化为一元一次方程，便可求出原一元二次方程的根。答案
1. 完全平方式 开平方
解析
【分析】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的基本原理，解题时围绕一元二次方程“降次”的核心思路思考：我们把方程转化为$(x+m)^2=n$的形式，就是为了利用平方的性质实现降次，首先要明确左边$(x+m)^2$的代数式类型，再结合平方根的定义，回忆当右边常数$n$非负时的操作步骤，就能对应填出空缺内容。
【解析】
1. 第一个空：形如$(x+m)^2$的式子是两个数和（或差）的平方，属于完全平方式，因此此处填完全平方式。
2. 第二个空：根据平方根的定义，当$n≥0$时，对$(x+m)^2=n$两边同时开平方，可得到$x+m=\pm\sqrt{n}$，将二次方程转化为一元一次方程求解，因此此处填开平方。
【答案】
完全平方式；开平方
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 完全平方式的概念
【点评】
本题是基础概念类题目，考查一元二次方程解法中最核心的降次思路，熟练掌握直接开平方法的原理，是学习配方法、公式法等其他一元二次方程解法的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查直接开平方法解一元二次方程的基本原理，解题时围绕一元二次方程“降次”的核心思路思考：我们把方程转化为$(x+m)^2=n$的形式，就是为了利用平方的性质实现降次，首先要明确左边$(x+m)^2$的代数式类型，再结合平方根的定义，回忆当右边常数$n$非负时的操作步骤，就能对应填出空缺内容。
【解析】
1. 第一个空：形如$(x+m)^2$的式子是两个数和（或差）的平方，属于完全平方式，因此此处填完全平方式。
2. 第二个空：根据平方根的定义，当$n≥0$时，对$(x+m)^2=n$两边同时开平方，可得到$x+m=\pm\sqrt{n}$，将二次方程转化为一元一次方程求解，因此此处填开平方。
【答案】
完全平方式；开平方
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程 2. 完全平方式的概念
【点评】
本题是基础概念类题目，考查一元二次方程解法中最核心的降次思路，熟练掌握直接开平方法的原理，是学习配方法、公式法等其他一元二次方程解法的基础。
【难度系数】
0.9
2. 通过配成
完全平方式
的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。配方法的关键步骤：二次项系数为1时，方程两边都加
一次项系数一半的平方
。答案
2. 完全平方式 加 一半的平方
解析
【分析】
这道题考查配方法的基础概念，解题时先回忆配方法的核心定义：我们求解一元二次方程时，需要将方程变形为完全平方的形式才能用直接开平方法求根，这种方法就是配方法。再回忆二次项系数为1时的配方操作：结合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，要把方程左边凑成完全平方式，常数项需要等于一次项系数一半的平方，因此要在方程两边同时加上这个值完成配方。
【解析】
根据配方法的定义可知，通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
当二次项系数为1时，结合完全平方公式的结构特征，配方的关键步骤为：方程两边都加一次项系数一半的平方，即可将方程左边凑成完全平方式。
【答案】
完全平方式 加 一半的平方
【知识点】
1.配方法定义
2.配方法步骤
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查配方法的核心概念和基础操作要点，熟练掌握这类基础内容是后续运用配方法求解各类一元二次方程的重要前提。
【难度系数】
0.9
这道题考查配方法的基础概念，解题时先回忆配方法的核心定义：我们求解一元二次方程时，需要将方程变形为完全平方的形式才能用直接开平方法求根，这种方法就是配方法。再回忆二次项系数为1时的配方操作：结合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，要把方程左边凑成完全平方式，常数项需要等于一次项系数一半的平方，因此要在方程两边同时加上这个值完成配方。
【解析】
根据配方法的定义可知，通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
当二次项系数为1时，结合完全平方公式的结构特征，配方的关键步骤为：方程两边都加一次项系数一半的平方，即可将方程左边凑成完全平方式。
【答案】
完全平方式 加 一半的平方
【知识点】
1.配方法定义
2.配方法步骤
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查配方法的核心概念和基础操作要点，熟练掌握这类基础内容是后续运用配方法求解各类一元二次方程的重要前提。
【难度系数】
0.9
1. 若关于x的方程$(ax - 1)^2 - 16 = 0$的一个根是2，则a的值为（
A.$\frac{5}{2}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$-\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
D
）。A.$\frac{5}{2}$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$-\frac{5}{2}$或$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$
答案
1. D
解析
【分析】
已知方程的一个根是2，根据方程根的定义，根代入方程可使等式成立，因此我们可以先将x=2代入原方程，得到只含有参数a的方程，再用直接开平方法求解这个方程即可得到a的取值，注意开平方时正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解。
【解析】
将x=2代入方程$(ax - 1)^2 - 16 = 0$，得：
$(2a - 1)^2 - 16 = 0$
移项，得：$(2a - 1)^2 = 16$
两边开平方，得：$2a - 1 = ±4$
分两种情况计算：
①当$2a - 1 = 4$时，$2a = 5$，解得$a = \frac{5}{2}$；
②当$2a - 1 = -4$时，$2a = -3$，解得$a = -\frac{3}{2}$。
综上，a的值为$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
方程的根的定义；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础题，解题核心是利用方程根的性质将已知根代入原方程，将问题转化为关于参数的方程求解，开平方时要注意考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
已知方程的一个根是2，根据方程根的定义，根代入方程可使等式成立，因此我们可以先将x=2代入原方程，得到只含有参数a的方程，再用直接开平方法求解这个方程即可得到a的取值，注意开平方时正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解。
【解析】
将x=2代入方程$(ax - 1)^2 - 16 = 0$，得：
$(2a - 1)^2 - 16 = 0$
移项，得：$(2a - 1)^2 = 16$
两边开平方，得：$2a - 1 = ±4$
分两种情况计算：
①当$2a - 1 = 4$时，$2a = 5$，解得$a = \frac{5}{2}$；
②当$2a - 1 = -4$时，$2a = -3$，解得$a = -\frac{3}{2}$。
综上，a的值为$\frac{5}{2}$或$-\frac{3}{2}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
方程的根的定义；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于基础题，解题核心是利用方程根的性质将已知根代入原方程，将问题转化为关于参数的方程求解，开平方时要注意考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
2. 下列解方程的过程中,正确的是(
A.解方程$x^2 = -3$,得$x_1 = \sqrt{3},x_2 = -\sqrt{3}$
B.解方程$(x - 2)^2 = 4$,得$x - 2 = 2,x = 4$
C.解方程$4(x - 1)^2 = 9$,得$4(x - 1) = \pm 3$,所以$x_1 = \frac{7}{4},x_2 = \frac{1}{4}$
D.解方程$(2x - 5)^2 = 49$,得$2x - 5 = \pm 7$,所以$x_1 = 6,x_2 = -1$
D
)。A.解方程$x^2 = -3$,得$x_1 = \sqrt{3},x_2 = -\sqrt{3}$
B.解方程$(x - 2)^2 = 4$,得$x - 2 = 2,x = 4$
C.解方程$4(x - 1)^2 = 9$,得$4(x - 1) = \pm 3$,所以$x_1 = \frac{7}{4},x_2 = \frac{1}{4}$
D.解方程$(2x - 5)^2 = 49$,得$2x - 5 = \pm 7$,所以$x_1 = 6,x_2 = -1$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先根据平方根的性质：负数没有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，先判断方程等号右侧是否为非负数，再对等式正确开平方，注意开平方后要取正负两个值，最后计算出方程的解，逐个判断选项正误即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：方程$x^2=-3$，因为任意实数的平方均为非负数，等号右侧$-3＜0$，该方程无实数根，故A错误；
B选项：解方程$(x-2)^2=4$，开平方得$x-2=\pm2$，即$x-2=2$或$x-2=-2$，解得$x_1=4$，$x_2=0$，选项漏了负根的情况，故B错误；
C选项：解方程$4(x-1)^2=9$，先将二次项系数化为1得$(x-1)^2=\frac{9}{4}$，开平方得$x-1=\pm\frac{3}{2}$，解得$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$，选项开平方时未对系数4开方，计算错误，故C错误；
D选项：解方程$(2x-5)^2=49$，开平方得$2x-5=\pm7$，当$2x-5=7$时，解得$x=6$；当$2x-5=-7$时，解得$x=-1$，即$x_1=6$，$x_2=-1$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查直接开平方法解一元二次方程的常见易错点，解题时要注意：负数没有平方根，开平方时不要漏了负的平方根，同时要保证运算步骤正确。
【难度系数】
0.8
本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先根据平方根的性质：负数没有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，先判断方程等号右侧是否为非负数，再对等式正确开平方，注意开平方后要取正负两个值，最后计算出方程的解，逐个判断选项正误即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：方程$x^2=-3$，因为任意实数的平方均为非负数，等号右侧$-3＜0$，该方程无实数根，故A错误；
B选项：解方程$(x-2)^2=4$，开平方得$x-2=\pm2$，即$x-2=2$或$x-2=-2$，解得$x_1=4$，$x_2=0$，选项漏了负根的情况，故B错误；
C选项：解方程$4(x-1)^2=9$，先将二次项系数化为1得$(x-1)^2=\frac{9}{4}$，开平方得$x-1=\pm\frac{3}{2}$，解得$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$，选项开平方时未对系数4开方，计算错误，故C错误；
D选项：解方程$(2x-5)^2=49$，开平方得$2x-5=\pm7$，当$2x-5=7$时，解得$x=6$；当$2x-5=-7$时，解得$x=-1$，即$x_1=6$，$x_2=-1$，计算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查直接开平方法解一元二次方程的常见易错点，解题时要注意：负数没有平方根，开平方时不要漏了负的平方根，同时要保证运算步骤正确。
【难度系数】
0.8
3. 用直接开平方法解下列方程：
(1) $(x - 2)^2 - 3 = 0$；
(2) $(2x - 1)^2 = 25$；
(3) $3(x + 2)^2 = \frac{1}{3}$；
(4) $(3x - 1)^2 = (x + 1)^2$。
(1) $(x - 2)^2 - 3 = 0$；
(2) $(2x - 1)^2 = 25$；
(3) $3(x + 2)^2 = \frac{1}{3}$；
(4) $(3x - 1)^2 = (x + 1)^2$。
答案
(1) $x_1 = 2 + \sqrt{3},x_2 = 2 - \sqrt{3}$
(2) $x_1 = 3,x_2 = -2$
(3) $x_1 = -\frac{5}{3},x_2 = -\frac{7}{3}$
(4) $x_1 = 1,x_2 = 0$
(2) $x_1 = 3,x_2 = -2$
(3) $x_1 = -\frac{5}{3},x_2 = -\frac{7}{3}$
(4) $x_1 = 1,x_2 = 0$
解析
【分析】
直接开平方法适用于可变形为$(mx+n)^2=p$（$p≥0$）形式的一元二次方程，解题核心思路为：先将方程整理为上述标准形式，再对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个根，注意开平方时不要漏掉负根。
针对各小题：
(1)先将常数项移到等号右侧，得到标准形式再开平方求解；
(2)方程已经是标准形式，直接开平方求解即可；
(3)先将完全平方式的系数化为1，得到标准形式再开平方求解；
(4)等号两侧均为完全平方式，可直接开平方，得到$3x-1=\pm(x+1)$两种情况再分别求解。
【解析】
(1) 移项，得：$(x-2)^2=3$
两边同时开平方，得：$x-2=\pm\sqrt{3}$
即 $x-2=\sqrt{3}$ 或 $x-2=-\sqrt{3}$
解得：$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$
(2) 两边同时开平方，得：$2x-1=\pm5$
即 $2x-1=5$ 或 $2x-1=-5$
当$2x-1=5$时，$2x=6$，解得$x=3$
当$2x-1=-5$时，$2x=-4$，解得$x=-2$
故$x_1=3$，$x_2=-2$
(3) 两边同时除以3，得：$(x+2)^2=\frac{1}{9}$
两边同时开平方，得：$x+2=\pm\frac{1}{3}$
即 $x+2=\frac{1}{3}$ 或 $x+2=-\frac{1}{3}$
当$x+2=\frac{1}{3}$时，$x=\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}$
当$x+2=-\frac{1}{3}$时，$x=-\frac{1}{3}-2=-\frac{7}{3}$
故$x_1=-\frac{5}{3}$，$x_2=-\frac{7}{3}$
(4) 两边同时开平方，得：$3x-1=\pm(x+1)$
即 $3x-1=x+1$ 或 $3x-1=-(x+1)$
当$3x-1=x+1$时，$2x=2$，解得$x=1$
当$3x-1=-(x+1)$时，$3x-1=-x-1$，$4x=0$，解得$x=0$
故$x_1=1$，$x_2=0$
【答案】
(1) $x_1 = 2 + \sqrt{3},x_2 = 2 - \sqrt{3}$
(2) $x_1 = 3,x_2 = -2$
(3) $x_1 = -\frac{5}{3},x_2 = -\frac{7}{3}$
(4) $x_1 = 1,x_2 = 0$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质、一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题的关键是熟练掌握直接开平方法的步骤，开平方时要注意正、负两种情况都要考虑，避免漏解，计算过程中注意移项的符号变化即可。
【难度系数】
0.8
直接开平方法适用于可变形为$(mx+n)^2=p$（$p≥0$）形式的一元二次方程，解题核心思路为：先将方程整理为上述标准形式，再对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个根，注意开平方时不要漏掉负根。
针对各小题：
(1)先将常数项移到等号右侧，得到标准形式再开平方求解；
(2)方程已经是标准形式，直接开平方求解即可；
(3)先将完全平方式的系数化为1，得到标准形式再开平方求解；
(4)等号两侧均为完全平方式，可直接开平方，得到$3x-1=\pm(x+1)$两种情况再分别求解。
【解析】
(1) 移项，得：$(x-2)^2=3$
两边同时开平方，得：$x-2=\pm\sqrt{3}$
即 $x-2=\sqrt{3}$ 或 $x-2=-\sqrt{3}$
解得：$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$
(2) 两边同时开平方，得：$2x-1=\pm5$
即 $2x-1=5$ 或 $2x-1=-5$
当$2x-1=5$时，$2x=6$，解得$x=3$
当$2x-1=-5$时，$2x=-4$，解得$x=-2$
故$x_1=3$，$x_2=-2$
(3) 两边同时除以3，得：$(x+2)^2=\frac{1}{9}$
两边同时开平方，得：$x+2=\pm\frac{1}{3}$
即 $x+2=\frac{1}{3}$ 或 $x+2=-\frac{1}{3}$
当$x+2=\frac{1}{3}$时，$x=\frac{1}{3}-2=-\frac{5}{3}$
当$x+2=-\frac{1}{3}$时，$x=-\frac{1}{3}-2=-\frac{7}{3}$
故$x_1=-\frac{5}{3}$，$x_2=-\frac{7}{3}$
(4) 两边同时开平方，得：$3x-1=\pm(x+1)$
即 $3x-1=x+1$ 或 $3x-1=-(x+1)$
当$3x-1=x+1$时，$2x=2$，解得$x=1$
当$3x-1=-(x+1)$时，$3x-1=-x-1$，$4x=0$，解得$x=0$
故$x_1=1$，$x_2=0$
【答案】
(1) $x_1 = 2 + \sqrt{3},x_2 = 2 - \sqrt{3}$
(2) $x_1 = 3,x_2 = -2$
(3) $x_1 = -\frac{5}{3},x_2 = -\frac{7}{3}$
(4) $x_1 = 1,x_2 = 0$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质、一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查直接开平方法的应用，解题的关键是熟练掌握直接开平方法的步骤，开平方时要注意正、负两种情况都要考虑，避免漏解，计算过程中注意移项的符号变化即可。
【难度系数】
0.8
