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2. 小明在写作业时，一不小心将墨水洒在了作业本上，致使一元二次方程$3x^2 - $
$x -5 =0$的一次项系数被墨水盖住了，但从题目的已知条件中，他知道方程的一个解是$x=5$，请你帮助他求出被覆盖的数。
$x -5 =0$的一次项系数被墨水盖住了，但从题目的已知条件中，他知道方程的一个解是$x=5$，请你帮助他求出被覆盖的数。答案
2. 被覆盖的数为 14
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确一元二次方程的解（根）的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。本题中已知x=5是方程的解，我们可以先设被墨水覆盖的一次项系数为a，再将x=5代入原方程，即可得到一个关于a的一元一次方程，解这个方程就能求出a的值，也就是被覆盖的数。
【解析】
设被覆盖的一次项系数为$a$，则原方程为$3x^2 - ax - 5 = 0$。
因为$x=5$是该方程的一个解，将$x=5$代入方程得：
$\begin{aligned}3×5^2 - 5a -5&=0\\3×25 -5a -5&=0\\75 -5a -5&=0\\70 -5a&=0\\5a&=70\\a&=14\end{aligned}$
所以被覆盖的数是14。
【答案】
14
【知识点】
一元二次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是方程根的定义的基础应用题型，解题核心是将已知根代入方程转化为关于未知系数的方程求解，难度较低，掌握方程解的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先明确一元二次方程的解（根）的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。本题中已知x=5是方程的解，我们可以先设被墨水覆盖的一次项系数为a，再将x=5代入原方程，即可得到一个关于a的一元一次方程，解这个方程就能求出a的值，也就是被覆盖的数。
【解析】
设被覆盖的一次项系数为$a$，则原方程为$3x^2 - ax - 5 = 0$。
因为$x=5$是该方程的一个解，将$x=5$代入方程得：
$\begin{aligned}3×5^2 - 5a -5&=0\\3×25 -5a -5&=0\\75 -5a -5&=0\\70 -5a&=0\\5a&=70\\a&=14\end{aligned}$
所以被覆盖的数是14。
【答案】
14
【知识点】
一元二次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是方程根的定义的基础应用题型，解题核心是将已知根代入方程转化为关于未知系数的方程求解，难度较低，掌握方程解的定义即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3. 观察下表：
根据表中数据，你能得出方程$5x^2 -24x +28 =0$的解吗？如果能，写出方程的解；如果不能，请写出方程的解的取值范围。
根据表中数据，你能得出方程$5x^2 -24x +28 =0$的解吗？如果能，写出方程的解；如果不能，请写出方程的解的取值范围。
答案
3. 根据题表中数据,可以发现:当x=2时,5x² -24x +28=0,所以方程有一个解是x=2。又因为当x=2.5时,5x² -24x +28 = -0.75,当x=3时,5x² -24x +28 =1,所以一元二次方程5x² -24x +28 =0的另一个解的取值范围是2.5 ＜ x ＜ 3
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确一元二次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，对应本题就是使代数式$5x^2 -24x +28$的值为0的$x$的值。第一步先观察表格数据，找是否有$x$对应代数式值为0，可直接得到一个解；第二步，一元二次方程最多有两个实数解，且二次多项式的值随$x$的变化是连续的，当$x$增大时，如果代数式的值由负变为正（或由正变为负），中间必然存在一个$x$使得代数式值为0，据此可找到另一个解的取值范围。
【解析】
解：①观察表格中的数据，当$x=2$时，$5x^2 -24x +28 = 0$，根据一元二次方程解的定义，可得$x=2$是方程$5x^2 -24x +28 =0$的一个解。
②观察剩余数据：当$x=2.5$时，$5x^2 -24x +28 = -0.75 ＜ 0$；当$x=3$时，$5x^2 -24x +28 = 1 ＞ 0$。由于代数式的值随$x$的变化是连续的，因此在$2.5 ＜ x ＜ 3$的范围内，一定存在一个$x$的值使得$5x^2 -24x +28 =0$，即方程的另一个解在这个区间内。
【答案】
方程的一个解是$x=2$，另一个解的取值范围是$2.5 ＜ x ＜ 3$
【知识点】
1. 一元二次方程的解的定义 2. 估算一元二次方程的近似解
【点评】
本题结合表格数据考查一元二次方程解的相关知识，解题核心是理解方程的解与对应代数式值的关系，同时要掌握通过代数式的正负变化确定解的取值范围的方法，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.75
要解决这个问题，首先明确一元二次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，对应本题就是使代数式$5x^2 -24x +28$的值为0的$x$的值。第一步先观察表格数据，找是否有$x$对应代数式值为0，可直接得到一个解；第二步，一元二次方程最多有两个实数解，且二次多项式的值随$x$的变化是连续的，当$x$增大时，如果代数式的值由负变为正（或由正变为负），中间必然存在一个$x$使得代数式值为0，据此可找到另一个解的取值范围。
【解析】
解：①观察表格中的数据，当$x=2$时，$5x^2 -24x +28 = 0$，根据一元二次方程解的定义，可得$x=2$是方程$5x^2 -24x +28 =0$的一个解。
②观察剩余数据：当$x=2.5$时，$5x^2 -24x +28 = -0.75 ＜ 0$；当$x=3$时，$5x^2 -24x +28 = 1 ＞ 0$。由于代数式的值随$x$的变化是连续的，因此在$2.5 ＜ x ＜ 3$的范围内，一定存在一个$x$的值使得$5x^2 -24x +28 =0$，即方程的另一个解在这个区间内。
【答案】
方程的一个解是$x=2$，另一个解的取值范围是$2.5 ＜ x ＜ 3$
【知识点】
1. 一元二次方程的解的定义 2. 估算一元二次方程的近似解
【点评】
本题结合表格数据考查一元二次方程解的相关知识，解题核心是理解方程的解与对应代数式值的关系，同时要掌握通过代数式的正负变化确定解的取值范围的方法，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.75
4. 如图,某大学为丰富学生的业余生活,计划在一块长是80 m、宽是60 m 的长方形场地中央建一个小型足球场,小型足球场占地面积是3 500 m²,四周为宽度相等的人行走道。若设人行走道的宽是x m。
(1)请列出相应的方程。
(2)x的值可能小于0吗?请说明理由。
(3)x的值可能大于40吗?可能大于30吗?请说明理由。
(4)你知道人行走道的宽是多少吗?请说明你的求解过程。
(1)请列出相应的方程。
(2)x的值可能小于0吗?请说明理由。
(3)x的值可能大于40吗?可能大于30吗?请说明理由。
(4)你知道人行走道的宽是多少吗?请说明你的求解过程。
答案
(1) 由题意可知,小型足球场的长和宽分别是(80 - 2x) m , (60 - 2x) m ,则可列方程为(80 - 2x)(60 - 2x) = 3 500 ,整理,得x² -70x +325 =0
(2) x 的值不可能小于0。理由如下:因为人行走道的宽不可能为负数
(3) x 的值不可能大于40,也不可能大于30。理由如下:因为当x ＞ 30 时,60 - 2x ＜ 0 ,这不符合实际,当然x 更不可能大于40
(4) 人行走道的宽是5 m。求解过程如下：
| x | … | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $x^2 -70x +325$ | … | 256 | 189 | 124 | 61 | 0 | -59 | -116 | … |
显然,当x = 5 时,$x^2 -70x +325 =0$,故人行走道的宽是5 m
(2) x 的值不可能小于0。理由如下:因为人行走道的宽不可能为负数
(3) x 的值不可能大于40,也不可能大于30。理由如下:因为当x ＞ 30 时,60 - 2x ＜ 0 ,这不符合实际,当然x 更不可能大于40
(4) 人行走道的宽是5 m。求解过程如下：
| x | … | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $x^2 -70x +325$ | … | 256 | 189 | 124 | 61 | 0 | -59 | -116 | … |
显然,当x = 5 时,$x^2 -70x +325 =0$,故人行走道的宽是5 m
解析
【分析】
这是一元二次方程在几何面积问题中的实际应用题，解题思路如下：1. 第一问先确定中央足球场的长和宽：因为四周人行道宽度都为x，所以足球场的长、宽需要在原场地长、宽的基础上分别减去2x，再结合足球场面积的已知条件列出方程整理即可；2. 第二、三问从实际意义出发分析：人行道宽度、足球场的长宽都不能为负数，据此判断x的取值范围；3. 第四问求解第一问得到的一元二次方程，再结合x的实际取值范围筛选出符合要求的解即可。
【解析】
(1) 由题意得，小型足球场的长为$(80-2x)\mathrm{m}$，宽为$(60-2x)\mathrm{m}$，根据长方形面积公式可得方程：
$\begin{aligned}(80-2x)(60-2x)&=3500\\4800-280x+4x^2&=3500\\x^2-70x+325&=0\end{aligned}$
(2) $x$的值不可能小于0。理由：$x$代表人行走道的宽度，是具有实际意义的量，宽度不可能为负数。
(3) $x$的值不可能大于40，也不可能大于30。理由：足球场的宽为$(60-2x)\mathrm{m}$，宽度必须大于0，即$60-2x＞0$，解得$x＜30$，因此$x$不可能大于30，自然也不可能大于40，否则足球场宽度为负数，不符合实际。
(4) 求解方程$x^2-70x+325=0$：
方法一（试值法）：代入$x$的正整数验证，可得：
| $x$ | … | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $x^2 -70x +325$ | … | 256 | 189 | 124 | 61 | 0 | -59 | -116 | … |
当$x=5$时，代数式的值为0，满足方程；另一个解$x=65$不符合$x＜30$的实际要求，舍去。
方法二（求根公式法）：由求根公式得$x=\frac{70\pm\sqrt{70^2-4×1×325}}{2}=\frac{70\pm60}{2}$，解得$x_1=5$，$x_2=65$，$x=65$不符合实际，舍去。
因此人行走道的宽为$5\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $(80 - 2x)(60 - 2x) = 3500$，整理得$x^2 -70x +325 =0$
(2) $x$的值不可能小于0，理由：人行走道的宽不可能为负数
(3) $x$的值不可能大于40，也不可能大于30。理由：当$x ＞ 30$ 时，$60 - 2x ＜ 0$ ，不符合实际，故$x$更不可能大于40
(4) 人行走道的宽是$5\mathrm{m}$，求解过程见上述解析
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的求解、实际问题的根检验
【点评】
本题结合生活场景考查面积类一元二次方程的应用，解题关键是找准等量关系正确列方程，同时要注意结合实际情况对所得的根进行取舍，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
这是一元二次方程在几何面积问题中的实际应用题，解题思路如下：1. 第一问先确定中央足球场的长和宽：因为四周人行道宽度都为x，所以足球场的长、宽需要在原场地长、宽的基础上分别减去2x，再结合足球场面积的已知条件列出方程整理即可；2. 第二、三问从实际意义出发分析：人行道宽度、足球场的长宽都不能为负数，据此判断x的取值范围；3. 第四问求解第一问得到的一元二次方程，再结合x的实际取值范围筛选出符合要求的解即可。
【解析】
(1) 由题意得，小型足球场的长为$(80-2x)\mathrm{m}$，宽为$(60-2x)\mathrm{m}$，根据长方形面积公式可得方程：
$\begin{aligned}(80-2x)(60-2x)&=3500\\4800-280x+4x^2&=3500\\x^2-70x+325&=0\end{aligned}$
(2) $x$的值不可能小于0。理由：$x$代表人行走道的宽度，是具有实际意义的量，宽度不可能为负数。
(3) $x$的值不可能大于40，也不可能大于30。理由：足球场的宽为$(60-2x)\mathrm{m}$，宽度必须大于0，即$60-2x＞0$，解得$x＜30$，因此$x$不可能大于30，自然也不可能大于40，否则足球场宽度为负数，不符合实际。
(4) 求解方程$x^2-70x+325=0$：
方法一（试值法）：代入$x$的正整数验证，可得：
| $x$ | … | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | … |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $x^2 -70x +325$ | … | 256 | 189 | 124 | 61 | 0 | -59 | -116 | … |
当$x=5$时，代数式的值为0，满足方程；另一个解$x=65$不符合$x＜30$的实际要求，舍去。
方法二（求根公式法）：由求根公式得$x=\frac{70\pm\sqrt{70^2-4×1×325}}{2}=\frac{70\pm60}{2}$，解得$x_1=5$，$x_2=65$，$x=65$不符合实际，舍去。
因此人行走道的宽为$5\mathrm{m}$。
【答案】
(1) $(80 - 2x)(60 - 2x) = 3500$，整理得$x^2 -70x +325 =0$
(2) $x$的值不可能小于0，理由：人行走道的宽不可能为负数
(3) $x$的值不可能大于40，也不可能大于30。理由：当$x ＞ 30$ 时，$60 - 2x ＜ 0$ ，不符合实际，故$x$更不可能大于40
(4) 人行走道的宽是$5\mathrm{m}$，求解过程见上述解析
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的求解、实际问题的根检验
【点评】
本题结合生活场景考查面积类一元二次方程的应用，解题关键是找准等量关系正确列方程，同时要注意结合实际情况对所得的根进行取舍，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
