4. 把方程$x^2 +8x +3=0$化成$(x+m)^2 =n$的形式，$m,n$的值分别是()。

A.4,13
B.-4,13
C.-4,19
D.4,19

4. A

【分析】
本题考查用配方法将一元二次方程转化为指定形式的方法。解题思路如下：首先明确配方法的核心步骤，先将方程中的常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，最后对照$(x+m)^2 =n$的形式即可求出$m$、$n$的值。
【解析】
解：对原方程$x^2 +8x +3=0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 +8x = -3$
2. 一次项系数为8，其一半的平方为$(\frac{8}{2})^2=16$，给等式两边同时加16：
$x^2 +8x +16 = -3 +16$
3. 左侧根据完全平方公式写成平方形式，右侧计算结果：
$(x+4)^2 =13$
将所得式子与$(x+m)^2 =n$对比，可得$m=4$，$n=13$。
【答案】
A
【知识点】
配方法；完全平方公式；一元二次方程变形
【点评】
本题属于配方法的基础考查题型，解题关键是熟练掌握配方法的操作步骤，牢记配方时需添加的是一次项系数一半的平方，是方程变形类的常考基础题。
【难度系数】
0.85

5. 用配方法解方程$x^2 + \frac{2}{3}x + 1 = 0$，正确的是()。

A.$(x + \frac{1}{3})^2 = \frac{8}{9}, x = -\frac{1}{3} \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$
B.$(x + \frac{1}{3})^2 = -\frac{8}{9}, 原方程无解$
C.$(x + \frac{2}{3})^2 = \frac{5}{9}, x = -\frac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$
D.$(x + \frac{2}{3})^2 = -\frac{5}{9}, 原方程无解$

5. B

【分析】
本题考查配方法解一元二次方程，解题思路如下：首先回忆配方法的步骤：第一步先移项，将常数项移到等号右侧；第二步配方，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边化为完全平方式；第三步计算等号右侧的结果，根据平方的非负性判断方程是否有实数根，最后匹配选项即可。
【解析】
解：用配方法解方程$x^2 + \frac{2}{3}x + 1 = 0$，步骤如下：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 + \frac{2}{3}x = -1$；
2. 配方：一次项系数为$\frac{2}{3}$，其一半为$\frac{1}{3}$，平方为$\frac{1}{9}$，给等号两边同时加$\frac{1}{9}$，得：
$x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = -1 + \frac{1}{9}$
左边整理为完全平方式：$(x + \frac{1}{3})^2 = -\frac{8}{9}$；
3. 根的判断：由于任意实数的平方都是非负数，因此等号左侧$(x + \frac{1}{3})^2 ≥ 0$，而右侧$-\frac{8}{9} ＜ 0$，等式不成立，故原方程无解。
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解方程，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题属于配方法解方程的基础题型，核心是掌握配方的操作步骤，同时要注意配方后若等号右侧为负数，方程没有实数根，是一元二次方程中的常考基础考点。
【难度系数】
0.7

6. 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 - 2x - 5 = 0$；
(2)$x^2 + 4x - 1 = 0$。

(1) $x_1 = 1 + \sqrt{6},x_2 = 1 - \sqrt{6}$
(2) $x_1 = -2 + \sqrt{5},x_2 = -2 - \sqrt{5}$

【分析】
本题考查用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，解题思路按照配方法的标准步骤展开：①移项：将方程中的常数项移到等号右侧，只保留含未知数的项在左侧；②配方：给等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式；③开平方：把完全平方式开平方，转化为两个一元一次方程；④求解两个一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - 2x - 5 = 0$
移项，得：$x^2 - 2x = 5$
配方，一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = 5 + 1$
整理为完全平方式：$(x - 1)^2 = 6$
开平方，得：$x - 1 = \pm\sqrt{6}$
解得：$x_1 = 1 + \sqrt{6}$，$x_2 = 1 - \sqrt{6}$
(2) 解方程$x^2 + 4x - 1 = 0$
移项，得：$x^2 + 4x = 1$
配方，一次项系数为$4$，其一半的平方为$2^2=4$，两边同时加4，得：
$x^2 + 4x + 4 = 1 + 4$
整理为完全平方式：$(x + 2)^2 = 5$
开平方，得：$x + 2 = \pm\sqrt{5}$
解得：$x_1 = -2 + \sqrt{5}$，$x_2 = -2 - \sqrt{5}$
【答案】
(1) $x_1 = 1 + \sqrt{6},x_2 = 1 - \sqrt{6}$
(2) $x_1 = -2 + \sqrt{5},x_2 = -2 - \sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，重点考查配方法的标准操作步骤，解题时需注意移项要变号，配方时等式两边要同时加同一个数，避免出现漏加右侧常数的错误。
【难度系数】
0.8

1. 规定:$a★b=(a+b)b$,如$2★3=(2+3)×3=15$。若$2★x=3$,则$x=$。

1. 1或-3

【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是先准确理解题目给出的新运算规则“$a★b=(a+b)b$”，将新运算转化为熟悉的常规代数运算。首先把$a$替换成2、$b$替换成$x$，列出关于$x$的方程，再整理为一元二次方程的标准形式，最后求解一元二次方程即可得到$x$的值。
【解析】
根据新定义的运算规则，$2★x=(2+x)x$，已知$2★x=3$，因此可列方程：
$(2+x)x = 3$
展开并移项整理得：
$x^2 + 2x - 3 = 0$
对左侧因式分解得：
$(x + 3)(x - 1) = 0$
因此$x+3=0$或$x-1=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-3$。
【答案】
1或-3
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是正确理解新运算的规则，将陌生的新运算转化为已学的代数方程求解，求解一元二次方程时注意不要漏根。
【难度系数】
0.7

2. 若$a$为方程$(x - \sqrt{13})^2 = 16$的正根，$b$为方程$y^2 - 2y - 12 = 0$的负根，求$a + b$的值。

∵ 方程$(x - \sqrt{13})^2 = 16$ 的解为 $x = \sqrt{13} \pm 4$, 且$\sqrt{13} + 4 ＞0, \sqrt{13} - 4 ＜ 0, \therefore a = \sqrt{13} + 4$。方程$y^2 - 2y - 12 = 0$, 配方, 得$(y - 1)^2 = 13$。解得 $y = 1 \pm\sqrt{13},且 1 + \sqrt{13} ＞0,1 - \sqrt{13} ＜0, \therefore b = 1 - \sqrt{13}$。$\therefore a + b= \sqrt{13} +4 +1 - \sqrt{13} =5$

【分析】
要计算$a+b$的值，需先分别求出$a$、$b$的取值。①求$a$：方程$(x - \sqrt{13})^2 = 16$符合“平方等于非负常数”的形式，可直接用开平方法求解，得到两个根后，结合$a$是正根的要求，根据$\sqrt{13}$介于3和4之间的大小特征判断根的正负，即可确定$a$的值；②求$b$：方程$y^2 - 2y - 12 = 0$可用配方法求解，得到两个根后，结合$b$是负根的要求筛选出$b$的值；③最后将$a$、$b$代入$a+b$，合并化简即可得到结果。
【解析】
1. 求解$a$的值：
对方程$(x - \sqrt{13})^2 = 16$直接开平方，得$x - \sqrt{13} = \pm 4$，
解得$x = \sqrt{13} \pm 4$。
因为$\sqrt{13} \approx 3.6$，所以$\sqrt{13} + 4 ＞ 0$，$\sqrt{13} - 4 ＜ 0$，
结合$a$是方程的正根，得$a = \sqrt{13} + 4$。
2. 求解$b$的值：
对方程$y^2 - 2y - 12 = 0$配方，移项得$y^2 - 2y = 12$，
两边加1得$y^2 - 2y + 1 = 13$，即$(y - 1)^2 = 13$，
开平方得$y - 1 = \pm \sqrt{13}$，解得$y = 1 \pm \sqrt{13}$。
因为$1 + \sqrt{13} ＞ 0$，$1 - \sqrt{13} ＜ 0$，结合$b$是方程的负根，得$b = 1 - \sqrt{13}$。
3. 计算$a+b$：
$a + b = (\sqrt{13} + 4) + (1 - \sqrt{13}) = \sqrt{13} + 4 + 1 - \sqrt{13} = 5$。
【答案】
5
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；无理数大小判断
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程的解法以及根据限定条件筛选对应根的能力，解题的关键是准确判断无理数的正负，计算过程中互为相反数的二次根式可直接抵消，整体计算量较小，细心答题即可得分。
【难度系数】
0.7

3. 经过两年的时间,某城市的绿地面积从 $1.44 × 10^6 \, \mathrm{m}^2$ 提高到 $2.25 × 10^6 \, \mathrm{m}^2$,求该城市绿地面积平均每年的增长率。

3. 设该城市绿地面积平均每年的增长率为 $x$, 则$1. 44 × 10^6 × (1 + x)^2 = 2. 25 × 10^6$, 解得 $x_1 = \frac{1}{4} =25\%$ ,$x_2 = -\frac{9}{4}$(舍去)。因此, 该城市绿地面积平均每年的增长率为 25%

【分析】
这是一道平均增长率类的实际应用题，解题核心是掌握增长率问题的等量关系：最终量=初始量×(1+年平均增长率)^增长年数。首先设年平均增长率为未知数x，再提取题中初始绿地面积、增长时长、最终绿地面积的已知条件，代入等量关系列出一元二次方程；解方程时可先约掉两边相同的$10^6$项简化计算，得到两个根后，结合增长率不能为负的实际意义舍去不符合要求的根，最后将符合要求的根转化为百分数即可。
【解析】
解：设该城市绿地面积平均每年的增长率为$x$，根据题意列方程：
$1.44× 10^6×(1+x)^2 = 2.25× 10^6$
两边同时除以$10^6$化简得：
$1.44(1+x)^2=2.25$
两边同时除以1.44得：
$(1+x)^2=\frac{2.25}{1.44}=\frac{225}{144}$
开平方得：
$1+x=\pm\frac{15}{12}=\pm\frac{5}{4}$
当$1+x=\frac{5}{4}$时，解得$x=\frac{1}{4}=25\%$；
当$1+x=-\frac{5}{4}$时，解得$x=-\frac{9}{4}$，增长率不能为负，不符合实际意义，故舍去。
【答案】
25%
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率问题，一元二次方程的求解
【点评】
本题是典型的增长率类应用题，解题关键是牢记增长率的等量关系，同时要注意求解后结合实际意义检验根的合理性，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.8