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1. 下列四个式子与多项式$3x^2 -2x$相等的是（$\quad$）。
A.$3(x-\dfrac{1}{3})^2 + \dfrac{1}{3}$
B.$3(x-\dfrac{1}{3})^2 - \dfrac{1}{3}$
C.$3(x-\dfrac{1}{3})^2 + \dfrac{1}{9}$
D.$3(x-\dfrac{1}{3})^2 - \dfrac{1}{9}$
A.$3(x-\dfrac{1}{3})^2 + \dfrac{1}{3}$
B.$3(x-\dfrac{1}{3})^2 - \dfrac{1}{3}$
C.$3(x-\dfrac{1}{3})^2 + \dfrac{1}{9}$
D.$3(x-\dfrac{1}{3})^2 - \dfrac{1}{9}$
答案
B
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一是运用配方法将多项式$3x^2 -2x$变形为含完全平方的形式，再和选项对比；思路二是将各选项的完全平方式展开化简，和原式$3x^2 -2x$对比，看是否相等。配方法的核心是先提取二次项系数，再在括号内加上并减去一次项系数一半的平方，保证式子的值不变，进而整理出完全平方式。
【解析】
方法一：用配方法变形原式
$\begin{aligned}3x^2 -2x&=3(x^2 - \frac{2}{3}x)\\&=3[(x^2 - \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2) - (\frac{1}{3})^2]\\&=3[(x-\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}]\\&=3(x-\frac{1}{3})^2 - 3×\frac{1}{9}\\&=3(x-\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3}\end{aligned}$
方法二：展开选项验证
对选项B展开化简：
$\begin{aligned}3(x-\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3}&=3(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}) - \frac{1}{3}\\&=3x^2 -2x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\\&=3x^2 -2x\end{aligned}$
和原式相等，故B正确。
【答案】
B
【知识点】
配方法、完全平方公式、整式化简
【点评】
本题是基础运算类题目，既可以通过正向配方法变形原式求解，也可以通过反向展开选项验证得到答案，熟练掌握配方法的步骤和完全平方公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路一是运用配方法将多项式$3x^2 -2x$变形为含完全平方的形式，再和选项对比；思路二是将各选项的完全平方式展开化简，和原式$3x^2 -2x$对比，看是否相等。配方法的核心是先提取二次项系数，再在括号内加上并减去一次项系数一半的平方，保证式子的值不变，进而整理出完全平方式。
【解析】
方法一：用配方法变形原式
$\begin{aligned}3x^2 -2x&=3(x^2 - \frac{2}{3}x)\\&=3[(x^2 - \frac{2}{3}x + (\frac{1}{3})^2) - (\frac{1}{3})^2]\\&=3[(x-\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}]\\&=3(x-\frac{1}{3})^2 - 3×\frac{1}{9}\\&=3(x-\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3}\end{aligned}$
方法二：展开选项验证
对选项B展开化简：
$\begin{aligned}3(x-\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3}&=3(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}) - \frac{1}{3}\\&=3x^2 -2x + \frac{1}{3} - \frac{1}{3}\\&=3x^2 -2x\end{aligned}$
和原式相等，故B正确。
【答案】
B
【知识点】
配方法、完全平方公式、整式化简
【点评】
本题是基础运算类题目，既可以通过正向配方法变形原式求解，也可以通过反向展开选项验证得到答案，熟练掌握配方法的步骤和完全平方公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 把方程$-2x^2 -4x +1=0$化为$(x+m)^2 +n=0$的形式，正确的是(
A.$-(x+1)^2 -1=0$
B.$(x-1)^2 -3=0$
C.$(x+1)^2 -\frac{3}{2}=0$
D.$(2x+1)^2 -\frac{3}{2}=0$
C
)。A.$-(x+1)^2 -1=0$
B.$(x-1)^2 -3=0$
C.$(x+1)^2 -\frac{3}{2}=0$
D.$(2x+1)^2 -\frac{3}{2}=0$
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查利用配方法将一元二次方程的一般式转化为指定形式，解题思路如下：第一步先将原方程的二次项系数化为1，第二步将常数项移到等号右侧，第三步给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方的形式，最后整理为题目要求的$(x+m)^2 +n=0$的形式，对比选项即可得出答案。
【解析】
解：对原方程$-2x^2 -4x +1=0$进行变形：
1. 方程两边同时除以$-2$，将二次项系数化为1，得：
$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$
2. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 + 2x = \frac{1}{2}$
3. 配方，一次项系数为2，其一半的平方为$1^2=1$，给等式两边同时加1，得：
$x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1$
4. 左侧整理为完全平方形式，右侧合并常数项，得：
$(x+1)^2 = \frac{3}{2}$
5. 移项得到$(x+m)^2 +n=0$的形式：
$(x+1)^2 - \frac{3}{2} = 0$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法、等式的基本性质、一元二次方程变形
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的核心，解题时需注意配方时要给等式两边同时加相同的数，保证等式成立，同时注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.7
本题考查利用配方法将一元二次方程的一般式转化为指定形式，解题思路如下：第一步先将原方程的二次项系数化为1，第二步将常数项移到等号右侧，第三步给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方的形式，最后整理为题目要求的$(x+m)^2 +n=0$的形式，对比选项即可得出答案。
【解析】
解：对原方程$-2x^2 -4x +1=0$进行变形：
1. 方程两边同时除以$-2$，将二次项系数化为1，得：
$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$
2. 移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 + 2x = \frac{1}{2}$
3. 配方，一次项系数为2，其一半的平方为$1^2=1$，给等式两边同时加1，得：
$x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{2} + 1$
4. 左侧整理为完全平方形式，右侧合并常数项，得：
$(x+1)^2 = \frac{3}{2}$
5. 移项得到$(x+m)^2 +n=0$的形式：
$(x+1)^2 - \frac{3}{2} = 0$
对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法、等式的基本性质、一元二次方程变形
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的核心，解题时需注意配方时要给等式两边同时加相同的数，保证等式成立，同时注意符号运算不要出错。
【难度系数】
0.7
3. 用配方法解下列方程时,配方有错误的是(
A.$x^2 - 2x - 99 = 0$ 化为 $(x - 1)^2 = 100$
B.$2x^2 - 7x - 4 = 0$ 化为 $(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{81}{16}$
C.$x^2 + 8x + 9 = 0$ 化为 $(x + 4)^2 = 7$
D.$3x^2 + 8x - 3 = 0$ 化为 $3(x + \frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9}$
D
)。A.$x^2 - 2x - 99 = 0$ 化为 $(x - 1)^2 = 100$
B.$2x^2 - 7x - 4 = 0$ 化为 $(x - \frac{7}{4})^2 = \frac{81}{16}$
C.$x^2 + 8x + 9 = 0$ 化为 $(x + 4)^2 = 7$
D.$3x^2 + 8x - 3 = 0$ 化为 $3(x + \frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9}$
答案
3. D
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的正误判断，解题思路是逐一验证每个选项的配方过程是否符合配方法的标准步骤：配方法的核心是将方程左边转化为完全平方式，步骤为：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1，或先提取二次项系数；②将常数项移到等号右侧；③左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，再计算右侧结果，对比选项判断对错即可。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A选项：$x^2 - 2x - 99 = 0$，移项得$x^2 -2x=99$，两边加一次项系数一半的平方$(\frac{-2}{2})^2=1$，得$x^2-2x+1=100$，即$(x-1)^2=100$，配方正确，不符合题意。
B选项：$2x^2 -7x -4=0$，先将二次项系数化为1，得$x^2 - \frac{7}{2}x -2=0$，移项得$x^2 - \frac{7}{2}x=2$，两边加$(\frac{-7/2}{2})^2=(\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$，得$x^2-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$，即$(x-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$，配方正确，不符合题意。
C选项：$x^2 +8x +9=0$，移项得$x^2 +8x=-9$，两边加$(\frac{8}{2})^2=16$，得$x^2+8x+16=-9+16=7$，即$(x+4)^2=7$，配方正确，不符合题意。
D选项：$3x^2 +8x -3=0$，移项得$3x^2 +8x=3$，提取二次项系数3得$3(x^2+\frac{8}{3}x)=3$，括号内配方需加$(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，左边整体需加$3×\frac{16}{9}=\frac{16}{3}$，右边同步加$\frac{16}{3}$后得$3(x+\frac{4}{3})^2=3+\frac{16}{3}=\frac{25}{3}$，与选项中$\frac{25}{9}$不符，配方错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题的关键是牢记配方法的步骤，尤其要注意二次项系数不为1时，不要漏乘系数导致计算错误，熟练掌握配方法是后续学习二次函数、一元二次方程求根公式等知识的基础。
【难度系数】
0.7
本题考查配方法解一元二次方程的正误判断，解题思路是逐一验证每个选项的配方过程是否符合配方法的标准步骤：配方法的核心是将方程左边转化为完全平方式，步骤为：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1，或先提取二次项系数；②将常数项移到等号右侧；③左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，再计算右侧结果，对比选项判断对错即可。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A选项：$x^2 - 2x - 99 = 0$，移项得$x^2 -2x=99$，两边加一次项系数一半的平方$(\frac{-2}{2})^2=1$，得$x^2-2x+1=100$，即$(x-1)^2=100$，配方正确，不符合题意。
B选项：$2x^2 -7x -4=0$，先将二次项系数化为1，得$x^2 - \frac{7}{2}x -2=0$，移项得$x^2 - \frac{7}{2}x=2$，两边加$(\frac{-7/2}{2})^2=(\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$，得$x^2-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$，即$(x-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$，配方正确，不符合题意。
C选项：$x^2 +8x +9=0$，移项得$x^2 +8x=-9$，两边加$(\frac{8}{2})^2=16$，得$x^2+8x+16=-9+16=7$，即$(x+4)^2=7$，配方正确，不符合题意。
D选项：$3x^2 +8x -3=0$，移项得$3x^2 +8x=3$，提取二次项系数3得$3(x^2+\frac{8}{3}x)=3$，括号内配方需加$(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，左边整体需加$3×\frac{16}{9}=\frac{16}{3}$，右边同步加$\frac{16}{3}$后得$3(x+\frac{4}{3})^2=3+\frac{16}{3}=\frac{25}{3}$，与选项中$\frac{25}{9}$不符，配方错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，等式的性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题的关键是牢记配方法的步骤，尤其要注意二次项系数不为1时，不要漏乘系数导致计算错误，熟练掌握配方法是后续学习二次函数、一元二次方程求根公式等知识的基础。
【难度系数】
0.7
4. 小明解方程$6x^2 - x - 1 = 0$的简要步骤如下。
解:$6x^2 - x - 1 = 0 \xrightarrow[\mathrm{第一步}]{\mathrm{两边都除以6}} x^2 - \frac{1}{6}x - \frac{1}{6} = 0 \xrightarrow[\mathrm{第二步}]{\mathrm{移项}} x^2 - \frac{1}{6}x = \frac{1}{6} \xrightarrow[\mathrm{第三步}]{\mathrm{配方}} (x - \frac{1}{3})^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} \xrightarrow[\mathrm{第四步}]{\mathrm{两边开平方}} x - \frac{1}{3} = \pm \sqrt{\frac{5}{18}} \xrightarrow[\mathrm{第五步}]{\mathrm{移项}} x_1 = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{10}}{6}, x_2 = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{10}}{6}$。
上述步骤,第一次发生错误是在(
A.第一步
B.第二步
C.第三步
D.第四步
解:$6x^2 - x - 1 = 0 \xrightarrow[\mathrm{第一步}]{\mathrm{两边都除以6}} x^2 - \frac{1}{6}x - \frac{1}{6} = 0 \xrightarrow[\mathrm{第二步}]{\mathrm{移项}} x^2 - \frac{1}{6}x = \frac{1}{6} \xrightarrow[\mathrm{第三步}]{\mathrm{配方}} (x - \frac{1}{3})^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} \xrightarrow[\mathrm{第四步}]{\mathrm{两边开平方}} x - \frac{1}{3} = \pm \sqrt{\frac{5}{18}} \xrightarrow[\mathrm{第五步}]{\mathrm{移项}} x_1 = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{10}}{6}, x_2 = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{10}}{6}$。
上述步骤,第一次发生错误是在(
C
)。A.第一步
B.第二步
C.第三步
D.第四步
答案
4. C
解析
【分析】
本题考查配方法解一元二次方程的步骤正误判断，解题时需按照配方法的运算规则逐步骤核对过程：首先配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，先将二次项系数化为1，再移项把常数项移到等号右侧，接着在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再进行后续计算。我们依次核对小明的每一步运算即可找到首次出错的步骤。
【解析】
我们逐步骤验证运算正确性：
1. 第一步：方程两边同时除以6，将二次项系数化为1，得到$x^2 - \frac{1}{6}x - \frac{1}{6} = 0$，运算正确，排除A选项；
2. 第二步：移项，将常数项移到等号右侧，变号后得$x^2 - \frac{1}{6}x = \frac{1}{6}$，运算正确，排除B选项；
3. 第三步：配方，根据规则需在方程两边同时加一次项系数一半的平方，本题一次项系数为$-\frac{1}{6}$，它的一半为$-\frac{1}{12}$，平方为$(\frac{1}{12})^2=\frac{1}{144}$，因此配方后应为$(x-\frac{1}{12})^2=\frac{1}{6}+\frac{1}{144}$，但小明错误计算了一次项系数的一半，错写成$(x-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}$，本步运算错误，是首次出错的步骤。
后续步骤是基于第三步错误结果的运算，因此首次错误出现在第三步。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题重点考查配方法解方程的核心步骤细节，易错点是配方时对一次项系数一半的计算失误，解题时只要严格按照配方法的运算规则逐步骤核查，就能快速找到错误步骤。
【难度系数】
0.7
本题考查配方法解一元二次方程的步骤正误判断，解题时需按照配方法的运算规则逐步骤核对过程：首先配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，先将二次项系数化为1，再移项把常数项移到等号右侧，接着在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再进行后续计算。我们依次核对小明的每一步运算即可找到首次出错的步骤。
【解析】
我们逐步骤验证运算正确性：
1. 第一步：方程两边同时除以6，将二次项系数化为1，得到$x^2 - \frac{1}{6}x - \frac{1}{6} = 0$，运算正确，排除A选项；
2. 第二步：移项，将常数项移到等号右侧，变号后得$x^2 - \frac{1}{6}x = \frac{1}{6}$，运算正确，排除B选项；
3. 第三步：配方，根据规则需在方程两边同时加一次项系数一半的平方，本题一次项系数为$-\frac{1}{6}$，它的一半为$-\frac{1}{12}$，平方为$(\frac{1}{12})^2=\frac{1}{144}$，因此配方后应为$(x-\frac{1}{12})^2=\frac{1}{6}+\frac{1}{144}$，但小明错误计算了一次项系数的一半，错写成$(x-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}$，本步运算错误，是首次出错的步骤。
后续步骤是基于第三步错误结果的运算，因此首次错误出现在第三步。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题重点考查配方法解方程的核心步骤细节，易错点是配方时对一次项系数一半的计算失误，解题时只要严格按照配方法的运算规则逐步骤核查，就能快速找到错误步骤。
【难度系数】
0.7
5. 用配方法解下列方程:
(1)$2y^2 + y - 4 = 0$;
(2)$2x^2 - 4\sqrt{2}x - 8 = 0$。
(1)$2y^2 + y - 4 = 0$;
(2)$2x^2 - 4\sqrt{2}x - 8 = 0$。
答案
(1) $y_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{33}}{4}, y_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{33}}{4}$
(2) $x_1 = \sqrt{2} + \sqrt{6}, x_2 = \sqrt{2} - \sqrt{6}$
(2) $x_1 = \sqrt{2} + \sqrt{6}, x_2 = \sqrt{2} - \sqrt{6}$
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为完全平方式的形式，再通过开平方求解。解题步骤统一为：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；④开平方求解。
对于(1)题，先给方程两边除以2消去二次项系数2，再按配方法步骤逐步计算即可；对于(2)题，同样先将二次项系数化为1，再结合根式的运算规则完成配方、求解。
【解析】
(1) 解方程 $2y^2 + y - 4 = 0$：
第一步，二次项系数化为1，两边同时除以2得：
$y^2 + \dfrac{1}{2}y - 2 = 0$
第二步，移项，将常数项移到等号右侧：
$y^2 + \dfrac{1}{2}y = 2$
第三步，配方，两边同时加上一次项系数一半的平方 $(\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{1}{16}$：
$y^2 + \dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{16} = 2 + \dfrac{1}{16}$
左边整理为完全平方式：
$(y + \dfrac{1}{4})^2 = \dfrac{33}{16}$
第四步，开平方：
$y + \dfrac{1}{4} = \pm \dfrac{\sqrt{33}}{4}$
移项得解：
$y_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{33}}{4}, y_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{33}}{4}$
(2) 解方程 $2x^2 - 4\sqrt{2}x - 8 = 0$：
第一步，二次项系数化为1，两边同时除以2得：
$x^2 - 2\sqrt{2}x - 4 = 0$
第二步，移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2\sqrt{2}x = 4$
第三步，配方，两边同时加上一次项系数一半的平方 $(\sqrt{2})^2=2$：
$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 4 + 2$
左边整理为完全平方式：
$(x - \sqrt{2})^2 = 6$
第四步，开平方：
$x - \sqrt{2} = \pm \sqrt{6}$
移项得解：
$x_1 = \sqrt{2} + \sqrt{6}, x_2 = \sqrt{2} - \sqrt{6}$
【答案】
(1) $y_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{33}}{4}, y_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{33}}{4}$
(2) $x_1 = \sqrt{2} + \sqrt{6}, x_2 = \sqrt{2} - \sqrt{6}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础练习题，重点考查配方法的标准步骤，解题时要注意二次项系数化1时不要漏除常数项，配方时等号两边要同时加相同的数，涉及根式运算时要注意计算准确性。
【难度系数】
0.7
配方法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为完全平方式的形式，再通过开平方求解。解题步骤统一为：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧；③配方，等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；④开平方求解。
对于(1)题，先给方程两边除以2消去二次项系数2，再按配方法步骤逐步计算即可；对于(2)题，同样先将二次项系数化为1，再结合根式的运算规则完成配方、求解。
【解析】
(1) 解方程 $2y^2 + y - 4 = 0$：
第一步，二次项系数化为1，两边同时除以2得：
$y^2 + \dfrac{1}{2}y - 2 = 0$
第二步，移项，将常数项移到等号右侧：
$y^2 + \dfrac{1}{2}y = 2$
第三步，配方，两边同时加上一次项系数一半的平方 $(\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{1}{16}$：
$y^2 + \dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{16} = 2 + \dfrac{1}{16}$
左边整理为完全平方式：
$(y + \dfrac{1}{4})^2 = \dfrac{33}{16}$
第四步，开平方：
$y + \dfrac{1}{4} = \pm \dfrac{\sqrt{33}}{4}$
移项得解：
$y_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{33}}{4}, y_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{33}}{4}$
(2) 解方程 $2x^2 - 4\sqrt{2}x - 8 = 0$：
第一步，二次项系数化为1，两边同时除以2得：
$x^2 - 2\sqrt{2}x - 4 = 0$
第二步，移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2\sqrt{2}x = 4$
第三步，配方，两边同时加上一次项系数一半的平方 $(\sqrt{2})^2=2$：
$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 4 + 2$
左边整理为完全平方式：
$(x - \sqrt{2})^2 = 6$
第四步，开平方：
$x - \sqrt{2} = \pm \sqrt{6}$
移项得解：
$x_1 = \sqrt{2} + \sqrt{6}, x_2 = \sqrt{2} - \sqrt{6}$
【答案】
(1) $y_1 = \dfrac{-1 + \sqrt{33}}{4}, y_2 = \dfrac{-1 - \sqrt{33}}{4}$
(2) $x_1 = \sqrt{2} + \sqrt{6}, x_2 = \sqrt{2} - \sqrt{6}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础练习题，重点考查配方法的标准步骤，解题时要注意二次项系数化1时不要漏除常数项，配方时等号两边要同时加相同的数，涉及根式运算时要注意计算准确性。
【难度系数】
0.7
6. 一张桌子的桌面是长6 dm、宽4 dm 的长方形，一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边下垂的长度相同，求台布的长和宽。
答案
设台布各边下垂的长度为 x dm, 根据题意,得
$(6 + 2x)(4 + 2x) = 2 × 6 × 4$。解得 $x_1 = 1, x_2 = -6$
（舍去）, 台布的长为 $6 + 2 = 8(\mathrm{dm})$, 宽为 $4 + 2 = 6(\mathrm{dm})$
$(6 + 2x)(4 + 2x) = 2 × 6 × 4$。解得 $x_1 = 1, x_2 = -6$
（舍去）, 台布的长为 $6 + 2 = 8(\mathrm{dm})$, 宽为 $4 + 2 = 6(\mathrm{dm})$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确台布与桌面的尺寸关系：已知台布各边下垂长度相同，我们可以先设下垂长度为未知数$x$，那么台布的长为桌面长加左右两侧下垂长度，即$(6+2x)\mathrm{dm}$，宽为桌面宽加上下两侧下垂长度，即$(4+2x)\mathrm{dm}$。再根据“台布面积是桌面面积的2倍”这一等量关系列方程，求解后结合实际意义舍去负数解，最后代入计算台布的长和宽即可。
【解析】
解：设台布各边下垂的长度为$x\ \mathrm{dm}$。
桌面面积为$6×4=24(\mathrm{dm}^2)$，因此台布面积为$2×24=48(\mathrm{dm}^2)$。
台布的长为$(6+2x)\mathrm{dm}$，宽为$(4+2x)\mathrm{dm}$，根据面积关系列方程：
$(6+2x)(4+2x)=2×6×4$
整理方程得：
$x^2+5x-6=0$
因式分解得：
$(x+6)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-6$。
由于下垂长度不能为负，因此$x=-6$不符合实际意义，舍去。
则台布的长为$6+2×1=8(\mathrm{dm})$，宽为$4+2×1=6(\mathrm{dm})$。
【答案】
台布的长为$8\ \mathrm{dm}$，宽为$6\ \mathrm{dm}$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程解决实际问题的基础题型，解题核心是找准等量关系列方程，同时需要注意解出的方程根要符合实际生活的意义，避免出现不符合逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确台布与桌面的尺寸关系：已知台布各边下垂长度相同，我们可以先设下垂长度为未知数$x$，那么台布的长为桌面长加左右两侧下垂长度，即$(6+2x)\mathrm{dm}$，宽为桌面宽加上下两侧下垂长度，即$(4+2x)\mathrm{dm}$。再根据“台布面积是桌面面积的2倍”这一等量关系列方程，求解后结合实际意义舍去负数解，最后代入计算台布的长和宽即可。
【解析】
解：设台布各边下垂的长度为$x\ \mathrm{dm}$。
桌面面积为$6×4=24(\mathrm{dm}^2)$，因此台布面积为$2×24=48(\mathrm{dm}^2)$。
台布的长为$(6+2x)\mathrm{dm}$，宽为$(4+2x)\mathrm{dm}$，根据面积关系列方程：
$(6+2x)(4+2x)=2×6×4$
整理方程得：
$x^2+5x-6=0$
因式分解得：
$(x+6)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-6$。
由于下垂长度不能为负，因此$x=-6$不符合实际意义，舍去。
则台布的长为$6+2×1=8(\mathrm{dm})$，宽为$4+2×1=6(\mathrm{dm})$。
【答案】
台布的长为$8\ \mathrm{dm}$，宽为$6\ \mathrm{dm}$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题根的取舍
【点评】
本题是一元二次方程解决实际问题的基础题型，解题核心是找准等量关系列方程，同时需要注意解出的方程根要符合实际生活的意义，避免出现不符合逻辑的结果。
【难度系数】
0.7
