2026年智慧学习导学练明天出版社八年级数学下册人教版第102页答案
6. 如图，四边形$ABCD$为平行四边形，延长$AD$到点$E$，使$DE = AD$，且$BE⊥ DC$，若$△ ADB$是边长为$3$的等边三角形，点$P$、$M$、$N$分别在线段$BE$、$BC$、$CE$上运动，则$PM + PN$的最小值为
$ \dfrac{3}{2}\sqrt{3} $
.

答案

6. $ \dfrac{3}{2}\sqrt{3} $
7. 在$△ ABC$中，$BC = 2AC$，点$D$，$E$分别是边$AB$，$BC$的中点，过点$A$作$AF// BC$交$ED$延长线于点$F$，连接$BF$.
(1)求证：四边形$ACEF$是菱形；
(2)若四边形$AEBF$也是菱形，直接写出线段$AB$与线段$AC$的关系.

答案

7. (1)证明：
∵$D$、$E$分别是$AB$、$BC$的中点，
∴$DE// AC，$$AD=BD，$
∵$AF// BC，$
∴$∠ FAD=∠ DBE，$
在$△ AFD$和$△ BED$中，
$\begin{cases}∠ FAD=∠ DBE \\AD=BD \\∠ ADF=∠ BDE\end{cases}$
∴$△ AFD≌△ BED(\mathrm{ASA})，$
∴$AF=BE，$
∵$E$是$BC$的中点，
∴$BE=EC，$
∴$AF=EC，$
又
∵$AF// EC，$
∴四边形$ACEF$是平行四边形，
∵$BC=2AC，$$E$是$BC$中点，
∴$AC=EC，$
∴$□ ACEF$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
(2)解：$AB⊥ AC$且$AB=\sqrt{3}AC$（或$∠ BAC=90°，$$AB=\sqrt{3}AC$）。
8. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别是边$BC$，$AC$的中点，过点$A$作$AF// BC$交$DE$的延长线于$F$点，连接$AD$，$CF$，过点$D$作$DG⊥ CF$于点$G$.
(1)求证：四边形$ADCF$是平行四边形；
(2)当$△ ABC$满足什么条件时，四边形$ADCF$是菱形？为什么？
(3)在(2)的条件下，若$AB = 6$，$BC = 10$，求$DG$的长.

答案

8.  (1)证明：
∵$D$、$E$分别是$BC$、$AC$的中点，
∴$DE// AB，$$AE=CE，$
∵$AF// BC，$
∴$∠ F=∠ EDC，$
在$△ AFE$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}∠ F=∠ EDC \\∠ AEF=∠ CED \\AE=CE\end{cases}$
∴$△ AFE≌△ CDE(\mathrm{AAS})，$
∴$AF=CD，$
∵$D$是$BC$中点，
∴$CD=BD，$
∴$AF=BD，$
又
∵$AF// BD，$
∴四边形$ABDF$是平行四边形，
∴$AF// CD，$$AF=CD，$
∴四边形$ADCF$是平行四边形。
(2)解：当$△ ABC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$时，四边形$ADCF$是菱形。
理由：
∵$∠ BAC=90°，$$D$是$BC$中点，
∴$AD=BD=CD=\frac{1}{2}BC，$
∵四边形$ADCF$是平行四边形，$AD=CD，$
∴$□ ADCF$是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
(3)解：
∵$∠ BAC=90°，$$AB=6，$$BC=10，$
∴$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8，$
∵四边形$ADCF$是菱形，
∴$CF=AD=\frac{1}{2}BC=5，$
$S_{\mathrm{菱形}ADCF}=S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}×6×8=24，$
又
∵$S_{\mathrm{菱形}ADCF}=CF· DG，$
∴$5· DG=24，$
解得$DG=\frac{24}{5}。$
用一张矩形的纸片(如图所示)折出一个正方形 $ABCD$. 观察你折出的正方形，思考下面问题.

(1) 正方形
(“是”或“不是”)平行四边形，正方形的四条边都
，四个角都是
，所以正方形既是
，又是
.
(2) 正方形与矩形、菱形的关系：

答案

（1）是；相等；直角；矩形；菱形
（2）邻边相等；有一个角是直角；正方形