5. 采用如下方法也可以得到黄金分割点:如图,设AB是已知线段,以AB为边作正方形ABCD;取AD的中点E,连接EB;延长DA至点F,使$EF=EB$;以线段AF为边作正方形AFGH,H就是AB的黄金分割点.你能说说这种作法的道理吗?

解：设$AB = 2a$（$a＞0$），
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD = AB = 2a$，$∠ EAB = 90°$，
∵$E$是$AD$的中点，
∴$AE = \frac{1}{2}AD = a$，
在$\mathrm{Rt}△ EAB$中，由勾股定理得：
$EB = \sqrt{AE^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5}a$，
∵$EF = EB$，
∴$EF = \sqrt{5}a$，
∴$AF = EF - AE = \sqrt{5}a - a = (\sqrt{5}-1)a$，
∵四边形$AFGH$是正方形，
∴$AH = AF = (\sqrt{5}-1)a$，
∴$\frac{AH}{AB} = \frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
根据黄金分割的定义，点$H$是$AB$的黄金分割点。

如图6-3,从放大镜里看到的三角尺与原来的三角尺相似吗?

图6-3

解：
放大镜里的三角尺与原来的三角尺形状相同，仅大小不同，
根据相似图形的定义，形状相同的图形是相似图形，
因此从放大镜里看到的三角尺与原来的三角尺相似。

例1 如图6-4,四边形$ABCD ∽$四边形$EFGH$,求$∠ α$、$∠ β$的大小和$EH$的长度.
解 因为四边形$ABCD ∽$四边形$EFGH$,所以它们的对应角相等.由此可得
$∠ α = ∠ C=83^{ \circ }$,$∠ A= ∠ E=118^{ \circ }$.
在四边形$ABCD$中,

$∠ β =360^{ \circ }-(78^{ \circ }+83^{ \circ }+118^{ \circ })=81^{ \circ }$.
因为四边形$ABCD ∽$四边形$EFGH$,
所以它们的对应边的比相等.由此可得
$\dfrac{EH}{AD}=\dfrac{EF}{AB}$,即$\dfrac{x}{21}=\dfrac{24}{18}$.
解得$x=28$,即$EH$的长为28 cm.
图6-4

解：
因为四边形$ABCD ∽$四边形$EFGH$，
所以$∠ α = ∠ C=83^{ \circ }$，$∠ A= ∠ E=118^{ \circ }$。
在四边形$ABCD$中，
$∠ β =360^{ \circ } - 78^{ \circ } - 83^{ \circ } - 118^{ \circ }=81^{ \circ }$。
因为四边形$ABCD ∽$四边形$EFGH$，
所以$\dfrac{EH}{AD}=\dfrac{EF}{AB}$，即$\dfrac{x}{21}=\dfrac{24}{18}$。
解得$x=28$。
答：$∠ α=83°$，$∠ β=81°$，$EH$的长度为28 cm。

例2 如图6-5,在$△ ABC$中,$D$、$E$分别是边$AB$、$AC$的中点.
求证:$△ ADE ∽ △ ABC$.
证明 $\because D$、$E$分别是边$AB$、$AC$的中点,
$\therefore DE // BC$,$DE=\dfrac{1}{2}BC$.
$\therefore ∠ ADE= ∠ B$,$∠ AED= ∠ C$.
在$△ ADE$和$△ ABC$中,
$\because ∠ ADE= ∠ B$,$∠ AED= ∠ C$,$∠ A= ∠ A$,$\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$.
图6-5

证明：
∵ D、E分别是边AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{1}{2}$，
∴ ∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等），
又∵ ∠A=∠A（公共角），
∴ △ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）