例 如果矩形的两条邻边长度的比为黄金比,那么这种矩形称为黄金矩形.
如图6-2,已知黄金矩形ABCD,将该矩形折叠,点A落在边CD上的点F处,DE为折痕.四边形EBCF是黄金矩形吗? 请说明理由.
解 四边形EBCF是黄金矩形.

$\because$ 四边形ABCD是黄金矩形,
$\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$.
$\therefore \dfrac{AB-AD}{AD}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$.
将矩形沿DE折叠,
$\therefore AD=DF=AE=BC$.

$\therefore \dfrac{EB}{BC}=\dfrac{AB-AE}{BC}=\dfrac{AB-AD}{AD}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
$\therefore$ 四边形EBCF是黄金矩形.

解：四边形EBCF是黄金矩形。
$\because$ 四边形ABCD是黄金矩形，
$\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$。
$\therefore \dfrac{AB-AD}{AD}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$。
$\because$ 将矩形沿DE折叠，点A落在边CD上的点F处，DE为折痕，
$\therefore AD=DF=AE=BC$。
$\therefore \dfrac{EB}{BC}=\dfrac{AB-AE}{BC}=\dfrac{AB-AD}{AD}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$，
对$\dfrac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}$分母有理化：
$\dfrac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\dfrac{3\sqrt{5}+3-5-\sqrt{5}}{5-1}=\dfrac{2\sqrt{5}-2}{4}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$。
又$\because$ 四边形EBCF中，$∠ B=∠ C=90°$，$FC// EB$，即四边形EBCF是矩形，且邻边长度的比为黄金比，
$\therefore$ 四边形EBCF是黄金矩形。

1. 已知一本书的宽与长之比为黄金比,且这本书的长为20 cm,则它的宽约为().
A. 12.36 cm B. 13.6 cm C. 32.36 cm D. 7.64 cm

解：
黄金比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618$，
因为书的宽与长之比为黄金比，且长为20cm，
所以宽约为$20 × 0.618 = 12.36$（cm）。
故选A。

2. 已知P是线段AB的黄金分割点,$PA＞PB$,$AB=4\mathrm{cm}$,则$PA=$cm.

解：
∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，
∴PA = $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$·AB，
∵AB = 4cm，
∴PA = $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$×4 = 2($\sqrt{5}$-1) = (2$\sqrt{5}$-2)cm。

3. 如图,C是线段AB的黄金分割点,$AC＞BC$.写出黄金分割的比例式,指出其中的比例中项.

解：
黄金分割的比例式为$\boldsymbol{\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}}$，
其中的比例中项是$\boldsymbol{AC}$。

4. 如图,已知点C、D都是线段AB的黄金分割点,若$AB=8+4\sqrt{5}$,则CD的长为多少?

解：
∵点C是线段AB的黄金分割点，且$AC ＞ BC$，
∴$AC = \frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
∵$AB = 8+4\sqrt{5}$，
∴$AC = \frac{\sqrt{5}-1}{2} × (8+4\sqrt{5})$
$= \frac{(\sqrt{5}-1)(8+4\sqrt{5})}{2}$
$= \frac{8\sqrt{5}+20-8-4\sqrt{5}}{2}$
$= \frac{4\sqrt{5}+12}{2}$
$= 6+2\sqrt{5}$，
同理可得$BD = 6+2\sqrt{5}$，
∴$CD = AC + BD - AB$
$= (6+2\sqrt{5})+(6+2\sqrt{5})-(8+4\sqrt{5})$
$= 12+4\sqrt{5}-8-4\sqrt{5}$
$= 4$。
答：CD的长为4。