(2)由$4a=7b$,可得比例式$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$；
答案
解：
∵4a=7b，
∴$\frac{a}{b}=\frac{7}{4}$（或$\frac{4}{7}=\frac{b}{a}$、$\frac{a}{7}=\frac{b}{4}$、$\frac{4}{b}=\frac{7}{a}$，任选其一即可）
∵4a=7b，
∴$\frac{a}{b}=\frac{7}{4}$（或$\frac{4}{7}=\frac{b}{a}$、$\frac{a}{7}=\frac{b}{4}$、$\frac{4}{b}=\frac{7}{a}$，任选其一即可）
(3)已知线段$a=4$,$b=8$,则$a$、$b$的比例中项线段等于$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$；
答案
解：
设线段$a$、$b$的比例中项线段为$x$，
根据比例中项的定义，得$a:x = x:b$，
即$x^2 = ab$。
将$a=4$，$b=8$代入，得$x^2 = 4×8 = 32$，
解得$x = 4\sqrt{2}$（线段长度为正数，舍去负根）。
故$a$、$b$的比例中项线段等于$\boldsymbol{4\sqrt{2}}$。
设线段$a$、$b$的比例中项线段为$x$，
根据比例中项的定义，得$a:x = x:b$，
即$x^2 = ab$。
将$a=4$，$b=8$代入，得$x^2 = 4×8 = 32$，
解得$x = 4\sqrt{2}$（线段长度为正数，舍去负根）。
故$a$、$b$的比例中项线段等于$\boldsymbol{4\sqrt{2}}$。
(4)已知$4:3=5:x$,则$x=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$；
答案
解：
由比例的基本性质，得
$4x = 3×5$
$4x = 15$
$x = \frac{15}{4}$
由比例的基本性质，得
$4x = 3×5$
$4x = 15$
$x = \frac{15}{4}$
(5)已知$A$、$B$两地的实际距离为200km,地图上的比例尺为1:1000000,则$A$、$B$两地在地图上的距离是$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$cm.
答案
解：
200km = 200×1000×100 = 20000000cm
设A、B两地在地图上的距离是$x$ cm，根据题意得：
$\frac{x}{20000000} = \frac{1}{1000000}$
解得$x = \frac{20000000}{1000000} = 20$
答：A、B两地在地图上的距离是20cm。
200km = 200×1000×100 = 20000000cm
设A、B两地在地图上的距离是$x$ cm，根据题意得：
$\frac{x}{20000000} = \frac{1}{1000000}$
解得$x = \frac{20000000}{1000000} = 20$
答：A、B两地在地图上的距离是20cm。
3. (1)已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{2}$,那么$\dfrac{a+b}{b}$、$\dfrac{a-b}{b}$、$\dfrac{a+b}{a-b}$各等于多少?
(2)已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$,你能得出哪些结论?
(2)已知$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$,你能得出哪些结论?
答案
解：
(1) 因为$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{2}$，设$a=3k$，$b=2k$（$k≠0$）。
$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{3k+2k}{2k}=\dfrac{5k}{2k}=\dfrac{5}{2}$；
$\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{3k-2k}{2k}=\dfrac{k}{2k}=\dfrac{1}{2}$；
$\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{3k+2k}{3k-2k}=\dfrac{5k}{k}=5$。
(2) 可得结论：
① $ad=bc$（$b≠0$，$d≠0$）；
② $\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$（$a≠0$，$c≠0$）；
③ $\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$；
④ $\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d}$；
⑤ $\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$（$a≠b$，$c≠d$）；
⑥ $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$（$c≠0$，$d≠0$）；
⑦ 若$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=...=\dfrac{m}{n}$（$b+d+...+n≠0$），则$\dfrac{a+c+...+m}{b+d+...+n}=\dfrac{a}{b}$。
(1) 因为$\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{2}$，设$a=3k$，$b=2k$（$k≠0$）。
$\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{3k+2k}{2k}=\dfrac{5k}{2k}=\dfrac{5}{2}$；
$\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{3k-2k}{2k}=\dfrac{k}{2k}=\dfrac{1}{2}$；
$\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{3k+2k}{3k-2k}=\dfrac{5k}{k}=5$。
(2) 可得结论：
① $ad=bc$（$b≠0$，$d≠0$）；
② $\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$（$a≠0$，$c≠0$）；
③ $\dfrac{a+b}{b}=\dfrac{c+d}{d}$；
④ $\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{c-d}{d}$；
⑤ $\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}$（$a≠b$，$c≠d$）；
⑥ $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$（$c≠0$，$d≠0$）；
⑦ 若$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=...=\dfrac{m}{n}$（$b+d+...+n≠0$），则$\dfrac{a+c+...+m}{b+d+...+n}=\dfrac{a}{b}$。
4. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$CD$是斜边$AB$上的高.
(1)求证:$AC· BC=CD· AB$.
(2)$AC$、$CD$、$AB$、$BC$是成比例线段吗? 为什么?
(1)求证:$AC· BC=CD· AB$.
(2)$AC$、$CD$、$AB$、$BC$是成比例线段吗? 为什么?
答案
(1)证明：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
∴$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC·BC$，
∵$CD$是斜边$AB$上的高，
∴$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}CD·AB$，
∴$\frac{1}{2}AC·BC = \frac{1}{2}CD·AB$，
∴$AC·BC = CD·AB$。
(2)解：
$AC$、$CD$、$AB$、$BC$是成比例线段。
理由：由(1)知$AC·BC = CD·AB$，
变形得$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$，
根据成比例线段的定义，可知$AC$、$CD$、$AB$、$BC$是成比例线段。
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
∴$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AC·BC$，
∵$CD$是斜边$AB$上的高，
∴$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}CD·AB$，
∴$\frac{1}{2}AC·BC = \frac{1}{2}CD·AB$，
∴$AC·BC = CD·AB$。
(2)解：
$AC$、$CD$、$AB$、$BC$是成比例线段。
理由：由(1)知$AC·BC = CD·AB$，
变形得$\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$，
根据成比例线段的定义，可知$AC$、$CD$、$AB$、$BC$是成比例线段。
5. 如图,在$△ ABC$中,点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上,$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$.
$\boldsymbol{}$
$\boldsymbol{}$
答案
证明：
(1) $\because \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$，
$\therefore \dfrac{AD+DB}{DB}=\dfrac{AE+EC}{EC}$（合比性质），
又$\because AD+DB=AB$，$AE+EC=AC$，
$\therefore \dfrac{AB}{DB}=\dfrac{AC}{EC}$。
(2) $\because \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$，
$\therefore \dfrac{DB}{AD}=\dfrac{EC}{AE}$（反比性质），
$\therefore \dfrac{DB+AD}{AD}=\dfrac{EC+AE}{AE}$（合比性质），
即$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$，
$\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$（反比性质）。
(1) $\because \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$，
$\therefore \dfrac{AD+DB}{DB}=\dfrac{AE+EC}{EC}$（合比性质），
又$\because AD+DB=AB$，$AE+EC=AC$，
$\therefore \dfrac{AB}{DB}=\dfrac{AC}{EC}$。
(2) $\because \dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AE}{EC}$，
$\therefore \dfrac{DB}{AD}=\dfrac{EC}{AE}$（反比性质），
$\therefore \dfrac{DB+AD}{AD}=\dfrac{EC+AE}{AE}$（合比性质），
即$\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE}$，
$\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$（反比性质）。
图6-1是五角星形，$BF\approx 1.2\mathrm{cm}$，$FG\approx 0.75\mathrm{cm}$，$GE\approx 1.2\mathrm{cm}$.$\dfrac{BF}{BG}$、$\dfrac{BG}{BE}$的值是否相等(精确到0.1 cm)?你能在生活中找到类似的比值吗?
答案
解：
计算$BG$的长度：
$BG = BF + FG \approx 1.2 + 0.75 = 1.95\mathrm{cm}$
计算$BE$的长度：
$BE = BG + GE \approx 1.95 + 1.2 = 3.15\mathrm{cm}$
计算$\dfrac{BF}{BG}$：
$\dfrac{BF}{BG} \approx \dfrac{1.2}{1.95} \approx 0.6$
计算$\dfrac{BG}{BE}$：
$\dfrac{BG}{BE} \approx \dfrac{1.95}{3.15} \approx 0.6$
因此，$\dfrac{BF}{BG}$与$\dfrac{BG}{BE}$的值相等。
生活中类似的比值：人体肚脐到足底的长度与身高的比值、雅典帕特农神庙的宽与长的比值等（答案不唯一）。
计算$BG$的长度：
$BG = BF + FG \approx 1.2 + 0.75 = 1.95\mathrm{cm}$
计算$BE$的长度：
$BE = BG + GE \approx 1.95 + 1.2 = 3.15\mathrm{cm}$
计算$\dfrac{BF}{BG}$：
$\dfrac{BF}{BG} \approx \dfrac{1.2}{1.95} \approx 0.6$
计算$\dfrac{BG}{BE}$：
$\dfrac{BG}{BE} \approx \dfrac{1.95}{3.15} \approx 0.6$
因此，$\dfrac{BF}{BG}$与$\dfrac{BG}{BE}$的值相等。
生活中类似的比值：人体肚脐到足底的长度与身高的比值、雅典帕特农神庙的宽与长的比值等（答案不唯一）。
