2. 如图，$△ ABC$中，$D$为$BC$上一点，$∠ BAD = ∠ C$，$AB = 6$，$BD = 4$，则$CD$的长为().


A.5
B.4.8
C.3
D.2

2. A

3. 如图，点$D$，$E$分别在$△ ABC$的边$AB$，$AC$上，且$∠ 1 = ∠ 2 = ∠ B$，则图中相似三角形有().

A.1 对
B.2 对
C.3 对
D.4 对

3. D

4. 如图，在四边形$ABCD$中，$AD // BC$，如果添加下列条件，不能使得$△ ABC ∽ △ DCA$成立的是().

A.$∠ BAC = ∠ ADC$
B.$∠ B = ∠ ACD$
C.$AC^{2} = AD · BC$
D.$\frac{DC}{AC} = \frac{AB}{BC}$

4. D

5. 如图，在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$AB = BC$，$∠ B = 90^{\circ}$，$AC = 10\sqrt{2}$.四边形$BDEF$是$△ ABC$的内接正方形(点$D$，$E$，$F$在三角形的边上)，则此正方形的面积是.

5. 25

6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$E$，$F$为线段$AB$上两动点，且$∠ ECF = 45^{\circ}$，过点$E$，$F$分别作$BC$，$AC$的垂线，并相交于点$M$，垂足分别为$H$，$G$.
（1）求证：$△ ACE ∽ △ BFC$.
（2）试探究$AF$，$BE$，$EF$之间的数量关系，并说明理由.

6. (1)证明：$\because ∠ ACB=90^{\circ }$，$AC=BC$，$\therefore ∠ A=∠ B=45^{\circ }$．$\because ∠ CFB=∠ ACF+∠ A=∠ ACF+45^{\circ }$，$∠ ACE=∠ ACF+∠ ECF=∠ ACF+45^{\circ }$，$\therefore ∠ CFB=∠ ACE$，$\therefore △ ACE∽ △ BFC$．
(2)解：$EF^{2}=AF^{2}+BE^{2}$．理由如下：$\because AC=BC$，$∠ ACB=90^{\circ }$，$\therefore ∠ A=∠ ABC=45^{\circ }$．将$△ ACF$顺时针旋转$90^{\circ }$至$△ BCD$，如图所示，则$CF=CD$，$∠ 1=∠ 4$，$∠ A=∠ 6=45^{\circ }$，$BD=AF$．$\because ∠ 2=45^{\circ }$，$\therefore ∠ 1+∠ 3=∠ 4+∠ 3=45^{\circ }$，$\therefore ∠ DCE=∠ 2$．

在$△ ECF$和$△ ECD$中，$\{\begin{array}{l} CF=CD,\\ ∠ 2=∠ DCE,\\ CE=CE,\end{array} $$\therefore △ ECF≌△ ECD(\mathrm{SAS})$，$\therefore EF=DE$．$\because ∠ 5=∠ 6=45^{\circ }$，$\therefore ∠ EBD=90^{\circ }$，$\therefore DE^{2}=BD^{2}+BE^{2}$，即$EF^{2}=AF^{2}+BE^{2}$．