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(2)四边形ABCD的内角与它相邻的一个外角的关系是
(3)在四边形ABCD的每个顶点处分别画出它的一个外角,这些外角的和是
(4)同(3),五边形呢?六边形呢?
互补
；(3)在四边形ABCD的每个顶点处分别画出它的一个外角,这些外角的和是
360°
；(4)同(3),五边形呢?六边形呢?
答案
(2)互补 (3)$360^{\circ }$ (4)均为$360^{\circ }$。
解析
【分析】
1. 对于第(2)问：思考四边形的内角和相邻外角的位置关系，它们组成一个平角，根据互补的定义（和为180°的两个角互补），可得出二者的关系。
2. 对于第(3)问：先利用四边形内角和公式算出内角和，再结合每个内角与相邻外角互补的性质，通过“内角和+外角和=4个平角的和”，计算出外角和。
3. 对于第(4)问：类比四边形外角和的推导方法，分别利用五边形、六边形的内角和公式，结合“内角和+外角和=对应边数的平角和”，计算出它们的外角和，进而总结规律。
【解析】
(2) 四边形的一个内角与它相邻的外角能组成一个平角，平角的度数为$180°$，根据互补的定义，可知二者的关系是互补。
(3) 设四边形$ABCD$的四个内角为$∠ A、∠ B、∠ C、∠ D$，对应的外角为$∠ A'、∠ B'、∠ C'、∠ D'$。
因为每个内角与相邻外角互补，所以：
$∠ A+∠ A'=180°$，$∠ B+∠ B'=180°$，$∠ C+∠ C'=180°$，$∠ D+∠ D'=180°$。
将四个等式相加得：$(∠ A+∠ B+∠ C+∠ D)+(∠ A'+∠ B'+∠ C'+∠ D')=4×180°=720°$。
又因为四边形内角和$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=(4-2)×180°=360°$，
所以外角和$∠ A'+∠ B'+∠ C'+∠ D'=720°-360°=360°$。
(4) ①五边形：
五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，
五个内角与对应外角的和为$5×180°=900°$，
则五边形外角和为$900°-540°=360°$。
②六边形：
六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，
六个内角与对应外角的和为$6×180°=1080°$，
则六边形外角和为$1080°-720°=360°$。
因此五边形、六边形的外角和均为$360°$。
【答案】
(2) 互补；(3)$360°$；(4) 均为$360°$。
【知识点】
邻补角的性质、多边形内角和公式、多边形外角和定理
【点评】
本题围绕多边形内角与外角的关系展开，通过邻补角的性质推导多边形外角和，核心是理解任意多边形的外角和恒为$360°$，既考查了基础概念的应用，也培养了利用公式推导规律的思维能力。
【难度系数】
0.6
1. 对于第(2)问：思考四边形的内角和相邻外角的位置关系，它们组成一个平角，根据互补的定义（和为180°的两个角互补），可得出二者的关系。
2. 对于第(3)问：先利用四边形内角和公式算出内角和，再结合每个内角与相邻外角互补的性质，通过“内角和+外角和=4个平角的和”，计算出外角和。
3. 对于第(4)问：类比四边形外角和的推导方法，分别利用五边形、六边形的内角和公式，结合“内角和+外角和=对应边数的平角和”，计算出它们的外角和，进而总结规律。
【解析】
(2) 四边形的一个内角与它相邻的外角能组成一个平角，平角的度数为$180°$，根据互补的定义，可知二者的关系是互补。
(3) 设四边形$ABCD$的四个内角为$∠ A、∠ B、∠ C、∠ D$，对应的外角为$∠ A'、∠ B'、∠ C'、∠ D'$。
因为每个内角与相邻外角互补，所以：
$∠ A+∠ A'=180°$，$∠ B+∠ B'=180°$，$∠ C+∠ C'=180°$，$∠ D+∠ D'=180°$。
将四个等式相加得：$(∠ A+∠ B+∠ C+∠ D)+(∠ A'+∠ B'+∠ C'+∠ D')=4×180°=720°$。
又因为四边形内角和$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=(4-2)×180°=360°$，
所以外角和$∠ A'+∠ B'+∠ C'+∠ D'=720°-360°=360°$。
(4) ①五边形：
五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，
五个内角与对应外角的和为$5×180°=900°$，
则五边形外角和为$900°-540°=360°$。
②六边形：
六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，
六个内角与对应外角的和为$6×180°=1080°$，
则六边形外角和为$1080°-720°=360°$。
因此五边形、六边形的外角和均为$360°$。
【答案】
(2) 互补；(3)$360°$；(4) 均为$360°$。
【知识点】
邻补角的性质、多边形内角和公式、多边形外角和定理
【点评】
本题围绕多边形内角与外角的关系展开，通过邻补角的性质推导多边形外角和，核心是理解任意多边形的外角和恒为$360°$，既考查了基础概念的应用，也培养了利用公式推导规律的思维能力。
【难度系数】
0.6
1. 已知一个多边形的外角和等于它的内角和,则这个多边形是(
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
B
)。A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆多边形的两个关键性质：一是任意多边形的外角和都是固定的360°；二是n边形的内角和公式为$(n-2)×180°$（n为边数，n≥3且n为整数）。题目给出外角和等于内角和，我们可以通过设未知数建立方程，求出多边形的边数，进而确定是哪种多边形。具体步骤为：先设边数为n，根据等量关系列方程，再解方程得到n的值，最后对应选项判断。
【解析】
设这个多边形的边数为n。
1. 依据多边形外角和性质：任意多边形的外角和为$360°$；
2. 依据n边形内角和公式：内角和为$(n-2)×180°$；
3. 根据题意“外角和等于内角和”，列方程：
$(n-2)×180°=360°$
4. 解方程：
两边同时除以$180°$，得$n-2=2$，
移项可得$n=4$。
所以这个多边形是四边形，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和公式、多边形外角和性质
【点评】
本题考查多边形内角和与外角和的基本性质，属于基础题型。解题的关键是牢记多边形外角和为固定值360°，以及内角和公式，通过简单的方程求解即可得到答案，有助于巩固多边形的核心知识点。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆多边形的两个关键性质：一是任意多边形的外角和都是固定的360°；二是n边形的内角和公式为$(n-2)×180°$（n为边数，n≥3且n为整数）。题目给出外角和等于内角和，我们可以通过设未知数建立方程，求出多边形的边数，进而确定是哪种多边形。具体步骤为：先设边数为n，根据等量关系列方程，再解方程得到n的值，最后对应选项判断。
【解析】
设这个多边形的边数为n。
1. 依据多边形外角和性质：任意多边形的外角和为$360°$；
2. 依据n边形内角和公式：内角和为$(n-2)×180°$；
3. 根据题意“外角和等于内角和”，列方程：
$(n-2)×180°=360°$
4. 解方程：
两边同时除以$180°$，得$n-2=2$，
移项可得$n=4$。
所以这个多边形是四边形，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和公式、多边形外角和性质
【点评】
本题考查多边形内角和与外角和的基本性质，属于基础题型。解题的关键是牢记多边形外角和为固定值360°，以及内角和公式，通过简单的方程求解即可得到答案，有助于巩固多边形的核心知识点。
【难度系数】
0.8
2. 下列图形中,内角和是外角和的两倍的多边形是(
D
)。答案
2.D
解析
【分析】
首先明确多边形的外角和是固定的360°，题目要求内角和是外角和的两倍，先计算出目标内角和为360°×2=720°。再利用多边形内角和公式：n边形内角和=(n-2)×180°，通过列方程求出该多边形的边数n，最后对应选项中的图形找到符合条件的多边形。
【解析】
1. 确定目标内角和：多边形外角和为固定值360°，根据题意，该多边形内角和为 $360° × 2 = 720°$。
2. 计算多边形边数：设该多边形为$n$边形，根据多边形内角和公式$(n-2)×180°=\mathrm{内角和}$，代入内角和数值可得：
$ (n-2)×180°=720° $
求解得：$n-2=720°÷180°=4$，即$n=6$，所以该多边形是六边形。
3. 对应选项：选项A是三角形，B是正方形，C是五边形，D是六边形，因此符合条件的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
多边形内角和公式，多边形外角和
【点评】
本题考查多边形内角和与外角和的基础性质，需牢记多边形外角和为固定的360°，以及内角和公式，通过简单的方程计算即可确定多边形边数，属于基础题型，重点考查对多边形基本性质的掌握。
【难度系数】
0.7
首先明确多边形的外角和是固定的360°，题目要求内角和是外角和的两倍，先计算出目标内角和为360°×2=720°。再利用多边形内角和公式：n边形内角和=(n-2)×180°，通过列方程求出该多边形的边数n，最后对应选项中的图形找到符合条件的多边形。
【解析】
1. 确定目标内角和：多边形外角和为固定值360°，根据题意，该多边形内角和为 $360° × 2 = 720°$。
2. 计算多边形边数：设该多边形为$n$边形，根据多边形内角和公式$(n-2)×180°=\mathrm{内角和}$，代入内角和数值可得：
$ (n-2)×180°=720° $
求解得：$n-2=720°÷180°=4$，即$n=6$，所以该多边形是六边形。
3. 对应选项：选项A是三角形，B是正方形，C是五边形，D是六边形，因此符合条件的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
多边形内角和公式，多边形外角和
【点评】
本题考查多边形内角和与外角和的基础性质，需牢记多边形外角和为固定的360°，以及内角和公式，通过简单的方程计算即可确定多边形边数，属于基础题型，重点考查对多边形基本性质的掌握。
【难度系数】
0.7
3. 四边形的四个内角中,直角最多有
4
个,钝角最多有3
个,锐角最多有3
个。答案
3.4 3 3
解析
【分析】
解题核心依据是四边形内角和为360°，结合直角、钝角、锐角的度数范围逐一推理：
1. 直角个数：直角为90°，4个直角的总和为4×90°=360°，刚好等于四边形内角和，因此最多可存在4个直角；
2. 钝角个数：钝角大于90°小于180°，若有4个钝角，内角和会大于4×90°=360°，超出四边形内角和，所以最多只能有3个钝角，剩余一个角的度数为360°减去3个钝角的和，符合角的定义；
3. 锐角个数：锐角小于90°，若有4个锐角，内角和会小于4×90°=360°，达不到四边形内角和，所以最多只能有3个锐角，剩余一个角为钝角，总和刚好为360°。
【解析】
1. 直角最多个数：
直角度数为90°，设直角个数为$ n $，则$ n × 90° ≤ 360° $，解得$ n ≤ 4 $。当$ n=4 $时，$ 4 × 90° = 360° $，与四边形内角和相等，故直角最多有4个。
2. 钝角最多个数：
钝角范围是$ 90° ＜ \mathrm{钝角} ＜ 180° $，若有4个钝角，内角和$ ＞ 4 × 90° = 360° $，不符合内角和定理。取3个100°的钝角，第四个角为$ 360° - 3 × 100° = 60° $，符合要求，故钝角最多有3个。
3. 锐角最多个数：
锐角范围是$ 0° ＜ \mathrm{锐角} ＜ 90° $，若有4个锐角，内角和$ ＜ 4 × 90° = 360° $，不符合内角和定理。取3个80°的锐角，第四个角为$ 360° - 3 × 80° = 120° $，符合要求，故锐角最多有3个。
【答案】
4 3 3
【知识点】
四边形内角和定理；角的分类
【点评】
本题考查四边形内角和定理与不同类型角的度数特征，解题关键是利用内角和固定值，结合各类角的范围推理验证，属于基础几何题，能帮助巩固多边形内角和与角的分类的知识。
【难度系数】
0.8
解题核心依据是四边形内角和为360°，结合直角、钝角、锐角的度数范围逐一推理：
1. 直角个数：直角为90°，4个直角的总和为4×90°=360°，刚好等于四边形内角和，因此最多可存在4个直角；
2. 钝角个数：钝角大于90°小于180°，若有4个钝角，内角和会大于4×90°=360°，超出四边形内角和，所以最多只能有3个钝角，剩余一个角的度数为360°减去3个钝角的和，符合角的定义；
3. 锐角个数：锐角小于90°，若有4个锐角，内角和会小于4×90°=360°，达不到四边形内角和，所以最多只能有3个锐角，剩余一个角为钝角，总和刚好为360°。
【解析】
1. 直角最多个数：
直角度数为90°，设直角个数为$ n $，则$ n × 90° ≤ 360° $，解得$ n ≤ 4 $。当$ n=4 $时，$ 4 × 90° = 360° $，与四边形内角和相等，故直角最多有4个。
2. 钝角最多个数：
钝角范围是$ 90° ＜ \mathrm{钝角} ＜ 180° $，若有4个钝角，内角和$ ＞ 4 × 90° = 360° $，不符合内角和定理。取3个100°的钝角，第四个角为$ 360° - 3 × 100° = 60° $，符合要求，故钝角最多有3个。
3. 锐角最多个数：
锐角范围是$ 0° ＜ \mathrm{锐角} ＜ 90° $，若有4个锐角，内角和$ ＜ 4 × 90° = 360° $，不符合内角和定理。取3个80°的锐角，第四个角为$ 360° - 3 × 80° = 120° $，符合要求，故锐角最多有3个。
【答案】
4 3 3
【知识点】
四边形内角和定理；角的分类
【点评】
本题考查四边形内角和定理与不同类型角的度数特征，解题关键是利用内角和固定值，结合各类角的范围推理验证，属于基础几何题，能帮助巩固多边形内角和与角的分类的知识。
【难度系数】
0.8
1. 当多边形的边数由3增加到n时,其外角度数的和(
A.增大
B.减小
C.保持不变
D.变成$(n-3)×180°$
C
)。A.增大
B.减小
C.保持不变
D.变成$(n-3)×180°$
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆多边形外角和的相关性质。我们知道三角形的外角和是360°，而任意n边形（n≥3）的外角和是固定值，与边数无关。所以当边数从3增加到n时，只需依据这个固定性质来判断外角度数和的变化情况即可。
【解析】
根据多边形外角和定理：任意多边形的外角和都为360°，且外角和的大小与多边形的边数无关。
选项A、B：因为外角和固定为360°，不会随边数增大或减小，所以A、B错误；
选项D：$(n-2)×180°$是多边形内角和公式，$(n-3)×180°$表述错误，且和外角和无关，所以D错误；
因此正确答案是C。
【答案】
C
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题主要考查多边形外角和的固定性，需注意区分多边形外角和与内角和公式，避免混淆。外角和是恒定的360°，而内角和随边数变化，公式为$(n-2)×180°$，这是多边形的基础知识点，需牢记。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆多边形外角和的相关性质。我们知道三角形的外角和是360°，而任意n边形（n≥3）的外角和是固定值，与边数无关。所以当边数从3增加到n时，只需依据这个固定性质来判断外角度数和的变化情况即可。
【解析】
根据多边形外角和定理：任意多边形的外角和都为360°，且外角和的大小与多边形的边数无关。
选项A、B：因为外角和固定为360°，不会随边数增大或减小，所以A、B错误；
选项D：$(n-2)×180°$是多边形内角和公式，$(n-3)×180°$表述错误，且和外角和无关，所以D错误；
因此正确答案是C。
【答案】
C
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题主要考查多边形外角和的固定性，需注意区分多边形外角和与内角和公式，避免混淆。外角和是恒定的360°，而内角和随边数变化，公式为$(n-2)×180°$，这是多边形的基础知识点，需牢记。
【难度系数】
0.8
2. 正多边形的一个外角的度数为$30°$,则这个正多边形的边数为(
A.12
B.10
C.8
D.6
A
)。A.12
B.10
C.8
D.6
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆正多边形的外角性质：任意正多边形的外角和都是固定的360°，且正多边形的每个外角度数相等。题目已知一个外角为30°，那么只需要用外角和除以单个外角的度数，就能得到正多边形的边数。
【解析】
因为任意正多边形的外角和为360°，且该正多边形每个外角的度数为30°，设这个正多边形的边数为$n$，则：
$n = \frac{360°}{30°} = 12$
所以这个正多边形的边数为12，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形外角和、正多边形边数计算
【点评】
本题主要考查正多边形外角和的性质，属于基础题型，只要牢记任意多边形的外角和为360°，结合正多边形外角相等的特点，就能轻松计算出边数。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆正多边形的外角性质：任意正多边形的外角和都是固定的360°，且正多边形的每个外角度数相等。题目已知一个外角为30°，那么只需要用外角和除以单个外角的度数，就能得到正多边形的边数。
【解析】
因为任意正多边形的外角和为360°，且该正多边形每个外角的度数为30°，设这个正多边形的边数为$n$，则：
$n = \frac{360°}{30°} = 12$
所以这个正多边形的边数为12，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形外角和、正多边形边数计算
【点评】
本题主要考查正多边形外角和的性质，属于基础题型，只要牢记任意多边形的外角和为360°，结合正多边形外角相等的特点，就能轻松计算出边数。
【难度系数】
0.9
3. 如图,将透明直尺叠放在正五边形徽章ABCDE上,若直尺的下沿$MN⊥DE$于点
O,且经过点B,上沿PQ经过点E,则$∠ABM$的度数为(
A.$152°$
B.$126°$
C.$120°$
D.$108°$
O,且经过点B,上沿PQ经过点E,则$∠ABM$的度数为(
B
)。A.$152°$
B.$126°$
C.$120°$
D.$108°$
答案
3.B
解析
【分析】
要解决本题，我们可以按以下思路逐步推导：
1. 首先根据正多边形内角和公式计算正五边形的每个内角，这是解题的基础；
2. 利用直尺上下沿平行的性质，结合已知的垂直条件，求出相关角的度数；
3. 最后通过平行线的角度关系，将已知角进行转化，计算出$∠ ABM$的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角：
正五边形的内角和为$(n-2)×180°$（其中$n=5$），即$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，可得$∠ AED=∠ BAE=108°$。
2. 求$∠ AEQ$的度数：
已知$MN⊥ DE$，所以$∠ EOM=90°$；
由于直尺的上下沿$PQ// MN$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ QED=∠ EOM=90°$；
因此$∠ AEQ=∠ AED-∠ QED=108°-90°=18°$。
3. 计算$∠ ABM$的度数：
因为$PQ// MN$，根据平行线的角度传递，$∠ ABM=∠ BAE+∠ AEQ$，代入数值得：
$∠ ABM=108°+18°=126°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角计算，平行线的性质，垂线的性质
【点评】
本题是正多边形性质与平行线、垂线的综合应用题，需要熟练掌握正多边形内角和公式，以及平行线的角度转化方法。解题的关键是通过平行和垂直关系，建立已知角与所求角的联系，培养几何图形的角度分析与转化能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，我们可以按以下思路逐步推导：
1. 首先根据正多边形内角和公式计算正五边形的每个内角，这是解题的基础；
2. 利用直尺上下沿平行的性质，结合已知的垂直条件，求出相关角的度数；
3. 最后通过平行线的角度关系，将已知角进行转化，计算出$∠ ABM$的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角：
正五边形的内角和为$(n-2)×180°$（其中$n=5$），即$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，可得$∠ AED=∠ BAE=108°$。
2. 求$∠ AEQ$的度数：
已知$MN⊥ DE$，所以$∠ EOM=90°$；
由于直尺的上下沿$PQ// MN$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ QED=∠ EOM=90°$；
因此$∠ AEQ=∠ AED-∠ QED=108°-90°=18°$。
3. 计算$∠ ABM$的度数：
因为$PQ// MN$，根据平行线的角度传递，$∠ ABM=∠ BAE+∠ AEQ$，代入数值得：
$∠ ABM=108°+18°=126°$。
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角计算，平行线的性质，垂线的性质
【点评】
本题是正多边形性质与平行线、垂线的综合应用题，需要熟练掌握正多边形内角和公式，以及平行线的角度转化方法。解题的关键是通过平行和垂直关系，建立已知角与所求角的联系，培养几何图形的角度分析与转化能力。
【难度系数】
0.6
