4. 若一个多边形的每一个内角都等于$120°$,则它的边数是()。

A.6
B.7
C.8
D.9

4.A

【分析】
要解决这个问题，我们可以从两个角度思考：
1. 利用多边形外角和定理：多边形的每个内角与相邻外角互补，已知每个内角是120°，可先算出每个外角的度数，再结合多边形外角和恒为360°，用360°除以单个外角度数就能得到边数。
2. 利用多边形内角和公式：n边形内角和为(n-2)×180°，已知每个内角是120°，则总内角和为120°×n，据此列方程求解边数n。
【解析】
方法一：利用外角和求解
因为多边形的内角与相邻外角互补，所以每个外角的度数为：
$180° - 120° = 60°$
又因为任意多边形的外角和都为360°，设该多边形边数为$n$，则：
$n = 360° ÷ 60° = 6$
方法二：利用内角和公式求解
设该多边形的边数为$n$，根据$n$边形内角和公式$(n-2)×180°$，结合题意每个内角为120°，总内角和为$120°n$，可列方程：
$(n-2)×180° = 120°n$
展开得：$180n - 360 = 120n$
移项合并同类项：$60n = 360$
解得：$n = 6$
【答案】
A
【知识点】
多边形内角和公式、多边形外角和定理
【点评】
本题考查多边形内角和与外角和的基本应用，两种方法均可解题，其中利用外角和求解更为简便。解题时需熟练掌握多边形内角和公式及外角和恒为360°的性质，理清内角与外角的互补关系。
【难度系数】
0.8

5. 如图,已知$∠1+2+∠3+∠4=280°$,那么$∠5$的度数为()。

A.$70°$

B.$80°$
C.$90°$
D.$100°$

5.B

【分析】
本题考查多边形外角和的应用，解题思路如下：
1. 首先明确：任意多边形的外角和都为360°，图中的∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是五边形的5个外角，它们的和为360°。
2. 已知∠1+∠2+∠3+∠4=280°，要求∠5的度数，只需用外角和360°减去已知四个角的和即可。
【解析】
根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和为360°，因此∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°。
已知∠1+∠2+∠3+∠4=280°，则：
∠5=360°-(∠1+∠2+∠3+∠4)=360°-280°=80°
【答案】
B
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查多边形外角和定理的直接应用，解题关键是牢记任意多边形的外角和均为360°，不受边数影响。
【难度系数】
0.8

6. 一个多边形的边数每增加一条,这个多边形的()。

A.内角和增加$360°$
B.外角和增加$180°$
C.对角线增加一条
D.外角和不变

6.D

【分析】
要解决这道题，我们需要结合多边形内角和、外角和、对角线的相关公式，逐一分析每个选项：
1. 分析内角和变化：回忆多边形内角和公式，通过计算边数增加1前后的内角和差值，判断A选项是否正确；
2. 分析外角和变化：明确任意多边形的外角和是固定值，据此判断B、D选项；
3. 分析对角线变化：利用对角线公式，计算边数增加1前后的对角线数量差值，判断C选项是否正确。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：设原多边形边数为$n$（$n≥3$且为整数），其内角和为$(n-2)×180°$；当边数增加1变为$n+1$时，新内角和为$(n+1-2)×180°=(n-1)×180°$。内角和增加量为$(n-1)×180°-(n-2)×180°=180°$，并非$360°$，故A错误。
选项B：任意多边形的外角和恒为$360°$，不会随边数增加而改变，故B错误。
选项C：原多边形对角线数量为$\frac{n(n-3)}{2}$，边数增加1后，对角线数量为$\frac{(n+1)(n-2)}{2}$。增加的数量为$\frac{(n+1)(n-2)}{2}-\frac{n(n-3)}{2}=n-1$，不是固定增加1条，故C错误。
选项D：任意多边形的外角和都是$360°$，与边数无关，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
多边形内角和、多边形外角和、多边形对角线
【点评】
本题考查多边形的核心性质，重点区分内角和与外角和的变化规律，其中外角和恒为$360°$是关键考点，对角线数量变化需通过公式推导验证，避免凭直觉判断。
【难度系数】
0.8

7. 已知一个多边形的每个外角都是$45°$,则这个多边形的边数为。

7.8

【分析】
要解决这个问题，首先需明确多边形外角和的核心规律：任意多边形的外角和都是固定的360°。已知该多边形每个外角为45°，只需用总外角和除以单个外角的度数，即可得到多边形的边数，这是解题的核心思路。
【解析】
因为任意多边形的外角和恒为360°，设这个多边形的边数为$n$，已知每个外角是45°，则：
$n = 360° ÷ 45° = 8$
【答案】
8
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题是多边形外角和的基础应用题型，难度较低，只要牢记多边形外角和为360°这一固定结论，通过简单的除法运算就能求出边数，主要考查对基础知识点的记忆与运用。
【难度系数】
0.9

8. 如图,$∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F$的度数是。

8.$360^{\circ }$

【分析】
要计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数，可利用三角形外角的性质将分散的角进行转化。观察图形可知，这六个角可以两两组合，分别对应三角形的一个外角，而三角形的外角和为360°，通过这种转化就能将分散的角集中，进而求出总和。
【解析】
设图中线段相交形成的三个外角分别为∠1、∠2、∠3：
1. 根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），可得：
$∠ 1 = ∠ A + ∠ B$，
$∠ 2 = ∠ C + ∠ D$，
$∠ 3 = ∠ E + ∠ F$；
2. 因为任意三角形的外角和为$360°$，所以$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 360°$；
3. 将$∠ 1$、$∠ 2$、$∠ 3$代入，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F = ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 360°$。
【答案】
$360°$
【知识点】
三角形外角性质；多边形外角和
【点评】
本题考查三角形外角性质与多边形外角和的应用，解题核心是利用转化思想，将分散的多个内角转化为外角，借助外角和的固定结论简化计算，培养几何图形中角的转化与整合能力。
【难度系数】
0.6

9. 小亮从A点出发,沿直线前进了10 m后向左转一定的角度,再沿直线前进10 m,又向左转相同的角度……照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,共走了300 m,则他每次向左转的角度是。

9.$12^{\circ }$

【分析】
首先，小亮每次前进相同距离且左转相同角度，最后回到出发点，说明他走的路线是一个正多边形。解题思路是先确定这个正多边形的边数，再利用正多边形外角和为360°的性质，求出每次左转的角度（即正多边形的外角度数）。具体步骤：第一步，根据总路程和每段路程长度计算边数；第二步，用外角和除以边数得到每个外角的度数，也就是每次左转的角度。
【解析】
1. 计算正多边形的边数：
已知小亮共走了300m，每次沿直线前进10m，所以边数$ n = \frac{300}{10} = 30 $。
2. 求每次左转的角度：
因为正多边形的外角和为$ 360° $，且每次左转的角度就是正多边形的外角度数，所以每次左转的角度为$ \frac{360°}{30} = 12° $。
【答案】
$ 12° $
【知识点】
正多边形外角和、多边形边数计算
【点评】
本题考查正多边形外角和的实际应用，关键是将小亮的行走路线转化为正多边形模型，利用外角和恒为360°的性质求解，需要学生具备将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.7

10. 如图,小莹从A点出发,沿直线前进5 m后向左转$72°$,再沿直线前进5 m,又向左转$72°$……照这样走下去,他第一次回到出发点A时,共走路程为 m。

10.25

【分析】
首先，小莹每次沿直线前进相同距离后左转相同角度，回到出发点时的路线构成一个正多边形。我们需要利用多边形外角和定理来确定这个正多边形的边数：多边形的外角和为360°，已知每个外角为72°，用外角和除以单个外角的度数即可得到边数；再用边数乘以每条边的长度，就能算出总路程。
【解析】
1. 计算正多边形的边数：
因为多边形的外角和为360°，每次左转的角度72°就是该多边形的一个外角，所以边数 $ n = \frac{360°}{72°} = 5 $。
2. 计算总路程：
已知每次前进5m，正五边形有5条边，因此总路程为 $ 5×5 = 25 \, \mathrm{m} $。
【答案】
25
【知识点】
多边形外角和定理、正多边形性质
【点评】
本题考查多边形外角和的实际应用，解题关键是将实际行走路线转化为正多边形模型，理解左转角度即为多边形外角，运用外角和定理快速确定边数，进而计算总路程，体现了几何知识在实际问题中的转化与应用。
【难度系数】
0.6

11. 在四边形ABCD中,$∠A=140°,∠D=80°$。
(1)如图①,若$∠B=∠C$,试求出$∠C$的度数；
(2)如图②,若$∠ABC$的角平分线BE交DC于点E,且$BE// AD$,试求出$∠C$的度数；
(3)如图③,若$∠ABC$和$∠BCD$的角平分线交于点E,试求出$∠BEC$的度数。

自我反思
存在的问题：


改进的措施：

11.解:(1)$∠C=70^{\circ }$;(2)$∠C=60^{\circ }$;(3)$∠BEC=110^{\circ }$。

【分析】
本题围绕四边形内角和、平行线性质、角平分线性质展开，分三个小问逐步分析：
1. 第(1)问：利用四边形内角和为$360°$，结合已知$∠A$、$∠D$的度数，先求出$∠B$与$∠C$的和，再根据$∠B=∠C$的条件，即可算出$∠C$的度数；
2. 第(2)问：先根据平行线的性质（同旁内角互补、内错角相等）求出$∠ABE$和$∠BED$的度数，再结合角平分线的定义得到$∠ABC$的度数，最后利用四边形内角和求出$∠C$；
3. 第(3)问：先通过四边形内角和求出$∠ABC$与$∠BCD$的和，再根据角平分线的定义得到$∠EBC$与$∠ECB$的和，最后利用三角形内角和求出$∠BEC$的度数。
【解析】
(1) 因为四边形内角和为$360°$，已知$∠A=140°$，$∠D=80°$，且$∠B=∠C$，
所以$∠B+∠C=360°-∠A-∠D=360°-140°-80°=140°$，
又因为$∠B=∠C$，所以$∠C=\frac{1}{2}×140°=70°$；
(2) 因为$BE// AD$，
根据平行线的性质：同旁内角互补，得$∠A+∠ABE=180°$，所以$∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°$；
内错角相等，得$∠D=∠BED=80°$；
因为BE是$∠ABC$的角平分线，所以$∠ABC=2∠ABE=2×40°=80°$；
再根据四边形内角和为$360°$，可得$∠C=360°-∠A-∠D-∠ABC=360°-140°-80°-80°=60°$；
(3) 由四边形内角和为$360°$，得$∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D=360°-140°-80°=140°$；
因为BE、CE分别是$∠ABC$、$∠BCD$的角平分线，
所以$∠EBC=\frac{1}{2}∠ABC$，$∠ECB=\frac{1}{2}∠BCD$，
则$∠EBC+∠ECB=\frac{1}{2}(∠ABC+∠BCD)=\frac{1}{2}×140°=70°$；
在$△ BEC$中，根据三角形内角和为$180°$，得$∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-70°=110°$。
【答案】
(1)$∠C=70°$；(2)$∠C=60°$；(3)$∠BEC=110°$
【知识点】
四边形内角和、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题考查四边形与三角形的内角和、平行线及角平分线的性质，需要灵活运用这些基础几何性质，逐步推导计算，题目由浅入深，注重对基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.6