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2.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有6条对角线,则它的边数是(
A.6
B.7
C.8
D.9
D
)。A.6
B.7
C.8
D.9
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确多边形从一个顶点出发的对角线数量与边数的关系。我们知道，从n边形的一个顶点出发，不能与自身以及相邻的两个顶点连接对角线，因此可引出的对角线数量为(n-3)条。题目中给出从任何一个顶点出发都有6条对角线，我们只需根据这个关系列方程求解边数即可。
【解析】
设该多边形的边数为n。
根据多边形从一个顶点出发的对角线数量公式：从n边形的一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，
已知从该多边形任意一个顶点出发有6条对角线，因此列方程：
$ n - 3 = 6 $
解得：$ n = 9 $
所以这个多边形的边数是9，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多边形对角线公式
【点评】
本题考查多边形对角线的基本性质，属于基础题型。解题关键是牢记从n边形一个顶点出发的对角线数量为(n-3)条，理解公式的推导逻辑（排除自身及相邻两个顶点）就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确多边形从一个顶点出发的对角线数量与边数的关系。我们知道，从n边形的一个顶点出发，不能与自身以及相邻的两个顶点连接对角线，因此可引出的对角线数量为(n-3)条。题目中给出从任何一个顶点出发都有6条对角线，我们只需根据这个关系列方程求解边数即可。
【解析】
设该多边形的边数为n。
根据多边形从一个顶点出发的对角线数量公式：从n边形的一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，
已知从该多边形任意一个顶点出发有6条对角线，因此列方程：
$ n - 3 = 6 $
解得：$ n = 9 $
所以这个多边形的边数是9，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
多边形对角线公式
【点评】
本题考查多边形对角线的基本性质，属于基础题型。解题关键是牢记从n边形一个顶点出发的对角线数量为(n-3)条，理解公式的推导逻辑（排除自身及相邻两个顶点）就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3.在学习完多边形后,嘉淇将一个五边形沿如图所示的直线l剪掉一个角后,得到一个新多边形,下列说法正确的是(
A.这个新多边形有五条边
B.从这个新多边形的顶点A出发,最多可以画4条对角线
C.从顶点A出发的所有对角线将这个新多边形分成4个三角形
D.以上说法都不正确
C
)。A.这个新多边形有五条边
B.从这个新多边形的顶点A出发,最多可以画4条对角线
C.从顶点A出发的所有对角线将这个新多边形分成4个三角形
D.以上说法都不正确
答案
3.C
解析
【分析】
首先需要确定五边形沿直线l剪角后新多边形的边数：直线l与五边形的两条边相交且不经过顶点，剪去一个角后原五边形边数增加1，得到六边形。再结合多边形的对角线、分割三角形的规律逐个分析选项：
1. 选项A：新多边形是六边形，有6条边，因此A错误；
2. 选项B：对于n边形，从一个顶点出发最多可画$n-3$条对角线，六边形从顶点A出发最多可画$6-3=3$条对角线，因此B错误；
3. 选项C：对于n边形，从一个顶点出发的对角线可将多边形分成$n-2$个三角形，六边形从顶点A出发可分成$6-2=4$个三角形，因此C正确；
4. 选项D因C正确，故D错误。
【解析】
五边形沿直线l剪去一个角，直线l与五边形两条边相交且不经过顶点，得到的新多边形为六边形：
选项A：新多边形为六边形，有6条边，A错误；
选项B：根据多边形对角线规律，六边形从一个顶点出发的对角线数量为$n-3=6-3=3$条，B错误；
选项C：根据多边形分割三角形的规律，六边形从一个顶点出发的对角线可将其分成$n-2=6-2=4$个三角形，C正确；
选项D：由于C正确，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
多边形的对角线，多边形剪角的边数变化
【点评】
本题考查多边形的边数变化、对角线与分割三角形的性质，解题关键是先准确判断剪角后多边形的边数，再结合多边形的相关规律分析各选项。
【难度系数】
0.6
首先需要确定五边形沿直线l剪角后新多边形的边数：直线l与五边形的两条边相交且不经过顶点，剪去一个角后原五边形边数增加1，得到六边形。再结合多边形的对角线、分割三角形的规律逐个分析选项：
1. 选项A：新多边形是六边形，有6条边，因此A错误；
2. 选项B：对于n边形，从一个顶点出发最多可画$n-3$条对角线，六边形从顶点A出发最多可画$6-3=3$条对角线，因此B错误；
3. 选项C：对于n边形，从一个顶点出发的对角线可将多边形分成$n-2$个三角形，六边形从顶点A出发可分成$6-2=4$个三角形，因此C正确；
4. 选项D因C正确，故D错误。
【解析】
五边形沿直线l剪去一个角，直线l与五边形两条边相交且不经过顶点，得到的新多边形为六边形：
选项A：新多边形为六边形，有6条边，A错误；
选项B：根据多边形对角线规律，六边形从一个顶点出发的对角线数量为$n-3=6-3=3$条，B错误；
选项C：根据多边形分割三角形的规律，六边形从一个顶点出发的对角线可将其分成$n-2=6-2=4$个三角形，C正确；
选项D：由于C正确，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
多边形的对角线，多边形剪角的边数变化
【点评】
本题考查多边形的边数变化、对角线与分割三角形的性质，解题关键是先准确判断剪角后多边形的边数，再结合多边形的相关规律分析各选项。
【难度系数】
0.6
4.八边形从一个顶点出发有
5
条对角线,这些对角线把八边形分割成6
个三角形,八边形共有20
条对角线。答案
4.5 6 20
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：
1. 计算从一个顶点出发的对角线数量：多边形的一个顶点不能和自身、相邻的两个顶点连接对角线，所以n边形从一个顶点出发的对角线数为n-3，代入八边形的边数8即可计算。
2. 计算对角线分割成的三角形个数：从一个顶点引对角线，每一条对角线与顶点组合形成三角形，n边形被分割成的三角形个数为n-2，代入8求解。
3. 计算八边形总对角线数：利用多边形总对角线公式$\frac{n(n-3)}{2}$，将n=8代入公式计算即可。
【解析】
1. 从一个顶点出发的对角线数：
对于n边形，从一个顶点出发可引$(n-3)$条对角线，当$n=8$时，$8-3=5$（条）。
2. 分割成的三角形个数：
从一个顶点出发的对角线把n边形分成$(n-2)$个三角形，当$n=8$时，$8-2=6$（个）。
3. 总对角线数：
多边形总对角线公式为$\frac{n(n-3)}{2}$，当$n=8$时，$\frac{8×(8-3)}{2}=\frac{8×5}{2}=20$（条）。
【答案】
5 6 20
【知识点】
多边形对角线规律；多边形分三角形规律
【点评】
本题考查多边形对角线的基础计算，核心是牢记相关计算公式，通过代入边数即可快速求解，属于多边形性质的基础应用题型，有助于巩固对多边形基本特征的理解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分三步思考：
1. 计算从一个顶点出发的对角线数量：多边形的一个顶点不能和自身、相邻的两个顶点连接对角线，所以n边形从一个顶点出发的对角线数为n-3，代入八边形的边数8即可计算。
2. 计算对角线分割成的三角形个数：从一个顶点引对角线，每一条对角线与顶点组合形成三角形，n边形被分割成的三角形个数为n-2，代入8求解。
3. 计算八边形总对角线数：利用多边形总对角线公式$\frac{n(n-3)}{2}$，将n=8代入公式计算即可。
【解析】
1. 从一个顶点出发的对角线数：
对于n边形，从一个顶点出发可引$(n-3)$条对角线，当$n=8$时，$8-3=5$（条）。
2. 分割成的三角形个数：
从一个顶点出发的对角线把n边形分成$(n-2)$个三角形，当$n=8$时，$8-2=6$（个）。
3. 总对角线数：
多边形总对角线公式为$\frac{n(n-3)}{2}$，当$n=8$时，$\frac{8×(8-3)}{2}=\frac{8×5}{2}=20$（条）。
【答案】
5 6 20
【知识点】
多边形对角线规律；多边形分三角形规律
【点评】
本题考查多边形对角线的基础计算，核心是牢记相关计算公式，通过代入边数即可快速求解，属于多边形性质的基础应用题型，有助于巩固对多边形基本特征的理解。
【难度系数】
0.7
5.如果多边形的每个内角都等于$150°$,则它的边数为
12
。答案
5.12
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以从两个角度思考：
1. 利用多边形外角和定理：多边形的每个内角与相邻外角互补，先算出每个外角的度数，再结合多边形外角和恒为360°，用外角和除以单个外角度数即可得到边数。
2. 利用多边形内角和公式：设边数为n，n边形内角和为(n-2)×180°，已知每个内角为150°，则总内角和也可表示为150°n，据此列方程求解即可。两种方法中，利用外角和的计算更简便。
【解析】
方法一：利用多边形外角和定理
1. 计算单个外角的度数：
因为多边形的内角与相邻外角互补，所以每个外角的度数为 $180° - 150° = 30°$。
2. 计算边数：
由于任意多边形的外角和都为 $360°$，因此边数 $n = 360° ÷ 30° = 12$。
方法二：利用多边形内角和公式
1. 设该多边形的边数为 $n$，根据多边形内角和公式，其内角和为 $(n-2)×180°$。
2. 已知每个内角为 $150°$，则总内角和也可表示为 $150°n$，据此列方程：
$(n-2)×180° = 150°n$
3. 解方程：
$180n - 360 = 150n \\30n = 360 \ = 12$
【答案】
12
【知识点】
1. 多边形内角和公式
2. 多边形外角和定理
【点评】
本题考查多边形内角和与外角和的综合应用，两种解题方法各有特点，利用外角和定理计算更为快捷。解题时需熟练掌握多边形内角与外角的互补关系，以及内角和、外角和的核心性质，灵活选择合适方法求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以从两个角度思考：
1. 利用多边形外角和定理：多边形的每个内角与相邻外角互补，先算出每个外角的度数，再结合多边形外角和恒为360°，用外角和除以单个外角度数即可得到边数。
2. 利用多边形内角和公式：设边数为n，n边形内角和为(n-2)×180°，已知每个内角为150°，则总内角和也可表示为150°n，据此列方程求解即可。两种方法中，利用外角和的计算更简便。
【解析】
方法一：利用多边形外角和定理
1. 计算单个外角的度数：
因为多边形的内角与相邻外角互补，所以每个外角的度数为 $180° - 150° = 30°$。
2. 计算边数：
由于任意多边形的外角和都为 $360°$，因此边数 $n = 360° ÷ 30° = 12$。
方法二：利用多边形内角和公式
1. 设该多边形的边数为 $n$，根据多边形内角和公式，其内角和为 $(n-2)×180°$。
2. 已知每个内角为 $150°$，则总内角和也可表示为 $150°n$，据此列方程：
$(n-2)×180° = 150°n$
3. 解方程：
$180n - 360 = 150n \\30n = 360 \ = 12$
【答案】
12
【知识点】
1. 多边形内角和公式
2. 多边形外角和定理
【点评】
本题考查多边形内角和与外角和的综合应用，两种解题方法各有特点，利用外角和定理计算更为快捷。解题时需熟练掌握多边形内角与外角的互补关系，以及内角和、外角和的核心性质，灵活选择合适方法求解。
【难度系数】
0.8
6.【问题提出】
某校在暑期开展线上面对面读书交流活动,七年级一班的全体同学在自主完成阅读任务的同时,全班每两个同学都通过一次视频电话互相交流,共同提高,若每两名同学之间仅通过一次视频电话,如何求全班50名同学共通过多少次电话呢?
【模型构建】
用点$M_{1},M_{2},M_{3},··· ,M_{50}$分别表示第1,2,3,$···$,50名同学,把该班级人数n与视频通话次数S之间的关系用如图模型表示:
$n=2$ $n=3$ $n=4$ $n=5$ $n=6$
$S=1$ $S=3$ $S=6$ $S=10$ $S=$?
【问题解决】
(1)填写如图中第5个图中S的值为
(2)通过探索发现,通电话次数S与该班级人数n之间的关系式为
【问题拓展】
(3)若该班数学兴趣小组的同学,每两位同学之间互发一条微信,小莹统计全组共发送微信110条,则该班数学兴趣小组的人数是
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
某校在暑期开展线上面对面读书交流活动,七年级一班的全体同学在自主完成阅读任务的同时,全班每两个同学都通过一次视频电话互相交流,共同提高,若每两名同学之间仅通过一次视频电话,如何求全班50名同学共通过多少次电话呢?
【模型构建】
用点$M_{1},M_{2},M_{3},··· ,M_{50}$分别表示第1,2,3,$···$,50名同学,把该班级人数n与视频通话次数S之间的关系用如图模型表示:
$n=2$ $n=3$ $n=4$ $n=5$ $n=6$
$S=1$ $S=3$ $S=6$ $S=10$ $S=$?
【问题解决】
(1)填写如图中第5个图中S的值为
15
;(2)通过探索发现,通电话次数S与该班级人数n之间的关系式为
$S=\frac{n(n-1)}{2}$
,则当$n=50$时,对应的S=1225
;【问题拓展】
(3)若该班数学兴趣小组的同学,每两位同学之间互发一条微信,小莹统计全组共发送微信110条,则该班数学兴趣小组的人数是
11
人。自我反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
6.解:(1)15 (2)$S=\frac{n(n-1)}{2}$ 1225 (3)11
解析
【分析】
1. 第(1)问：观察图形对应的数值规律，n=2时S=1，n=3时S=1+2=3，n=4时S=1+2+3=6，n=5时S=1+2+3+4=10，以此类推，n=6时只需计算1到5的和即可得到S的值。
2. 第(2)问：从实际意义分析，n个同学中每个同学要和(n-1)个同学通话，但每一次通话被重复计算了2次，由此推导总通话次数的关系式，再代入n=50计算具体数值。
3. 第(3)问：互发微信是双向行为，每两人之间会发送2条微信，因此总微信数为n(n-1)，据此列方程求解人数即可。
【解析】
(1) 根据前面的规律，当$n=6$时：
$S=1+2+3+4+5=15$
(2) 推导通话次数与人数的关系式：
n个同学中，每个同学与其他$(n-1)$个同学通话，每一次通话被2个同学各计算一次，因此总通话次数$S=\frac{n(n-1)}{2}$。
当$n=50$时，代入关系式：
$S=\frac{50×(50-1)}{2}=\frac{50×49}{2}=1225$
(3) 设数学兴趣小组有$n$人，每两位同学互发一条微信，总微信数为$n(n-1)$，根据题意列方程：
$n(n-1)=110$
整理得：$n^2 - n - 110=0$
因式分解得：$(n-11)(n+10)=0$
解得：$n_1=11$，$n_2=-10$（人数不能为负数，舍去）
即该小组人数为11人。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15}$；(2) $\boldsymbol{S=\frac{n(n-1)}{2}}$，$\boldsymbol{1225}$；(3) $\boldsymbol{11}$
【自我反思】
存在的问题: 容易混淆单向通话与双向互发微信的计数逻辑，规律推导时严谨性不足；
改进的措施: 分类总结实际计数问题的单双向计算方法，推导公式时逐步分析重复计数的情况，通过同类题型训练巩固知识点。
【知识点】
规律探究、组合数应用、一元二次方程的应用
【点评】
本题以实际交流场景为载体，通过图形模型引导学生探究数量规律，将实际问题转化为数学问题。解题的关键是区分“单次通话”和“双向互发微信”的计数差异，既考查了归纳推理能力，也考查了方程的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：观察图形对应的数值规律，n=2时S=1，n=3时S=1+2=3，n=4时S=1+2+3=6，n=5时S=1+2+3+4=10，以此类推，n=6时只需计算1到5的和即可得到S的值。
2. 第(2)问：从实际意义分析，n个同学中每个同学要和(n-1)个同学通话，但每一次通话被重复计算了2次，由此推导总通话次数的关系式，再代入n=50计算具体数值。
3. 第(3)问：互发微信是双向行为，每两人之间会发送2条微信，因此总微信数为n(n-1)，据此列方程求解人数即可。
【解析】
(1) 根据前面的规律，当$n=6$时：
$S=1+2+3+4+5=15$
(2) 推导通话次数与人数的关系式：
n个同学中，每个同学与其他$(n-1)$个同学通话，每一次通话被2个同学各计算一次，因此总通话次数$S=\frac{n(n-1)}{2}$。
当$n=50$时，代入关系式：
$S=\frac{50×(50-1)}{2}=\frac{50×49}{2}=1225$
(3) 设数学兴趣小组有$n$人，每两位同学互发一条微信，总微信数为$n(n-1)$，根据题意列方程：
$n(n-1)=110$
整理得：$n^2 - n - 110=0$
因式分解得：$(n-11)(n+10)=0$
解得：$n_1=11$，$n_2=-10$（人数不能为负数，舍去）
即该小组人数为11人。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15}$；(2) $\boldsymbol{S=\frac{n(n-1)}{2}}$，$\boldsymbol{1225}$；(3) $\boldsymbol{11}$
【自我反思】
存在的问题: 容易混淆单向通话与双向互发微信的计数逻辑，规律推导时严谨性不足；
改进的措施: 分类总结实际计数问题的单双向计算方法，推导公式时逐步分析重复计数的情况，通过同类题型训练巩固知识点。
【知识点】
规律探究、组合数应用、一元二次方程的应用
【点评】
本题以实际交流场景为载体，通过图形模型引导学生探究数量规律，将实际问题转化为数学问题。解题的关键是区分“单次通话”和“双向互发微信”的计数差异，既考查了归纳推理能力，也考查了方程的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
