1. 已知下列条件：
① 三条边都相等的三角形；
② 三个内角都相等的三角形；
③ 一条边上的高与中线重合的三角形；
④ 有一个角为 $60^{\circ}$ 的等腰三角形。
其中能判定三角形为等边三角形的有()

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

1. C

①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个内角都相等的三角形，每个内角为$60^{\circ}$，是等边三角形；
③一条边上的高与中线重合的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形；
④有一个角为$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形。
能判定的有①②④，共3个。
C

2. 如图，在钝角三角形 $ABC$ 中，$∠ ABC$ 为钝角。先以点 $B$ 为圆心、$AB$ 的长为半径画弧，再以点 $C$ 为圆心、$AC$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $D$，连接 $AD$，与 $CB$ 的延长线交于点 $E$。下列结论中错误的是()


A.$CE$ 垂直平分 $AD$
B.$CE$ 平分 $∠ ACD$
C.$△ ABD$ 是等腰三角形
D.$△ ACD$ 是等边三角形

2. D

证明：由题意得，$BA = BD$，$CA = CD$。
在$△ ABC$和$△ DBC$中，$\{\begin{array}{l} BA = BD \\ CA = CD \\ BC = BC \end{array} $，$\therefore △ ABC ≌ △ DBC(SSS)$，$\therefore ∠ ACB = ∠ DCB$，即$CE$平分$∠ ACD$，B正确。
在$△ ACE$和$△ DCE$中，$\{\begin{array}{l} CA = CD \\ ∠ ACE = ∠ DCE \\ CE = CE \end{array} $，$\therefore △ ACE ≌ △ DCE(SAS)$，$\therefore AE = DE$，$∠ AEC = ∠ DEC = 90°$，$\therefore CE$垂直平分$AD$，A正确。
$\because BA = BD$，$\therefore △ ABD$是等腰三角形，C正确。
$\because CA = CD$，$△ ACD$是等腰三角形，但不一定是等边三角形，D错误。
结论中错误的是D。

3. 如图，在 $△ ABC$ 中，$AB = AC = 12$，$∠ BAC = 120^{\circ}$，点 $D$ 是边 $BC$ 上的任意一点，则 $AD$ 的长不可能是()


A.5
B.6
C.7
D.8

3. A

证明：过点$A$作$AE ⊥ BC$于点$E$。
在$△ ABC$中，$AB = AC = 12$，$∠ BAC = 120°$，
$\therefore ∠ B = ∠ C = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$AE = AB · \sin 30° = 12 × \frac{1}{2} = 6$。
$\because$点$D$是边$BC$上任意一点，$\therefore AD ≥ AE = 6$。
$\therefore AD$的长不可能是$5$。
A

4. 如图，一棵垂直于地面的树在一次强台风中从距离地面 $2m$ 处折断倒下，倒下部分与地面成 $30^{\circ}$ 角，则这棵树折断前的高度为。

4. 6 m

解：设树折断处为点$A$，树根部为点$B$，树梢着地点为点$C$。
已知$AB = 2\space m$，$∠ ACB = 30°$，$∠ ABC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\sin 30°=\frac{AB}{AC}$，则$AC=\frac{AB}{\sin 30°}=\frac{2}{\frac{1}{2}} = 4\space m$。
树折断前高度为$AB + AC=2 + 4=6\space m$。
6 m