【变式训练 1】 如图，在 $△ ABC$ 中，点 $D$ 是边 $AC$ 的中点，且 $BD ⊥ AC$。过点 $D$ 作 $DF ⊥ AB$ 于点 $F$，延长 $FD$ 交 $BC$ 的延长线于点 $E$，$∠ E = 30^{\circ}$。
(1) 求证：$△ ABC$ 是等边三角形；
(2) 判断线段 $AD$ 与 $CE$ 的大小关系，并说明理由。

(1)证明:
∵BD⊥AC，
点D是边AC的中点，
∴BD垂直平分AC。
∴AB=CB，
∴△ABC是等腰三角形。
∵EF⊥AB，
∴∠ABC+∠E=90°。
∵∠E=30°，
∴∠ABC=60°。
∴△ABC是等边三角形。
(2)解:AD=CE。理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°。
∵∠ACB=∠E+∠CDE，∠E=30°，
∴∠CDE=30°=∠E。
∴CD=CE。
∵点D是边AC的中点，
∴AD=CD。
∴AD=CE。

例 2 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$∠ A = 30^{\circ}$，$AB$ 的垂直平分线分别交 $AB$，$AC$ 于点 $D$，$E$，连接 $CD$。
(1) 已知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，请判断 $△ BCD$ 的形状，并说明理由。
(2) 若 $CE = 3$，求 $AC$ 的长。

(1) $△BCD$是等边三角形。理由如下：
$\because DE$垂直平分$AB$，$\therefore D$为$AB$中点。
$\because ∠ACB=90^{\circ}$，$\therefore CD=BD=\frac{1}{2}AB$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
$\because ∠A=30^{\circ}$，$\therefore ∠ABC=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
$\therefore △BCD$是等边三角形。
(2) $\because DE$垂直平分$AB$，$\therefore ∠ADE=90^{\circ}$。
$\because ∠A=30^{\circ}$，$\therefore ∠AED=60^{\circ}$，$AE=2DE$（直角三角形中$30^{\circ}$角所对直角边等于斜边一半）。
$\because △BCD$是等边三角形，$\therefore ∠BCD=60^{\circ}$。
$\therefore ∠ACD=∠ACB - ∠BCD=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
$\because ∠AED=∠EDC + ∠ACD$，$\therefore ∠EDC=60^{\circ}-30^{\circ}=30^{\circ}$。
$\therefore ∠ACD=∠EDC$，$\therefore DE=CE=3$。
$\therefore AE=2DE=6$。
$\therefore AC=AE + CE=6 + 3=9$。