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5. 如图，先将正方形纸片 $ABCD$ 对折，折痕为 $MN$，再把点 $B$ 折叠在折痕 $MN$ 上，折痕为 $AE$，点 $B$ 在 $MN$ 上的对应点为 $H$，则 $∠ BAH$ 的度数为
30°
。答案
5. 30°
解析
证明：连接BH。
∵正方形纸片ABCD对折，折痕为MN，
∴MN垂直平分AD、BC，N为BC中点。
∵点B折叠在MN上对应点为H，折痕为AE，
∴AH=AB，BH⊥AE，设垂足为O，则BO=OH。
∵N为BC中点，MN⊥BC，
∴BH=CH（线段垂直平分线上的点到两端距离相等）。
设正方形边长AB=2a，则AH=AB=2a，MN为对称轴，设AD中点为M，则AM=a。
在Rt△AMH中，AM=a，AH=2a，
∴sin∠AHM=AM/AH=a/(2a)=1/2，
∴∠AHM=30°。
∵MN//AB，
∴∠HAB=∠AHM=30°。
即∠BAH=30°。
30°
∵正方形纸片ABCD对折，折痕为MN，
∴MN垂直平分AD、BC，N为BC中点。
∵点B折叠在MN上对应点为H，折痕为AE，
∴AH=AB，BH⊥AE，设垂足为O，则BO=OH。
∵N为BC中点，MN⊥BC，
∴BH=CH（线段垂直平分线上的点到两端距离相等）。
设正方形边长AB=2a，则AH=AB=2a，MN为对称轴，设AD中点为M，则AM=a。
在Rt△AMH中，AM=a，AH=2a，
∴sin∠AHM=AM/AH=a/(2a)=1/2，
∴∠AHM=30°。
∵MN//AB，
∴∠HAB=∠AHM=30°。
即∠BAH=30°。
30°
6. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$∠ B = 30^{\circ}$，$AD$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$。如果 $AD = 10$，点 $P$ 为 $AB$ 上的动点，那么 $PD$ 的最小值为
5
。答案
6. 5
解析
证明：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$∠ B=30^{\circ}$，
$\therefore ∠ BAC=60^{\circ}$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30^{\circ}$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ C=90^{\circ}$，$∠ CAD=30^{\circ}$，$AD=10$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AD=5$。
$\because$点$P$为$AB$上的动点，
$\therefore PD$的最小值为点$D$到$AB$的距离。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DC⊥ AC$，
$\therefore$点$D$到$AB$的距离等于$CD=5$，
即$PD$的最小值为$5$。
5
$\therefore ∠ BAC=60^{\circ}$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30^{\circ}$。
在$Rt△ ACD$中，$∠ C=90^{\circ}$，$∠ CAD=30^{\circ}$，$AD=10$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AD=5$。
$\because$点$P$为$AB$上的动点，
$\therefore PD$的最小值为点$D$到$AB$的距离。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DC⊥ AC$，
$\therefore$点$D$到$AB$的距离等于$CD=5$，
即$PD$的最小值为$5$。
5
7. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB // CD$，$CA$ 平分 $∠ BCD$，$AM ⊥ CD$ 于点 $M$，$BN ⊥ AC$ 于点 $N$，连接 $MN$。
(1) 求证：$AB = BC$；
(2) 若 $∠ CAB = 30^{\circ}$，求证：$△ AMN$ 是等边三角形。
(1) 求证：$AB = BC$；
(2) 若 $∠ CAB = 30^{\circ}$，求证：$△ AMN$ 是等边三角形。
答案
7. 证明:(1)
∵AB//CD，
∴∠BAC=∠ACD。
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA=∠ACD。
∴∠BCA=∠BAC。
∴AB=BC。
(2)
∵∠CAB=30°，
∴∠BCA=∠ACD=∠CAB=30°。
∵AM⊥CD于点M，
∴∠MAC+∠ACD=90°，AM=$\frac{1}{2}$AC。
∴∠MAC=60°。
∵AB=BC，BN⊥AC于点N，
∴AN=$\frac{1}{2}$AC。
∴AN=AM。
∴△AMN是等腰三角形。
又
∵∠MAC=60°，
∴△AMN是等边三角形。
∵AB//CD，
∴∠BAC=∠ACD。
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCA=∠ACD。
∴∠BCA=∠BAC。
∴AB=BC。
(2)
∵∠CAB=30°，
∴∠BCA=∠ACD=∠CAB=30°。
∵AM⊥CD于点M，
∴∠MAC+∠ACD=90°，AM=$\frac{1}{2}$AC。
∴∠MAC=60°。
∵AB=BC，BN⊥AC于点N，
∴AN=$\frac{1}{2}$AC。
∴AN=AM。
∴△AMN是等腰三角形。
又
∵∠MAC=60°，
∴△AMN是等边三角形。
8. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ B = 30^{\circ}$，$AD$ 是边 $BC$ 上的中线，且 $AD = \dfrac{1}{2}BC$，$AE ⊥ BC$ 于点 $E$。
(1) 求 $∠ CAB$ 的度数；
(2) 若 $CE = \sqrt{3}$，求 $AB$ 的长。
(1) 求 $∠ CAB$ 的度数；
(2) 若 $CE = \sqrt{3}$，求 $AB$ 的长。
答案
8. 解:(1)
∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD。
又
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=BD=CD。
∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC。
∵∠B=30°，
∴∠BAD=∠B=30°。
∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=60°。
∴∠DAC=∠C=$\frac{180°-∠ADC}{2}$=60°。
∴∠CAB=∠BAD+∠DAC=30°+60°=90°。
(2)
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=∠AEB=90°。
由(1)得∠CAB=90°。
∵∠B=30°，
∴∠BAE=60°，
∴∠EAC=30°。
∵CE=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴BC=4$\sqrt{3}$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得
BC²=AB²+AC²，即(4$\sqrt{3}$)²=AB²+(2$\sqrt{3}$)²，
∴AB²=36，故AB=6。
∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD。
又
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=BD=CD。
∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC。
∵∠B=30°，
∴∠BAD=∠B=30°。
∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=60°。
∴∠DAC=∠C=$\frac{180°-∠ADC}{2}$=60°。
∴∠CAB=∠BAD+∠DAC=30°+60°=90°。
(2)
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=∠AEB=90°。
由(1)得∠CAB=90°。
∵∠B=30°，
∴∠BAE=60°，
∴∠EAC=30°。
∵CE=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴BC=4$\sqrt{3}$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得
BC²=AB²+AC²，即(4$\sqrt{3}$)²=AB²+(2$\sqrt{3}$)²，
∴AB²=36，故AB=6。
9. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 30^{\circ}$，线段 $AC$ 的垂直平分线分别交 $AC$，$BC$ 于点 $D$，$E$，点 $O$ 在 $DE$ 上，且 $∠ OAB = ∠ OBA$。
(1) 求证：$△ OAB$ 是等边三角形；
(2) 若 $OD = 2$，$OE = 4$，求 $BE$ 的长。
(1) 求证：$△ OAB$ 是等边三角形；
(2) 若 $OD = 2$，$OE = 4$，求 $BE$ 的长。
答案
9. (1)证明:
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴OA=OC。
∴∠OAC=∠OCA。
∵∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB。
∴△OAB是等腰三角形。
又
∵OC=OA，
∴OC=OB。
∴∠OBC=∠OCB。
∴∠OAC+∠OBC=∠OCA+∠OCB=30°。
∵∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°，
∴∠OAB+∠OBA=180°-30°-30°=120°。
∴∠OAB=∠OBA=60°。
∴△OAB是等边三角形。
(2)解:如图，过点O作OF⊥BC于点F。
在Rt△CDE中，
∵∠ACB=30°，
DE=OD+OE=6，
∴CE=2DE=2×6=12，∠CED=60°。
∴∠EOF=30°。
∴EF=$\frac{1}{2}$OE=2。
∴CF=CE-EF=12-2=10。
∵OB=OC，OF⊥BC，
∴BC=2CF=20。
∴BE=BC-CE=20-12=8。
