例 2
已知：如图，AB = DC，BD = CA。求证：△AED 是等腰三角形。

证明：
在△ABD和△DCA中，
$\begin{cases}AB = DC,\\BD = CA,\\AD = DA.\end{cases}$
∴△ABD ≌ △DCA（SSS）。
∴∠ADB = ∠DAC（全等三角形对应角相等）。
∴$AE=DE$（等角对等边）。
∴△AED是等腰三角形。

【变式训练 2】 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上。求证：△BEC 是等腰三角形。

证明：
∵AB = AC，
∴△ABC 是等腰三角形。
又
∵点 D 是 BC 的中点，
∴AD 平分∠BAC，
∴∠BAE = ∠CAE。
在△ABE 和△ACE 中，
∵$\{ \begin{array} { l } { A B = A C, } \\ { ∠ B A E = ∠ C A E, } \\ { A E = A E, } \end{array} $
∴△ABE≌△ACE(SAS)，
∴BE = CE，
∴△BEC 是等腰三角形。

1. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 AB = AC。工人师傅在焊接立柱时，只找到 BC 的中点 D，就说竖梁 AD 垂直于横梁 BC。工人师傅这种操作方法的依据是()


A.等边对等角
B.等角对等边
C.垂直平分线的性质
D.等腰三角形“三线合一”

1. D

2. 如图，在等腰△ABC 中，AB = AC，下列条件中不能说明 BD = CD 的是()


A.AD ⊥ BC
B.∠B = ∠C
C.∠BAD = ∠CAD
D.△ABD ≌ △ACD

2. B

在等腰△ABC中，AB=AC。
选项A：AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一，可得BD=CD。
选项B：∠B=∠C，这是等腰三角形的性质，不能直接说明BD=CD。
选项C：∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，根据等腰三角形三线合一，可得BD=CD。
选项D：△ABD≌△ACD，全等三角形对应边相等，可得BD=CD。
B

3. 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 40°，点 D 为直线 BC 上异于 B，C 的一点。若△ABD 是等腰三角形，则∠ADB 的度数不可能是()


A.35°
B.40°
C.45°
D.55°

3. C

∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-40°)/2=70°。
情况1：点D在BC延长线上
若AB=AD，则∠ABD=∠ADB=70°；
若AB=BD，则∠BAD=(180°-70°)/2=55°，∠ADB=180°-70°-55°=55°；
若AD=BD，则∠BAD=∠ABD=70°，∠ADB=180°-70°×2=40°。
情况2：点D在CB延长线上
若AD=AB，则∠ABD=180°-70°=110°，∠ADB=(180°-110°)/2=35°；
若AD=BD，则∠BAD=∠ABD=110°（舍，∠BAC=40°矛盾）；
若AB=BD，则∠ADB=∠BAC/2=20°（选项未涉及）。
综上，∠ADB可能为35°、40°、55°、70°、20°，不可能为45°。
C

4. 如图，在△AOC 中，以点 O 为圆心、OA 为半径画弧，分别交 AC，OC 于点 D，B。若 CD = OA，∠O = 72°，则∠OAC = 。

4. $72 ^ { \circ }$

解：设 $OA = OB = OD = x$，$∠ OAC = α$。
在$△ AOC$中，$∠ O = 72°$，则$∠ ACO = 180° - 72° - α = 108° - α$。
因为$OA = OD$，所以$∠ ODA = ∠ OAC = α$，则$∠ ADO = α$，$∠ ODB = 180° - α$。
又因为$CD = OA = x$，所以$CD = OD = x$，故$△ CDO$中，$∠ DCO = ∠ DOC$。
$∠ DOC = ∠ O = 72°$，所以$∠ DCO = 72°$，即$108° - α = 72°$，解得$α = 36°$。
$72°$