1. (2024·泰安)如图,直线$l// m$,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,若$∠ABE=21^{\circ }$,则$∠ACD$的度数是 ()

A.$45^{\circ }$
B.$39^{\circ }$
C.$29^{\circ }$
D.$21^{\circ }$

1. B

2. 如图,在等边三角形ABC中,BD平分$∠ABC$交AC于点D,点F在BC上,连接DF,$BD=BF$,则$∠BFD$的度数是 ()

A.$60^{\circ }$
B.$65^{\circ }$
C.$75^{\circ }$
D.$80^{\circ }$

2. C

证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°。
∵BD=BF，
∴△BDF是等腰三角形，∠BDF=∠BFD。
在△BDF中，∠DBC+∠BDF+∠BFD=180°，
即30°+2∠BFD=180°，
解得∠BFD=75°。
C

3. 如图,$△ABC$是等边三角形,点B,C,D,E在同一条直线上,且$CG=CD,DF=DE$,则$∠E$的度数为.

3. 15°

证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵点B,C,D,E共线，
∴∠ACD=180°-∠ACB=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=∠CGD=(180°-∠ACD)/2=(180°-120°)/2=30°，
∵∠CDG是△DEF的外角，
∴∠CDG=∠E+∠DFE，
∵DF=DE，
∴∠E=∠DFE，
∴∠E=∠CDG/2=30°/2=15°.
15°

4. (新情境·现实生活)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA的方向各剪一刀,则剪下的$△DEF$的周长是.

4. 6

证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，BC=6．
∵E，F是BC上的三等分点，
∴BE=EF=FC=2．
∵DE//BA，DF//CA，
∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°．
∴△DEF是等边三角形．
∴△DEF的周长=3EF=3×2=6．
6

5. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C=90^{\circ }$,点D在线段BC上,且$∠B=30^{\circ },∠ADC=60^{\circ },DC=3$,则BD的长度为.

5. 6

解：在$Rt\triangle ADC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle ADC=60^{\circ}$，$DC=3$，
$\tan\angle ADC=\frac{AC}{DC}$，
$\tan60^{\circ}=\frac{AC}{3}$，
$AC=3\tan60^{\circ}=3\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle B=30^{\circ}$，
$\tan\angle B=\frac{AC}{BC}$，
$\tan30^{\circ}=\frac{3\sqrt{3}}{BC}$，
$BC=\frac{3\sqrt{3}}{\tan30^{\circ}}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=9$。
$BD=BC - DC=9 - 3=6$。
6

6. (2023·荆州)如图,BD是等边三角形ABC的中线,以点D为圆心,DB长为半径画弧,交BC的延长线于点E,连接DE.求证:$CD=CE$.

6.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB，∠ACB=60°。
∵BD是△ABC的中线，
∴BD⊥AC，
∴在Rt△BDC中，∠DBC=30°。根据画图痕迹，得BD=DE，
∴∠E=∠DBC=30°。
∵∠ACB是△DCE的外角，
∴∠ACB=∠CDE+∠E，
∴∠CDE=30°，
∴∠E=∠CDE，
∴CD=CE

7. 如图,P是等边三角形ABC的边AB上的一点(点P不与点A,B重合),则在以线段CP,BP,AP为边的三角形中,最大的内角的度数为 ()

A.$90^{\circ }$
B.$100^{\circ }$
C.$110^{\circ }$
D.$120^{\circ }$

7. D 解析：过点P作PE//BC交AC于点E，可证△AEP是等边三角形，则△CEP就是以线段CP，BP，AP为边的三角形，其中最大的内角∠CEP的度数为120°。