7. (新考法·探究题)如图,M,N为$4×4$的方格纸中格点上的两点,若以MN为边,在方格纸中取一点P(点P在格点上),使得$\triangle MNP$为等腰三角形,则点P的个数为 ()

A.3
B.4
C.5
D.6

7.C

解：
1. 以M为顶点，MN为腰：在格点中找到与N关于MN垂直平分线对称及MN延长线上等长点，有2个；
2. 以N为顶点，MN为腰：同理，在格点中找到与M关于MN垂直平分线对称及NM延长线上等长点，有2个；
3. 以MN为底边：作MN垂直平分线，格点中找到线上点，有1个。
共2+2+1=5个。答案：C

8. (2024·广州)如图,在$\triangle ABC$中,$∠A = 90^{\circ}$,$AB = AC = 6$,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,$AE = CF$,则四边形AEDF的面积为.
]

8.9

证明：连接AD。
∵∠A=90°，AB=AC=6，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°，
BC=$\sqrt{AB^2 + AC^2}=\sqrt{6^2 + 6^2}=6\sqrt{2}$。
∵D为BC中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=3$\sqrt{2}$，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，AD=BD=CD。
∵AE=CF，∠EAD=∠C=45°，AD=CD，
∴△AED≌△CFD(SAS)。
∴S_△AED=S_△CFD。
∴S_{四边形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC。
∵S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×6×6$=9，
∴四边形AEDF的面积为9。
9

9. (2023·丽水)如图,在$\triangle ABC$中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,$∠B = ∠ADB$.若$AB = 4$,则DC的长为.
]

9.4

证明：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，∠AED=∠CED=90°，AE=CE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AD=DC。
∵∠B=∠ADB，AB=4，
∴AB=AD=4（等角对等边），
∴DC=AD=4。
4

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC = 5$,D是BC上的点,$DE// AB$交AC于点E,$DF// AC$交AB于点F,那么四边形AEDF的周长为.

10.10

解：
∵ $AB = AC = 5$，
∴ $\triangle ABC$ 是等腰三角形，$\angle B = \angle C$。
∵ $DE // AB$，$DF // AC$，
∴ 四边形 $AEDF$ 是平行四边形，$\angle EDC = \angle B$，$\angle FDB = \angle C$。
∵ $\angle B = \angle C$，
∴ $\angle EDC = \angle C$，$\angle FDB = \angle B$，
∴ $DE = EC$，$DF = FB$。
∵ 四边形 $AEDF$ 是平行四边形，
∴ $AF = DE$，$AE = DF$，
∴ 四边形 $AEDF$ 的周长 $= 2(AF + AE) = 2(FB + AE) = 2(AB) = 2 × 5 = 10$。
10

11. 如图,在四边形ABCD中,$AD = AB$,$∠ADC = ∠ABC$.求证:$CD = CB$.

11.连接BD.
∵AD = AB,
∴∠ADB = ∠ABD.
∵∠ADC = ∠ABC,
∴∠ADC - ∠ADB = ∠ABC - ∠ABD,即∠BDC = ∠DBC,
∴CD = CB

12. 如图,在锐角三角形ABC中,E是AB边上一点,$BE = CE$,$AD⊥BC$于点D,AD与EC交于点G.求证:
(1)$∠BEC = 2∠AGE$;
(2)$\triangle AEG$是等腰三角形.
]

12.(1)如图,过点E作EF⊥BC于点F.
∵BE = CE,EF⊥BC,
∴∠CEF = ∠BEF = $\frac{1}{2}$∠BEC.
∵EF⊥BC,AD⊥BC,
∴EF//AD,
∴∠CEF = ∠AGE,
∴∠AGE = $\frac{1}{2}$∠BEC,即∠BEC = 2∠AGE　　(2)由(1),得EF//AD,
∴∠BEF = ∠BAD,∠CEF = ∠AGE.
∵∠CEF = ∠BEF,
∴∠AGE = ∠BAD,
∴EA = EG,
∴△AEG是等腰三角形