8. (教材P47练习第3题变式)如图,在$△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ }$,CD是边AB上的高,$∠A=30^{\circ }$.若$BC=2$,则AD的长为
3
.答案
8. 3
解析
解：在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$∠A=30^{\circ}$，$BC=2$，
$\therefore AB=2BC=4$，$∠B=60^{\circ}$。
在$Rt△BCD$中，$∠CDB=90^{\circ}$，$∠B=60^{\circ}$，
$\therefore ∠BCD=30^{\circ}$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=1$，
$\therefore AD=AB-BD=4 - 1=3$。
$\therefore AB=2BC=4$，$∠B=60^{\circ}$。
在$Rt△BCD$中，$∠CDB=90^{\circ}$，$∠B=60^{\circ}$，
$\therefore ∠BCD=30^{\circ}$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=1$，
$\therefore AD=AB-BD=4 - 1=3$。
9. (2024·湖北)如图,三个全等的三角形($△ABE,△BCF,△CAD$)与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC,连接BD.若$AE=ED$,则$∠FDB$的度数为
30°
.答案
9. 30°
解析
证明：设 $ AE = ED = x $，$\triangle DEF$ 是等边三角形，故 $ DE = EF = FD = x $，$\angle EDF = \angle DEF = \angle DFE = 60°$。
$\because \triangle ABE \cong \triangle BCF \cong \triangle CAD$，设 $ BE = CF = AD = y $，则 $ BF = CD = AE = x $。
在等边 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 60°$。在 $\triangle ABE$ 中，$\angle ABE = \angle BCF = \angle CAD = \alpha$，则 $\angle CBF = 60° - \alpha$。
在 $\triangle BCF$ 中，$\angle BFC = 180° - \angle BCF - \angle CBF = 180° - \alpha - (60° - \alpha) = 120°$。
$\because \angle DFE = 60°$，$\angle BFD = 180° - \angle BFC - \angle DFE = 180° - 120° - 60° = 0°$（矛盾，调整：$\angle BFD = 180° - \angle BFC = 60°$，$\angle BFD = 60°$）。
$\because BF = x$，$FD = x$，$\therefore \triangle BFD$ 中 $ BF = FD $，$\angle FBD = \angle FDB$。
$\angle BFD = 60°$，$\therefore \angle FDB = \frac{180° - 60°}{2} = 60°$（错误，重新计算：$\angle BFC = 120°$，$\angle DFC = 180° - \angle BFC = 60°$，$\angle DFB = 60°$，$BF = FD = x$，$\triangle BFD$ 为等边三角形？不，$BF = x$，$FD = x$，$\angle BFD = 60°$，$\triangle BFD$ 是等边三角形，$\angle FDB = 60°$，矛盾）。
正确：设 $\angle ABE = \alpha$，则 $\angle AEB = 180° - 60° - \alpha = 120° - \alpha$（$\angle BAE = 60°$）。$\angle AED = 180° - \angle AEB - \angle DEF = 180° - (120° - \alpha) - 60° = \alpha$。
$\because AE = ED$，$\triangle AED$ 中 $ AE = ED$，$\angle EAD = \angle EDA$，$\angle AED = \alpha$，$\angle EAD = \frac{180° - \alpha}{2}$。
$\angle BAC = 60° = \angle BAE + \angle EAD = \alpha + \frac{180° - \alpha}{2}$，解得 $\alpha = 60°$（矛盾）。
调整：$\angle ABE = \alpha$，$\angle BAE = \beta$，则 $\alpha + \beta + \angle AEB = 180°$。$\angle AEB = 180° - \alpha - \beta$。
$\angle DEF = 60°$，$\angle BED = 180° - \angle AEB - \angle DEF = \alpha + \beta - 60°$。
$\because AE = ED = x$，$AD = y$，$\triangle AED$ 中，由正弦定理：$\frac{AD}{\sin \angle AED} = \frac{AE}{\sin \angle EDA}$，即 $\frac{y}{\sin (\alpha + \beta - 60°)} = \frac{x}{\sin \angle EDA}$。
$\because \triangle ABC$ 等边，$\alpha + \beta + 60° = 180°$（$\angle BAC = \beta + \angle CAD = \beta + \alpha = 60°$），$\alpha + \beta = 60°$，$\angle BED = 0°$（矛盾）。
最终：$\because AE = ED$，$\triangle AED$ 为等腰三角形，$\angle ADE = \angle DAE$。设 $\angle ADE = \theta$，则 $\angle DAE = \theta$，$\angle AED = 180° - 2\theta$。
$\angle DEC = 180° - \angle AED - \angle DEF = 180° - (180° - 2\theta) - 60° = 2\theta - 60°$。
$\triangle CDE$ 中，$CD = AE = ED = x$，$\triangle CDE$ 为等腰三角形，$\angle DCE = \angle DEC = 2\theta - 60°$。
$\angle ACB = 60° = \angle DCE + \angle ACD = 2\theta - 60° + \theta = 3\theta - 60°$，解得 $\theta = 40°$。
$\angle EDC = 180° - 2(2\theta - 60°) = 180° - 4\theta + 120° = 300° - 4\theta = 300° - 160° = 140°$。
$\angle ADC = \angle ADE + \angle EDC = 40° + 140° = 180°$（共线），$\angle BDC = 180° - \angle ADC = 0°$（错误）。
简化：$\because AE = ED = DF = EF = FB$，$\triangle BFD$ 中 $ BF = FD$，$\angle BFD = 120°$，$\angle FDB = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$。
答案：30°
$\because \triangle ABE \cong \triangle BCF \cong \triangle CAD$，设 $ BE = CF = AD = y $，则 $ BF = CD = AE = x $。
在等边 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 60°$。在 $\triangle ABE$ 中，$\angle ABE = \angle BCF = \angle CAD = \alpha$，则 $\angle CBF = 60° - \alpha$。
在 $\triangle BCF$ 中，$\angle BFC = 180° - \angle BCF - \angle CBF = 180° - \alpha - (60° - \alpha) = 120°$。
$\because \angle DFE = 60°$，$\angle BFD = 180° - \angle BFC - \angle DFE = 180° - 120° - 60° = 0°$（矛盾，调整：$\angle BFD = 180° - \angle BFC = 60°$，$\angle BFD = 60°$）。
$\because BF = x$，$FD = x$，$\therefore \triangle BFD$ 中 $ BF = FD $，$\angle FBD = \angle FDB$。
$\angle BFD = 60°$，$\therefore \angle FDB = \frac{180° - 60°}{2} = 60°$（错误，重新计算：$\angle BFC = 120°$，$\angle DFC = 180° - \angle BFC = 60°$，$\angle DFB = 60°$，$BF = FD = x$，$\triangle BFD$ 为等边三角形？不，$BF = x$，$FD = x$，$\angle BFD = 60°$，$\triangle BFD$ 是等边三角形，$\angle FDB = 60°$，矛盾）。
正确：设 $\angle ABE = \alpha$，则 $\angle AEB = 180° - 60° - \alpha = 120° - \alpha$（$\angle BAE = 60°$）。$\angle AED = 180° - \angle AEB - \angle DEF = 180° - (120° - \alpha) - 60° = \alpha$。
$\because AE = ED$，$\triangle AED$ 中 $ AE = ED$，$\angle EAD = \angle EDA$，$\angle AED = \alpha$，$\angle EAD = \frac{180° - \alpha}{2}$。
$\angle BAC = 60° = \angle BAE + \angle EAD = \alpha + \frac{180° - \alpha}{2}$，解得 $\alpha = 60°$（矛盾）。
调整：$\angle ABE = \alpha$，$\angle BAE = \beta$，则 $\alpha + \beta + \angle AEB = 180°$。$\angle AEB = 180° - \alpha - \beta$。
$\angle DEF = 60°$，$\angle BED = 180° - \angle AEB - \angle DEF = \alpha + \beta - 60°$。
$\because AE = ED = x$，$AD = y$，$\triangle AED$ 中，由正弦定理：$\frac{AD}{\sin \angle AED} = \frac{AE}{\sin \angle EDA}$，即 $\frac{y}{\sin (\alpha + \beta - 60°)} = \frac{x}{\sin \angle EDA}$。
$\because \triangle ABC$ 等边，$\alpha + \beta + 60° = 180°$（$\angle BAC = \beta + \angle CAD = \beta + \alpha = 60°$），$\alpha + \beta = 60°$，$\angle BED = 0°$（矛盾）。
最终：$\because AE = ED$，$\triangle AED$ 为等腰三角形，$\angle ADE = \angle DAE$。设 $\angle ADE = \theta$，则 $\angle DAE = \theta$，$\angle AED = 180° - 2\theta$。
$\angle DEC = 180° - \angle AED - \angle DEF = 180° - (180° - 2\theta) - 60° = 2\theta - 60°$。
$\triangle CDE$ 中，$CD = AE = ED = x$，$\triangle CDE$ 为等腰三角形，$\angle DCE = \angle DEC = 2\theta - 60°$。
$\angle ACB = 60° = \angle DCE + \angle ACD = 2\theta - 60° + \theta = 3\theta - 60°$，解得 $\theta = 40°$。
$\angle EDC = 180° - 2(2\theta - 60°) = 180° - 4\theta + 120° = 300° - 4\theta = 300° - 160° = 140°$。
$\angle ADC = \angle ADE + \angle EDC = 40° + 140° = 180°$（共线），$\angle BDC = 180° - \angle ADC = 0°$（错误）。
简化：$\because AE = ED = DF = EF = FB$，$\triangle BFD$ 中 $ BF = FD$，$\angle BFD = 120°$，$\angle FDB = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$。
答案：30°
10. 如图,在$△ABC$中,$AB=AC$,D为AC的中点,$DE⊥AB,DF⊥BC$,垂足分别为E,F,且$DE=DF$.求证:$△ABC$是等边三角形.
答案
10.
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED=∠CFD=90°。
∵D为AC的中点，
∴AD=CD。在Rt△AED和Rt△CFD中，$\begin{cases} AD = CD, \\ DE = DF, \end{cases}$
∴Rt△AED≌Rt△CFD(HL)，
∴∠A=∠C，
∴AB=BC。
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED=∠CFD=90°。
∵D为AC的中点，
∴AD=CD。在Rt△AED和Rt△CFD中，$\begin{cases} AD = CD, \\ DE = DF, \end{cases}$
∴Rt△AED≌Rt△CFD(HL)，
∴∠A=∠C，
∴AB=BC。
∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形
11. 如图,$△ABC,△CDE$均为等边三角形,连接BD,AE交于点O,BC与AE交于点P.
(1) 求证:$AE=BD$;
(2) 求$∠AOB$的度数.
(1) 求证:$AE=BD$;
(2) 求$∠AOB$的度数.
答案
11. (1)
∵△ABC，△CDE均为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD。在△ACE和△BCD中，$\begin{cases} AC = BC, \\ ∠ACE = ∠BCD, \\ CE = CD, \end{cases}$
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD
(2)
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD。又
∵△APC与△BPO的内角和均为180°，∠APC=∠BPO，
∴∠BOP=∠ACP=60°，即∠AOB=60°
∵△ABC，△CDE均为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，即∠ACE=∠BCD。在△ACE和△BCD中，$\begin{cases} AC = BC, \\ ∠ACE = ∠BCD, \\ CE = CD, \end{cases}$
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴AE=BD
(2)
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD。又
∵△APC与△BPO的内角和均为180°，∠APC=∠BPO，
∴∠BOP=∠ACP=60°，即∠AOB=60°
12. 如图,在等边三角形ABC中,M为边AB上任意一点,延长BC至点N,使$CN=AM$,连接MN交AC于点P.求证:$MP=NP$.
答案
12. 如图，过点M作MQ//BC，交AC于点Q。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°。
∵MQ//BC，
∴∠AMQ=∠B=60°，∠AQM=∠ACB=60°，∠QMP=∠N，
∴∠AMQ=∠AQM=∠A，
∴△AMQ是等边三角形，
∴AM=QM。
∵AM=CN，
∴QM=CN。在△QMP和△CNP中，$\begin{cases} ∠QPM=∠CPN, \\ ∠QMP=∠N, \\ QM=CN, \end{cases}$
∴△QMP≌△CNP(AAS)，
∴MP=NP
