20. 如图 9，$ A D $，$ B C $ 相交于点 $ O $，$ A B = C D $。请你添加一个条件使得 $ \triangle A O B \cong \triangle C O D $，并说明你的理由。

【解析】：本题可根据全等三角形的判定定理添加合适的条件。
全等三角形有以下$5$个判定定理：
$SSS$（边边边）：三边对应相等的的三角形是全等三角形。
$SAS$（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。
$ASA$（角边角）：两角及其夹边相等的三角形全等。
$AAS$（角角边）：两角及其一角的对边相等的三角形全等。
$RHS$（直角、斜边、直角边）：在一对直角三角形中，斜边及其另一条直角边相等的三角形全等。
已知$AB = CD$，$\angle AOB=\angle COD$（对顶角相等），可添加$\angle A=\angle C$。
在$\triangle AOB$和$\triangle COD$中：
$\begin{cases}\angle A=\angle C\\\angle AOB = \angle COD\\AB = CD\end{cases}$
根据$AAS$（角角边）判定定理，可得$\triangle AOB\cong\triangle COD$。
当然，添加$\angle B=\angle D$也可以，理由类似（根据$AAS$判定定理）；添加$AO = CO$（根据$SAS$判定定理）或者$BO = DO$（根据$SAS$判定定理）同样可以使$\triangle AOB\cong\triangle COD$。
【答案】：添加的条件可以为$\boldsymbol{\angle A=\angle C}$（答案不唯一）。
理由：在$\triangle AOB$和$\triangle COD$中，$\begin{cases}\angle A=\angle C\\\angle AOB = \angle COD\\AB = CD\end{cases}$，所以$\triangle AOB\cong\triangle COD(AAS)$。

21. 一个口袋中放有 290 个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球。红球的个数是黑球个数的 2 倍多 40，从袋中任取一个球是白球的概率是 $ \frac { 1 } { 29 } $。
（1）求袋中红球的个数；
（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率。

【解析】：
（1）首先根据从袋中任取一个球是白球的概率是$\frac{1}{29}$以及球的总数，可求出白球的个数。
已知球的总数$n = 290$，根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$m$表示事件$A$发生的总数，$n$是总事件发生的总数），设白球的个数为$x$，则$\frac{x}{290}=\frac{1}{29}$，解得$x = 10$。
设黑球的个数为$y$个，因为红球的个数是黑球个数的$2$倍多$40$，则红球的个数为$(2y + 40)$个。
根据三种颜色球的总数为$290$个，可列方程：$y+(2y + 40)+10 = 290$。
对上述方程进行求解：
$\begin{aligned}y+2y + 40+10&=290\\3y+50&=290\\3y&=290 - 50\\3y&=240\\y&=80\end{aligned}$
则红球的个数为$2y + 40=2\times80 + 40=160 + 40 = 200$（个）。
（2）由（1）可知黑球有$80$个，球的总数为$290$个，根据概率公式$P=\frac{m}{n}$（$m$是黑球个数，$n$是球的总数），可得从袋中任取一个球是黑球的概率$P=\frac{80}{290}=\frac{8}{29}$。
【答案】：（1）200；（2）$\frac{8}{29}$

22. 李明同学准备制作一个正方体形盒子，他先用 5 个大小一样的正方形制成如图 10 所示的拼接图形（阴影部分），折叠后发现少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体形盒子。（添加的正方形用阴影表示，在图 10①、图 10②中各画一个符合要求的图形即可）

【解析】：根据正方体展开图的特征，在图①、图②合适位置添加一个正方形（答案不唯一）。
【答案】：图①在最下面一行右边添加一个阴影正方形；图②在最下面一行左边添加一个阴影正方形（答案不唯一）。

23. 如图 11，在 $ \triangle A B C $ 中，$ D $ 是 $ B C $ 边上的一点，$ A B = D B $，$ B E $ 平分 $ \angle A B C $，交 $ A C $ 边于点 $ E $，连接 $ D E $。

（1）试说明 $ \triangle A B E \cong \triangle D B E $；
（2）若 $ \angle A = 100 ^ { \circ } $，$ \angle C = 50 ^ { \circ } $，求 $ \angle A E B $ 的度数。

【解析】：
### $(1)$ 证明$\triangle ABE\cong\triangle DBE$
已知$BE$平分$\angle ABC$，根据角平分线的定义，可得$\angle ABE = \angle DBE$。
在$\triangle ABE$和$\triangle DBE$中：
$AB = DB$（已知）
$\angle ABE = \angle DBE$（已证）
$BE = BE$（公共边）
根据全等三角形判定定理中的“边角边”（$SAS$），可以得出$\triangle ABE\cong\triangle DBE$。
### $(2)$ 求$\angle AEB$的度数
根据三角形内角和定理，在$\triangle ABC$中，$\angle ABC=180^{\circ}-\angle A - \angle C$。
已知$\angle A = 100^{\circ}$，$\angle C = 50^{\circ}$，则$\angle ABC = 180^{\circ}-100^{\circ}-50^{\circ}=30^{\circ}$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABE=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\times30^{\circ}=15^{\circ}$。
在$\triangle ABE$中，再根据三角形内角和定理$\angle AEB = 180^{\circ}-\angle A-\angle ABE$。
把$\angle A = 100^{\circ}$，$\angle ABE = 15^{\circ}$代入可得：$\angle AEB=180^{\circ}-100^{\circ}-15^{\circ}=65^{\circ}$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析；$(2)$$\boldsymbol{65^{\circ}}$