16. 先化简，再求值：$ ( 3 x + 2 ) ( 3 x - 2 ) - 5 x ( x - 1 ) - ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } $，其中 $ x = - \frac { 1 } { 3 } $。

【解析】：
本题可先根据平方差公式、单项式乘多项式以及完全平方公式将原式化简，再将$x = - \frac { 1 } { 3 }$代入化简后的式子求值。
- **步骤一：利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$化简$(3x + 2)(3x - 2)$。**
在$(3x + 2)(3x - 2)$中，$a = 3x$，$b = 2$，则$(3x + 2)(3x - 2)=(3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$。
- **步骤二：利用单项式乘多项式法则$a(b+c)=ab+ac$化简$5x(x - 1)$。**
$5x(x - 1)=5x\times x - 5x\times1 = 5x^2 - 5x$。
- **步骤三：利用完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$化简$(2x - 1)^2$。**
在$(2x - 1)^2$中，$a = 2x$，$b = 1$，则$(2x - 1)^2=(2x)^2 - 2\times 2x\times 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$。
- **步骤四：将上述化简结果代入原式并去括号。**
$\begin{aligned}&(3x + 2)(3x - 2) - 5x(x - 1) - (2x - 1)^2\\=&9x^2 - 4 - (5x^2 - 5x) - (4x^2 - 4x + 1)\\=&9x^2 - 4 - 5x^2 + 5x - 4x^2 + 4x - 1\end{aligned}$
- **步骤五：合并同类项化简式子。**
将含有$x^2$的项、含有$x$的项以及常数项分别合并：
$(9x^2 - 5x^2 - 4x^2)+(5x + 4x)+(- 4 - 1)=9x - 5$。
- **步骤六：将$x = - \frac { 1 } { 3 }$代入化简后的式子求值。**
把$x = - \frac { 1 } { 3 }$代入$9x - 5$可得：
$9\times(-\frac{1}{3}) - 5=-3 - 5 = - 8$。
【答案】：$-8$

17. 对于任何有理数，我们规定 $ \left| \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right| $ 的意义是 $ \left| \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right| = a d - b c $。
（1）按照这个规定，请你计算 $ \left| \begin{array} { l l } { 5 } & { 6 } \\ { 7 } & { 8 } \end{array} \right| $ 的值。
（2）按照这个规定，请你计算：当 $ x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0 $ 时，$ \left| \begin{array} { c c } { x + 1 } & { 3 x } \\ { x - 2 } & { x - 1 } \end{array} \right| $ 的值。

【解析】：
（1）根据规定$\left|\begin{array}{ll}a&b\\c&d\end{array}\right| = ad - bc$，对于$\left|\begin{array}{ll}5&6\\7&8\end{array}\right|$，这里$a = 5$，$b = 6$，$c = 7$，$d = 8$，则$\left|\begin{array}{ll}5&6\\7&8\end{array}\right|=5\times8 - 6\times7=40 - 42=-2$。
（2）同样根据规定，对于$\left|\begin{array}{cc}x + 1&3x\\x - 2&x - 1\end{array}\right|$，可得：
$\begin{aligned}\left|\begin{array}{cc}x + 1&3x\\x - 2&x - 1\end{array}\right|&=(x + 1)(x - 1)-3x(x - 2)\\&=x^{2}-1-(3x^{2}-6x)\\&=x^{2}-1 - 3x^{2}+6x\\&=-2x^{2}+6x - 1\end{aligned}$
已知$x^{2}-3x + 1 = 0$，移项可得$x^{2}-3x=-1$。
对$-2x^{2}+6x - 1$变形可得$-2(x^{2}-3x)-1$，把$x^{2}-3x=-1$代入$-2(x^{2}-3x)-1$中，得到$-2\times(-1)-1=2 - 1 = 1$。
【答案】：（1）$-2$；（2）$1$

18. 如图 7，已知 $ A B // C D $，$ \angle B = 65 ^ { \circ } $，$ C M $ 平分 $ \angle B C E $，$ \angle M C N = 90 ^ { \circ } $，求 $ \angle D C N $ 的度数。

【解析】：
- 因为$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$\angle B+\angle BCE = 180^{\circ}$。
- 已知$\angle B = 65^{\circ}$，则$\angle BCE=180^{\circ}-\angle B = 180^{\circ}- 65^{\circ}=115^{\circ}$。
- 因为$CM$平分$\angle BCE$，根据角平分线的定义，$\angle BCM=\angle ECM=\frac{1}{2}\angle BCE$，所以$\angle BCM=\frac{1}{2}\times115^{\circ}=57.5^{\circ}$。
- 又因为$AB// CD$，所以$\angle B=\angle BCD = 65^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
- 已知$\angle MCN = 90^{\circ}$，根据$\angle DCN=\angle BCD-\angle BCM$（$\angle MCN = 90^{\circ}$这个条件可用于推导角之间的关系，这里通过$\angle BCD$与$\angle BCM$的差来求$\angle DCN$），则$\angle DCN=65^{\circ}-57.5^{\circ}=27.5^{\circ}$。
【答案】：$27.5^{\circ}$

19. 一次越野赛跑中，当李明跑了 $ 1600 \mathrm { m } $ 时，小刚跑了 $ 1450 \mathrm { m } $，此后两人匀速跑的路程 $ s $ 与时间 $ t $ 的关系如图 8，结合图象解答下列问题：
（1）请你根据图象写出两条信息；
（2）求图中 $ s _ { 1 } $ 和 $ s _ { 0 } $ 的位置。

【解析】：
### （1）根据图象写信息
信息一：$100s$时，李明和小刚两人跑的路程相等，都为$s_{0}$米。
信息二： 李明的速度比小刚的速度快。（答案不唯一，还可以是：两人匀速跑一段时间后，李明先到达$s_{1}$米处等）
### （2）求$s_{1}$和$s_{0}$的值
设李明的速度为$a\mathrm {m/s}$，小刚的速度为$b\mathrm {m/s}$。
根据$100s$时两人路程相等，可列方程$1600 + 100a=1450 + 100b$，即$b=a + 1.5$。
又因为$200s$时李明到达$s_{1}$处，$300s$时小刚到达$s_{1}$处，则$s_{1}=1600 + 200a$，$s_{1}=1450+300b$。
将$b=a + 1.5$代入$s_{1}=1450+300b$中得$s_{1}=1450+300(a + 1.5)$。
因为$s_{1}=1600 + 200a$且$s_{1}=1450+300(a + 1.5)$，所以$1600 + 200a=1450+300(a + 1.5)$。
解方程$1600 + 200a=1450+300(a + 1.5)$：
$\begin{aligned}1600 + 200a&=1450+300a+450\\1600 + 200a&=1900+300a\\300a-200a&=1600 - 1900\\100a&=- 300\\a&=3\end{aligned}$
求$s_{1}$的值：
把$a = 3$代入$s_{1}=1600 + 200a$，得$s_{1}=1600+200\times3=1600 + 600=2200$。
求$s_{0}$的值：
把$a = 3$代入$s_{0}=1600 + 100a$，得$s_{0}=1600+100\times3=1900$。
【答案】：
（1）信息一：$100s$时，李明和小刚两人跑的路程相等，都为$s_{0}$米；信息二： 李明的速度比小刚的速度快（答案不唯一）。
（2）$s_{1}=\boldsymbol{2200}$，$s_{0}=\boldsymbol{1900}$。