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2. 如图,直线 $ l_1:y=x+1 $ 与直线 $ l_2:y=mx+n $ 相交于点 $ P(a,2) $,则关于 $ x $ 的方程 $ x+1=mx+n $ 的解为 ______.
答案
$x = 1$
1. 甲、乙两人在一条直线跑道上同起点同终点同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息.已知甲先出发3 s，从乙出发开始计时，设时间为t s，在跑步过程中，图1是乙跑步路程y(m)与时间t(s)的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离s(m)与时间t(s)的函数图象，则$b-a=$______.
答案
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2. 某商店销售每台 A 型电脑的利润为 100 元，销售每台 B 型电脑的利润为 150 元，该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台.设购进 A 型电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润为 y 元.
(1)求 y 关于 x 的函数表达式.
(2)如果 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍，那么该商店购进 A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
(1)求 y 关于 x 的函数表达式.
(2)如果 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍，那么该商店购进 A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
答案
解： (1)$y = 100x + 150(100 - x)=-50x + 15000。$ (2)由题意可得$100 - x\leq2x，$解得$x\geq33\frac{1}{3}。$ 因为$k = -50\lt0，$所以$y$随$x$的增大而减小， 所以当$x = 34$时，$y$取得最大值，此时$y = 13300，$$100 - x = 66。$ 答：商店购进$A$型电脑$34$台、$B$型电脑$66$台，才能使销售总利润最大，最大利润为$13300$元。
1. 定义:对于一次函数$y_1=ax+b$、$y_2=cx+d$,我们称函数$y=m(ax+b)+n(cx+d)(ma+nc≠0)$为函数$y_1$、$y_2$的“组合函数”.
(1)若$m=3,n=1$,试判断函数$y=5x+2$是否为函数$y_1=x+1$、$y_2=2x-1$的“组合函数”,并说明理由.
(2)设函数$y_1=x-p-2$与$y_2=-x+3p$的图象相交于点$P$.
①若$m+n＞1$,点$P$在函数$y_1$、$y_2$的“组合函数”的图象的上方,求$p$的取值范围;
②若$p≠1$,函数$y_1$、$y_2$的“组合函数”的图象经过点$P$,是否存在大小确定的$m$的值,对于不等于$1$的任意实数$p$,都有“组合函数”图象与$x$轴交点$Q$的位置不变?若存在,求出$m$的值及此时点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)若$m=3,n=1$,试判断函数$y=5x+2$是否为函数$y_1=x+1$、$y_2=2x-1$的“组合函数”,并说明理由.
(2)设函数$y_1=x-p-2$与$y_2=-x+3p$的图象相交于点$P$.
①若$m+n＞1$,点$P$在函数$y_1$、$y_2$的“组合函数”的图象的上方,求$p$的取值范围;
②若$p≠1$,函数$y_1$、$y_2$的“组合函数”的图象经过点$P$,是否存在大小确定的$m$的值,对于不等于$1$的任意实数$p$,都有“组合函数”图象与$x$轴交点$Q$的位置不变?若存在,求出$m$的值及此时点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解：(1)函数$y = 5x + 2$是函数$y_1 = x + 1$、$y_2 = 2x - 1$的“组合函数”。 理由如下：因为$3(x + 1)+(2x - 1)=3x + 3 + 2x - 1 = 5x + 2，$
所以$y = 5x + 2 = 3(x + 1)+(2x - 1)，$
所以函数$y = 5x + 2$是函数$y_1 = x + 1$、$y_2 = 2x - 1$的“组合函数”。 (2)①由$\begin{cases}y = x - p - 2\\y = -x + 3p\end{cases}$得$\begin{cases}x = 2p + 1\\y = p - 1\end{cases}，$所以$P(2p + 1,p - 1)。$ 因为$y_1$、$y_2$的“组合函数”为$y = m(x - p - 2)+n(-x + 3p)，$ 所以当$x = 2p + 1$时，$y = m(2p + 1 - p - 2)+n(-2p - 1 + 3p)=(p - 1)(m + n)。$ 因为点$P$在函数$y_1$、$y_2$的“组合函数”的图象的上方，所以$p - 1\gt(p - 1)(m + n)，$
所以$(p - 1)(1 - m - n)\gt0。$ 因为$m + n\gt1，$所以$1 - m - n\lt0，$所以$p - 1\lt0，$所以$p\lt1。$ ②存在$m=\frac{3}{4}，$对于不等于$1$的任意实数$p，$都有“组合函数”图象与$x$轴交点$Q$的位置不变，$Q(3,0)。$ 由①知$P(2p + 1,p - 1)。$
因为函数$y_1$、$y_2$的“组合函数”$y = m(x - p - 2)+n(-x + 3p)$的图象经过点$P，$ 所以$p - 1 = m(2p + 1 - p - 2)+n(-2p - 1 + 3p)，$
所以$(p - 1)(1 - m - n)=0。$ 因为$p\neq1，$所以$1 - m - n = 0，$所以$n = 1 - m，$ 所以$y = m(x - p - 2)+n(-x + 3p)=m(x - p - 2)+(1 - m)(-x + 3p)=(2m - 1)x + 3p-(4p + 2)m。$ 令$y = 0，$得$(2m - 1)x + 3p-(4p + 2)m = 0，$
整理得$(3 - 4m)p+(2m - 1)x - 2m = 0，$ 所以当$3 - 4m = 0，$即$m=\frac{3}{4}$时，$\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0，$所以$x = 3，$ 所以当$m=\frac{3}{4}$时，“组合函数”图象与$x$轴交点$Q$的位置不变，$Q(3,0)。$
所以$y = 5x + 2 = 3(x + 1)+(2x - 1)，$
所以函数$y = 5x + 2$是函数$y_1 = x + 1$、$y_2 = 2x - 1$的“组合函数”。 (2)①由$\begin{cases}y = x - p - 2\\y = -x + 3p\end{cases}$得$\begin{cases}x = 2p + 1\\y = p - 1\end{cases}，$所以$P(2p + 1,p - 1)。$ 因为$y_1$、$y_2$的“组合函数”为$y = m(x - p - 2)+n(-x + 3p)，$ 所以当$x = 2p + 1$时，$y = m(2p + 1 - p - 2)+n(-2p - 1 + 3p)=(p - 1)(m + n)。$ 因为点$P$在函数$y_1$、$y_2$的“组合函数”的图象的上方，所以$p - 1\gt(p - 1)(m + n)，$
所以$(p - 1)(1 - m - n)\gt0。$ 因为$m + n\gt1，$所以$1 - m - n\lt0，$所以$p - 1\lt0，$所以$p\lt1。$ ②存在$m=\frac{3}{4}，$对于不等于$1$的任意实数$p，$都有“组合函数”图象与$x$轴交点$Q$的位置不变，$Q(3,0)。$ 由①知$P(2p + 1,p - 1)。$
因为函数$y_1$、$y_2$的“组合函数”$y = m(x - p - 2)+n(-x + 3p)$的图象经过点$P，$ 所以$p - 1 = m(2p + 1 - p - 2)+n(-2p - 1 + 3p)，$
所以$(p - 1)(1 - m - n)=0。$ 因为$p\neq1，$所以$1 - m - n = 0，$所以$n = 1 - m，$ 所以$y = m(x - p - 2)+n(-x + 3p)=m(x - p - 2)+(1 - m)(-x + 3p)=(2m - 1)x + 3p-(4p + 2)m。$ 令$y = 0，$得$(2m - 1)x + 3p-(4p + 2)m = 0，$
整理得$(3 - 4m)p+(2m - 1)x - 2m = 0，$ 所以当$3 - 4m = 0，$即$m=\frac{3}{4}$时，$\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=0，$所以$x = 3，$ 所以当$m=\frac{3}{4}$时，“组合函数”图象与$x$轴交点$Q$的位置不变，$Q(3,0)。$
