8. 若实数 $ a $ 在数轴上的位置如图所示，则化简 $ \sqrt{(a-5)^2} - \sqrt{(a-10)^2} $ 的结果为 ______.

（第8题）

（第9题）

（第10题）

$2a - 15$

9. 如图所示的网格是正方形网格，则$∠ PAB + ∠ PBA =$______．(A、B、P 是网格线交点)

$45^{\circ}$

10. 如图,将直角三角形纸片ABC折叠,恰好使直角顶点C落在斜边AB的中点D的位置,EF是折痕.已知$DE=3$,$DF=4$,则$AB=$______.

$\frac{48}{5}$

三、解答题
11. 计算:(1)$\sqrt{(-1)^2} + \sqrt[3]{(-2)^3} + \sqrt{1\dfrac{7}{9}}$；
(2)$|1 - \sqrt{3}| + (-2)^2 - \sqrt{3}$.

解：
$\begin{aligned}&\sqrt{(-1)^2}+\sqrt[3]{(-2)^3}+\sqrt{1\frac{7}{9}}\\=&1 + (-2)+\sqrt{\frac{16}{9}}\\=&1 - 2+\frac{4}{3}\\=&-1+\frac{4}{3}\\=&\frac{1}{3}\end{aligned}$ ; 解：
$\begin{aligned}&|1 - \sqrt{3}|+(-2)^2-\sqrt{3}\\=&\sqrt{3}-1 + 4-\sqrt{3}\\=&3\end{aligned}$

12. 已知 $2x + 3$ 的算术平方根是 $5$，$5x + y + 2$ 的立方根是 $3$，求 $x - 2y + 10$ 的平方根。

解：因为$2x + 3$的算术平方根是$5，$所以$2x + 3 = 5^2 = 25，$解得$x = 11。$ 因为$5x + y + 2$的立方根是$3，$所以$5x + y + 2 = 3^3 = 27，$把$x = 11$代入$5x + y + 2 = 27$得：$5\times11 + y + 2 = 27，$$55 + y + 2 = 27，$$y = 27 - 55 - 2=-30。$ 则$x - 2y + 10 = 11 - 2\times(-30)+10 = 11 + 60 + 10 = 81。$ 所以$x - 2y + 10$的平方根为$\pm\sqrt{81}=\pm9。$

13. 如图，D 为$△ ABC$两个内角平分线的交点，若$∠ BAC=90°$，$AB=12$，$BC=13$，求点 D 到边 BC 的距离.

解：过点$D$作$DG\perp AB$于点$G，$$DE\perp BC$于点$E，$$DF\perp AC$于点$F，$连接$AD。$
因为$\angle BAC = 90^{\circ}，$$AB = 12，$$BC = 13，$
根据勾股定理$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}} = 5。$ 因为$D$为$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线的交点，$DG\perp AB，$$DE\perp BC，$$DF\perp AC，$所以$DG = DE = DF。$ 因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADB}+S_{\triangle BDC}+S_{\triangle ADC}，$
所以$\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}AB\cdot DG+\frac{1}{2}BC\cdot DE+\frac{1}{2}AC\cdot DF=\frac{1}{2}(AB + BC + AC)\cdot DE。$ 即$\frac{1}{2}\times12\times5=\frac{1}{2}\times(12 + 13 + 5)\cdot DE，$$30=\frac{1}{2}\times30\cdot DE，$
解得$DE = 2。$ 所以点$D$到边$BC$的距离为$2。$

14. 在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$D$为$△ ABC$内一点，连接$BD$、$CD$，延长$DC$到点$E$，使得$CE = CD$．
(1) 如图1，延长$BC$到点$F$，使得$CF = BC$，连接$AF$、$EF$．若$AF ⊥ EF$，求证：$BD ⊥ AF$．
(2) 连接$AE$，交$BD$的延长线于点$H$，连接$CH$，依题意补全图2．若$AB^2 = AE^2 + BD^2$，用等式表示线段$CD$与线段$CH$之间的数量关系，并证明．

解：(1)证明：在$\triangle BCD$和$\triangle FCE$中，$\begin{cases}BC = FC\\\angle BCD=\angle FCE\\CD = CE\end{cases}，$ 所以$\triangle BCD\cong\triangle FCE(SAS)，$所以$\angle DBC=\angle EFC，$所以$BD// EF。$ 又因为$AF\perp EF，$所以$BD\perp AF。$ (2) $CD = CH。$ 理由：延长$BC$到点$F，$使得$CF = BC，$连接$AF$、$EF。$
因为$AC\perp BF，$$BC = CF，$所以$AB = AF。$ 由
(1)可知$BD// EF，$$BD = EF。$ 因为$AB^{2}=AE^{2}+BD^{2}，$所以$AF^{2}=AE^{2}+EF^{2}，$所以$\triangle AEF$是直角三角形，$\angle AEF = 90^{\circ}，$即$AE\perp EF，$所以$BD\perp AE，$$\angle DHE = 90^{\circ}。$ 又因为$CD = CE，$所以$CH=\frac{1}{2}DE = CD。$