解答与几何图形有关的应用题，一般先利用图形的性质找出__________，再列出方程解决问题。
一定要注意对方程的解进行__________，选择符合实际意义的答案。

等量关系
; 检验

1. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,点$P$沿边$AB$从点$A$出发向终点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动;同时点$Q$沿边$BC$从点$B$出发向终点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动.当$△ PBQ$的面积为$12\ \mathrm{cm}^2$时,点$P$运动的时间是 （ ）
A. $2\ \mathrm{s}$
B. $2\ \mathrm{s}$或$6\ \mathrm{s}$
C. $6\ \mathrm{s}$
D. $6\ \mathrm{s}$或$8\ \mathrm{s}$

A

2. 如图,在矩形ABCD中,AB=8 cm,AD=3 cm,动点P、Q同时出发,点P从点A出发以2 cm/s的速度向点B移动;点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点D移动.当点P和点Q的距离是5 cm时,P、Q两点运动的时间为 ( )
A. 4 s
B. $\dfrac{4}{3}$ s或4 s
C. $\dfrac{8}{3}$ s或8 s
D. $\dfrac{8}{3}$ s

B

3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=10\ \mathrm{cm}$,$AC=8\ \mathrm{cm}$,点$P$从点$A$出发向点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动;点$Q$从点$B$出发向点$C$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动,若$P、Q$分别同时从点$A、B$出发,则$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{s}$后,四边形$APQB$的面积是$△ ABC$面积的$\dfrac{2}{3}$.

2

4. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ B=90°$,$AB=8\ \mathrm{cm}$,$BC=10\ \mathrm{cm}$,点 $P$ 由点 $A$ 出发,沿边 $AB$ 以 $2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点 $B$ 移动;点 $Q$ 由点 $B$ 出发,沿边 $BC$ 以 $3\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $C$ 移动.点 $P$、$Q$ 分别从点 $A$、$B$ 同时出发.
(1)经过多长时间后,$△ PBQ$ 的面积等于 $9\ \mathrm{cm}^2$?
(2)经过多长时间后,$P$、$Q$ 两点间的距离是 $2\sqrt{13}\ \mathrm{cm}$?

解：​$(1)$​点​$P $​运动到点​$B$​需要​$8\div 2 = 4(\mathrm {s})，$​点​$Q $​运动到点​$C$​需要​$10\div 3=\frac {10}3(\mathrm {s})$​设经过​$x\ \mathrm {s}_{后}，$​​$\triangle P BQ $​的面积等于​$9\ \mathrm {cm}^2$​则​$BP=(8 - 2x)\mathrm {cm}，$​​$BQ = 3x\mathrm {cm}$​根据题意，得​$\frac 12(8 - 2x)×3x = 9$​整理，得​$x^2-4x + 3 = 0，$​因式分解为​$(x - 1)(x - 3)=0$​解得​$x_{1}=1，$​​$x_{2}=3$​ 答：经过​$1\ \mathrm {s} $​或​$3\ \mathrm {s} $​后，​$\triangle P BQ $​的面积等于​$9\ \mathrm {cm}^2。$​​$ (2)$​设经过​$y\ \mathrm {s} $​后，​$P、$​​$Q $​两点间的距离是​$2\sqrt {13}\mathrm {cm}$​则​$BP=(8 - 2y)\mathrm {cm}，$​​$BQ = 3y\mathrm {cm}$​根据题意，得​$(8 - 2y)^2+(3y)^2=(2\sqrt {13})^2$​整理，得​$13y^2-32y + 12 = 0$​因式分解为​$(13y - 6)(y - 2)=0$​解得​$y_{1}=\frac 6{13}，$​​$y_{2}=2$​ 答：经过​$\frac 6{13}\ \mathrm {s} $​或​$2\ \mathrm {s} $​后，​$P、$​​$Q $​两点间的距离是​$2\sqrt {13}\mathrm {cm}。$​