8. 如图，PA、PB、CD分别切$\odot O$于点A、B、E，CD分别交PA、PB于C、D两点，若$∠ P=40°$，则$∠ PAE+∠ PBE$的度数为______。

$70^{\circ}$

9. (南京中考改编)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分别与$\odot O$相切于E、F、G三点,过点D作$\odot O$的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为________.

$\frac{13}{3}$

10. 如图，$\odot O$ 是四边形 $ABCD$ 的内切圆，$AB=6$，$BC=9$，$CD=11$，则 $AD$ 的长度为 ______；若连接 $AO$、$BO$、$CO$、$DO$，记 $△ AOD$、$△ BOA$、$△ COB$、$△ DOC$ 的面积分别为 $S_1$、$S_2$、$S_3$、$S_4$，则 $S_1$、$S_2$、$S_3$、$S_4$ 的数量关系为 ______。

$8$ ; $S_{1}+S_{3}=S_{2}+S_{4}$

11. (2024·北京模拟)如图，P为$\odot O$外一点，PA、PB是$\odot O$的切线，A、B为切点，点C在$\odot O$上，连接OA、OC、AC.
(1)求证：$∠ AOC=2∠ PAC$；
(2)连接OB，若$AC// OB$，$\odot O$的半径为5，$AC=6$，求AP的长.

证明：​$(1)$​如图，过点​$O$​作​$OH\perp AC$​于点​$H，$​则​$∠OHA = 90°，$​所以​$∠AOH+∠OAC = 90°。$​​$ $​因为​$PA$​是​$\odot O$​的切线，所以​$∠OAP = 90°，$​即​$∠OAC+∠PAC = 90°，$​所以​$∠AOH=∠PAC。$​​$ $​又因为​$OA = OC，$​​$OH\perp AC，$​所以​$∠AOC = 2∠AOH，$​所以​$∠AOC = 2∠PAC。$​​$ (2)$​如图，连接​$OB，$​延长​$AC$​交​$PB$​于点​$E，$​因为​$PA、$​​$PB$​是​$\odot O$​的切线，所以​$OB\perp PB，$​​$PA = PB。$​​$ $​因为​$AC// OB，$​所以​$AE\perp PB，$​所以四边形​$OBEH$​是矩形，所以​$OH = BE，$​​$HE = OB = 5。$​​$ $​因为​$OH\perp AC，$​​$OA = OC，$​所以​$AH = CH=\frac {1}{2}AC = 3，$​​$OH=\sqrt {OC^2-CH^2}=\sqrt {5^2-3^2} = 4，$​所以​$BE = OH = 4，$​​$AE = AH+HE = 8。$​​$ $​在​$Rt\triangle PAE$​中，根据勾股定理​$PA^2=AE^2+PE^2，$​即​$PA^2=8^2+(PA - 4)^2，$​​$ $​展开得​$PA^2=64+PA^2-8PA + 16，$​​$ $​移项化简得​$8PA = 80，$​解得​$AP = 10。$
​

12. 如图,两个同心圆的圆心是O,AD是大圆的直径,大圆的弦AB、BE分别与小圆相切于点C、F,连接BD,则$∠ ABE + 2∠ D=$______.

$180^{\circ}$

13. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=AC=m$,
$O$是$BC$边上的点且$\odot O$与$AB$、$AC$都相切,
切点分别为$D$、$E$.
(1)求$\odot O$的半径(用含$m$的式子表示);
(2)如果$F$为$\overset{\frown}{DE}$上的一个动点(不与点$D$、
$E$重合),过点$F$作$\odot O$的切线分别与边$AB$、
$AC$相交于点$G$、$H$.连接$OG$、$OH$,有两个结论:
①四边形$BCHG$的周长不变;②$∠ GOH$的度
数不变.已知这两个结论只有一个正确,找出
正确的结论并证明;
(3)探究:在(2)的条件下,设$m=6$,$BG=x$,
$CH=y$,求$y$与$x$之间的数量关系.

解：​$(1)$​如图，连接​$OD、$​​$OE、$​​$OA，$​因为​$O$​是​$BC$​边上的点且​$\odot O$​与​$AB、$​​$AC$​都相切，所以​$OD\perp AB，$​​$AC\perp OE。$​​$ $​又因为​$∠BAC = 90°，$​且​$OD = OE，$​所以四边形​$ADOE$​为正方形，所以​$OE = AE，$​​$∠OAE = 45°。$​​$ $​又因为​$∠C = 45°，$​所以​$\triangle OAC$​为等腰直角三角形，​$AE = EC=\frac {1}{2}AC=\frac {m}{2}，$​即​$\odot O$​的半径是​$\frac {m}{2}。$​​$ (2)②$​的结论正确。理由如下：如图，连接​$OF、$​​$OG、$​​$OH，$​由题意知​$GD = GF，$​​$HE = HF，$​​$∠DOG=∠FOG，$​​$∠FOH=∠HOE，$​而​$∠DOE = 90°，$​所以​$∠GOH=\frac {∠DOE}{2}=45°，$​度数不变。​$ (3)$​因为​$m = 6，$​​$BG = x，$​​$CH = y，$​则​$AB = AC = 6，$​所以​$BD = CE = 3，$​​$GF = GD=x - 3，$​​$FH = HE = y - 3，$​​$AG = 6 - x，$​​$AH = 6 - y，$​​$GH=x + y - 6。$​​$ $​由​$∠BAC = 90°，$​根据勾股定理可得​$GH^2=AG^2+AH^2，$​即​$(x + y - 6)^2=(6 - x)^2+(6 - y)^2，$​​$ $​展开得​$x^2+y^2+36+2xy-12x - 12y$​​$=36-12x+x^2+36-12y+y^2，$​​$ $​化简得​$2xy = 36，$​所以​$y=\frac {18}{x}。$
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