1. 如图,从$\odot O$外一点$P$引圆的两条切线$PA$、$PB$,切点分别是$A$、$B$,若$∠ APB=60°$,$PA=5$,则弦$AB$的长是 （ ）
A. $\dfrac{5}{2}$
B. $\dfrac{5}{2}\sqrt{3}$
C. $5$
D. $5\sqrt{3}$

(第1题)

(第2题)

C

2. (2025·连云港期中)如图,在一张$\mathrm{Rt}△ ABC$纸片中,$∠ ACB=90°$,$BC=3$,$AC=4$,$\odot O$是它的内切圆.小明用剪刀沿着$\odot O$的切线$DE$剪下一块$△ ADE$,则$△ ADE$的周长为 ( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8

C

3. (2025·忻州期中)如图是用一把直尺、一块含$60°$角的直角三角板和一个光盘摆放而成的,A为含$60°$角的直角三角板与直尺的交点,B为光盘与直尺唯一的交点,若$AB=3$,则光盘的直径是______.

$6\sqrt{3}$

4. (2024·泸州中考改编)如图，EA、ED是$\odot O$的切线，切点分别为A、D，点B、C在$\odot O$上，若$∠ BAE + ∠ BCD = 236°$，则$∠ E =$______．

$68^{\circ}$

5. 如图，AB、BC、CD分别与$\odot O$相切于点E、F、G，且$AB// CD$，$OB=6\ \mathrm{cm}$，$OC=8\ \mathrm{cm}$。
求:(1)$∠ BOC$的度数；
(2)$BE+CG$的长；
(3)$\odot O$的半径。

解：​$(1)$​由切线长定理得​$BE = BF，$​​$CF = CG，$​​$ $​可得​$∠OBF=∠OBE，$​​$∠OCF=∠OCG。$​​$ $​因为​$AB// CD，$​所以​$∠ABC+∠BCD = 180°，$​​$ $​则​$∠OBF+∠OCF = 90°，$​所以​$∠BOC = 90°。$​​$ (2)$​由​$(1)$​知​$∠BOC = 90°，$​​$OB = 6\ \mathrm {cm}，$​​$OC = 8\ \mathrm {cm}，$​​$ $​根据勾股定理​$BC=\sqrt {OB^2+OC^2}=\sqrt {6^2+8^2} = 10\ \mathrm {cm}，$​​$ $​所以​$BE + CG=BC = 10\ \mathrm {cm}。$​​$ (3)$​连接​$OF，$​因为​$OF\perp BC，$​根据三角形面积公式​$S_{\triangle BOC}=\frac {1}{2}OB·OC=\frac {1}{2}BC·OF，$​​$ $​则​$OF=\frac {OB·OC}{BC}=\frac {6×8}{10}=4.8\ \mathrm {cm}，$​即​$\odot O$​的半径为​$4.8\ \mathrm {cm}。$​

6. (淄博中考)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$在$AC$边上,过$△ ABD$的内心$I$作$IE ⊥ BD$于点$E$.若$BD=10$,$CD=4$,则$BE$的长为
( )
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9

B

7. 如图,点 P 是$\odot O$外任意一点,PM、PN 分别是$\odot O$的切线,M、N 是切点.设 OP 与$\odot O$交于点 K,则点 K 是$△ PMN$的（ ）
A. 三条高线的交点
B. 三条中线的交点
C. 三个角的角平分线的交点
D. 三条边的垂直平分线的交点

C