9. (泰州中考)如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C在直角坐标系中的坐标分别为$(3,6)$、$(-3,3)$、$(7,-2)$，则$△ ABC$内心的坐标为$\underline{\hspace{5em}}$．

$(2,3)$

10. (龙岩中考)如图,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,以此类推,图⑩中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为$S_1$、$S_2$、$S_3$、…、$S_{10}$,则$S_1 + S_2 + S_3 + \dots + S_{10} =$______.

$\pi$

11. 如图,一块等腰三角形钢板的底边长为80 cm,腰长为50 cm.
(1)从这块钢板上截得的最大圆的半径为________ cm.
(2)用一个圆完整覆盖这块钢板,这个圆的最小半径为________.
(3)求这块等腰三角形钢板的内心与外心的距离.

$\frac{40}{3}$ ; $40\mathrm{cm}$ ;
; 解：​$(3)$​如图​$②，$​​$OO'$​即为内心与外心的距离。​$ AO = AD - DO = 30-\frac {40}{3}=\frac {50}{3}(\mathrm {cm})，$​​$OO' = AO' - AO=\frac {125}{3}-\frac {50}{3}=25(\mathrm {cm})。$​​$ $​故这块等腰三角形钢板的内心与外心的距离为​$25\ \mathrm {cm}。$​

12. (1) 如图①，$\odot O$ 是 $△ ABC$ 的外接圆，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$I$ 为 $△ ABC$ 的内心，且 $OI ⊥ AI$。若 $AB=10$，则 $BI$ 的长为 ______。

(2) 如图②，点 $I$ 为 $△ ABC$ 的内心，连接 $AI$ 并延长交 $△ ABC$ 的外接圆于点 $D$，$AI=2CD$，$E$ 为弦 $AC$ 的中点，连接 $EI$、$IC$，若 $IC=6$，$ID=5$，则 $IE$ 的长为 ______。

$2\sqrt{10}$ ; 4

13. (2025·南京校级月考)【习题再现】
(教材 P74 第 10 题)如图①,I 是△ABC 的内心,AI 的延长线交△ABC 的外接圆于点D.BD 与 ID 相等吗?为什么?(不需解答)
【逆向思考】
(1)如图②,I 为△ABC 内一点,AI 的延长线交△ABC 的外接圆于点 D.若 DB = DI = DC,求证:I 为△ABC 的内心.
【拓展提高】
(2)如图③,⊙O 的半径长为 5,弦 BC = 8,动点 A 在优弧 BAC 上(不与 B、C 重合),I 是△ABC 的内心.
①点 I 到⊙O 上某点的距离始终不变,请用无刻度的直尺找出该点;
②AI 的最大值为________.

$10 - 2\sqrt{5}$ ; 证明​$：(1)$​连接​$BI，$​∵​$BD=CD，$​∴​$BD=CD，$​∴​$∠BAD=∠DBC=∠CAD， $​∴​$AD$​平分​$∠BAC，$​∵​$BD=DI，$​∴​$∠IBD=∠BID$​∵​$∠BID$​是​$△ABI $​的一个外角，∴​$∠BID=∠BAD+∠ABI，$​∴​$∠IBD=∠BAD+∠ABI.$​∵​$∠IBD=∠DBC+∠CBI，$​​$∠DBC=∠BAD，$​∴​$∠ABI=∠CBI，$​∴​$BI $​平分​$∠ABC，$​∴​$I $​为​$△ABC$​的内心​$(2)$​如图