24. (8分)在方格纸中,仅用无刻度直尺过点A画出圆的所有切线.
(1)如图①,点A在圆上;
(2)如图②,点A在圆外.

25. (10分)如图①,已知在$\odot O$中,$AB=4\sqrt{3}$,AC是$\odot O$的直径,$AC ⊥ BD$于点 F,连接 OB、OD,$∠ A=30°$.

(1)连接 BC、CD,请你判定四边形 OBCD 是何种特殊的四边形? 试说明理由.
(2)若用扇形 OBD 围成一个圆锥的侧面,请求出这个圆锥的底面圆的半径.
(3)如图②,若将“$∠ A=30°$”改为“$∠ A=22.5°$”,其余条件不变,以半径 OB、OD 的中点 M、N 为顶点作矩形 MNHG,顶点 G、H 在$\odot O$的劣弧$\overset{\frown}{BD}$上,GH 交 OC 于点 E.试求图中阴影部分的面积.(结果保留$π$)

解​$：(1)$​四边形​$OBCD$​是菱形​$，$​理由如下​$： $​连接​$AD，$​∵​$AC⊥BD，AC$​是直径​$，$​∴​$AC$​垂直平分​$BD， $​∴​$BF=FD，BC=CD， $​∴​$∠BAD=2∠BAC=60°，$​∴​$∠B_{0}D=120°. $​∵​$BF=\frac {1}{2}AB=2\sqrt 3，$​∴在​$Rt△ABF_{中}，$​​$ AF= \sqrt {AB²−BF²}= \sqrt {(4\sqrt 3)²−(2\sqrt 3)²}=6. $​在​$Rt△BOF_{中}，BF²+OF²=OB²， $​即​$(2\sqrt 3)²+(6−OB)²=OB²，$​解得​$OB=4. $​∵​$OA=OB=4，$​∴​$OF=AF−AO=6−4=2. $​∵​$AC=2OA=8，$​∴​$CF=AC−AF=8−6=2， $​∴​$CF=OF： $​∵​$BF=FD，$​∴四边形​$OBCD$​是平行四边形​$ $​又​$AC⊥BD，$​∴平行四边形​$OBCD$​是菱形​$.$​​$(2)$​设圆锥的底面圆的半径为​$r，$​则周长为​$2πr. $​∵扇形​$OBD$​的弧长​$=\frac {120}{180}π.4=\frac {8}{3}π， $​∴​$2πr=\frac {8}{3}π，$​解得​$r=\frac {4}{3}$​​$(3) $​连接​$OH。$​∵​$∠A = 22.5°，$​∴​$∠BOC = 45°，$​∴​$∠BOD = 2∠BOC = 90°。$​​$ $​设半径​$OB = r，$​由勾股定理得​$(4\sqrt {3})^2=(\frac {\sqrt {2}}{2}r)^2+(\frac {\sqrt {2}}{2}r + r)^2，$​化简得​$r^2=24(2-\sqrt {2})。$​ ∵​$M、$​​$N$​是​$OB、$​​$OD$​的中点，四边形​$MNHG $​是矩形，∴​$MN^2=GH^2=12(2-\sqrt {2})，$​​$EH^2=EG^2=\frac {1}{4}MN^2=3(2-\sqrt {2})。$​​$ $​在​$Rt\triangle HOE$​中，​$OE^2=OH^2-HE^2，$​即​$OE^2=r^2-3(2 - \sqrt {2})，$​解得​$OE^2=21(2-\sqrt {2})。$​ ∴下矩形的面积​$=(OE - OF)·MN$​​$=(6\sqrt {7}-12)(2-\sqrt {2})。$​ ∵扇形​$OBD$​的面积​$=\frac {1}{4}\pi r^2，$​∴阴影部分的面积​$=\frac {1}{4}\pi r^2-\frac {1}{2}r^2-S_{下矩形}$​​$=(\pi -\sqrt {7})(12 - 6\sqrt {2})$​​$=6(2-\sqrt {2})\pi -12\sqrt {7}+6\sqrt {14}。$​